1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 22 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x 一 2y)dx=0，且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 y(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y +p(x)y +q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通
2、解是( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 。B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3 。C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3 。D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 C 2 )y 3 。4.在下列微分方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是( )（分数：2.00）A.y +y 一 4y 一 4y=0。B.y +y +4y +4y=0。C.y 一 y 一 4y +4y=0。D.y 一 y +4y
3、 一 4y=0。5.方程 y 一 3y +2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.y=axe x +b+Ae x cos2x。B.y=ae x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)。C.y=axe x +b+xe x (Acos2x+Bsin2x)。D.y=axe x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.微分方程 y = （分数：2.00）填空项 1:_7.微分方程 xy +y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 y +ytanx=co
4、sx 的通解 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 y +y=e x cosx 满足条件 y(0)=0 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程(y+x 3 )dx 一 2xdy=0 满足 y x=1 = （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 y 1 =e 3x 一 xe 2x ，y 2 =e x 一 xe 2x ，y 3 =一 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解，则该方程的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 y 一 y + （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 y 一 2y +2y=e x
5、 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.若二阶常系数齐次线性微分方程 y +by +by=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x ，则非齐次方程 y +ay +by=x 满足条件 y(0)=2，y (0)=0 的特解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：22.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.求微分方程 y 一 3y +2y=2xe x 的通解。（分数：2.00）_17.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0 t f(s)sinsds，求 f(t)。（分数：2.00）_设函数 y=y(x
6、)在(一，+)内具有二阶导数，且 y 0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数。（分数：4.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：2.00）_(2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y (0)= （分数：2.00）_18.设 f(，)具有连续偏导数，且 f (，)+f (，)=sin(+)e ，求 y(x)=e 2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：2.00）_19.设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 （分数：2.00）_20.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y (x)0，y(0)=1。过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y
7、)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程。（分数：2.00）_21.如图 151，C 1 和 C 2 分别是 y= (1+e x )和 y=e x 的图象，过点(0，1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图象。过 C 2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 l x 和 l y 。记 C 1 ，C 2 与 l x 所围图形的面积为 S 1 (x)；C 2 ，C 3 与 l y 所围图形的面积为 S
8、2 (y)。如果总有 S 1 (x)=S 2 (y)，求曲线 C 3 的方程 x=(y)。 （分数：2.00）_有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以 3m 3 min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m 2 min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。（分数：4.00）(1).根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 (y)之间的关系式；（分数：2.00）_(2).求曲线 x=(y)的方程。（分数：2.00）_22.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)。试建立 y 与 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y()。（分数：2.00）_
