1、考研数学二（概率论与数理统计）-试卷 3及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 F 1 (x)和 F 2 (x)分别为 X 1 和 X 2 的分布函数，为使 F(x)=aF 1 (x)+bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数中应取( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设连续型随机变量 X的分布函数和概率密度函数分别为 F(x)和 f(x)，则( )（分数：2.00）A.0f(x)1B.P(X=x)F(x)C.P(X=x)=
2、F(x)D.P(X=z)=f(z)4.设随机变量 X服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1)，数 u 满足 P(Xu )=，若使等式P(Xx)=095 成立，则 x=( )（分数：2.00）A.u 0.475 B.u 0.975 C.u 0.025 D.u 0.05 5.设随机变量 X的概率密度为 f(x)，且有 f(一 x)=f(x)，F(x)为 X的分布函数，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(-a)=1一 0 a f(x)dxB.F(-a)= C.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-16.设随机变量 X服从 N( 1 ， 1 2 )，Y 服从 N( 2
3、 ， 2 2 )，且 PX- 1 1)PX- 2 1)，则( )（分数：2.00）A. 1 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 2 7.设 X服从 N(， 2 )，且 PXPx，则( )（分数：2.00）A.B.C.=D.， 的大小关系不能确定8.设随机变量 Y在0，1上服从均匀分布，F(x)(0F(x)1)是严格单调递减且连续的函数，则由关系式Y=F(X)定义的随机变量 X的分布函数是( )（分数：2.00）A.F(x)B.F -1 (x)C.1一 F(x)D.1一 F -1 (x)二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设 X的概率密度为 f(x)，分布函数为 F(x)，对固定
4、的 x 0 ，若使函数 （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= ，表示对 X独立的三次观察中事件X （分数：2.00）填空项 1:_11.一射手进行射击，击中目标的概率为 p(0p1)，现在他领到 5发子弹，进行射击直到命中目标或子弹用完为止，以 X表示他射击实际脱靶的次数，则 Px=1= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )(0)，且二次方程 y 2 +4y+X：0 无实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X在区间a，b(a0)上服从均匀分布，且 P0x3= （分数：2.00）填空项
5、 1:_14.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X服从 N(2， 2 )，且 P2X4=03，则 PX0= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知随机变量 X的分布函数 F(x)是连续的严格单调函数，Y=1 一 2X，F(025)=075，PYk=025，则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设随机变量 X的概率分布为 PX=k=C （分数：2.00）_19.设连续型随机变量 X的分布函数为 F(x)= ，
6、试求(1)常数 A，B；(2)随机变量 X落在( （分数：2.00）_20.已知随机变量 X的概率密度为 f(x)= ，求(1)常数 a，b 的值；(2) （分数：2.00）_21.设随机变量 X的概率分布为 PX=k= （分数：2.00）_22.设某地在任何长为 t的时间间隔内发生地震的次数 X服从参数为 t 的泊松分布，时间以周计，0，(1)设 T为两次地震之间的间隔时间，求 T的概率分布；(2)求相邻两周内至少发生三次地震的概率；(3)求连续 8周无地震的条件下，在未来 7周内仍无地震的概率（分数：2.00）_23.设在一段时间内进入某商店的顾客人数 X服从参数为 的泊松分布，每个顾客购
7、买某件物品的概率为p(0p1)，并且每个顾客购买该物品是相互独立的，以 Y表示购买这种物品的顾客人数，求 Y的概率分布（分数：2.00）_24.设连续型随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_25.已知随机变量 X的概率密度为 f X (x)= e -|x| ，一x+，又设 求(1)求 x的分布函数；(2)求 y的概率分布和分布函数；(3)计算 pY （分数：2.00）_26.设连续型随机变量 X的概率密度为 f(x)，分布函数为 F(x)，当 x0 时满足 xf“(x)=(1一 x)f(x)，当x0 时，f(x)=0问常数 a为何值时，概率 PaXa+1最大（分数：2.00
8、）_27.设随机变量 X的绝对值不大于 1，且 Px=-1= （分数：2.00）_28.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，如果 F(0)= （分数：2.00）_29.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_30.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_31.设 x的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_32.设随机变量 x的概率密度 f(x)= （分数：2.00）_33.设随机变量 X的概率密度 f(x)= （分数：2.00）_34.设随机变量 X和 Y相互独立，且都服从标准正态分布 N(0，1)，求 Z=(X+Y) 2 的概率密度 f Z (
9、Z)（分数：2.00）_35.设随机变量 X在区间(一 2，3)上服从均匀分布，Y= （分数：2.00）_考研数学二（概率论与数理统计）-试卷 3答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 F 1 (x)和 F 2 (x)分别为 X 1 和 X 2 的分布函数，为使 F(x)=aF 1 (x)+bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数中应取( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题考查分布函数的性质，如果 X分布函
10、数为 F(x)，则 F(一)=0，F(+)=1，可以得到a，b 应满足的关系 由已知 F 1 (+)=F(+)=1，从而 F(+)=a+b=1，满足该关系的只有(A)3.设连续型随机变量 X的分布函数和概率密度函数分别为 F(x)和 f(x)，则( )（分数：2.00）A.0f(x)1B.P(X=x)F(x) C.P(X=x)=F(x)D.P(X=z)=f(z)解析：解析：本题主要考查连续型随机变量分布的概念和性质，分布函数是事件的概率，即 F(x)=PXx，需要注意概率密度 f(x)=F“(x)，其本身并不表示事件的概率 因为 f(x)0，没有 f(x)1 的限制，故(A)错误 又 F(x)
11、=PXx，而事件X=x4.设随机变量 X服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1)，数 u 满足 P(Xu )=，若使等式P(Xx)=095 成立，则 x=( )（分数：2.00）A.u 0.475 B.u 0.975 C.u 0.025 D.u 0.05 解析：解析：本题考查标准正态分布上侧分位点的概念，可以利用概率密度图形分析 如图 21所示由 P(Xx)=095，得 P(Xx)=1 一 P(Xx)=005，故 x= =u 0.025 ，从而应选C 5.设随机变量 X的概率密度为 f(x)，且有 f(一 x)=f(x)，F(x)为 X的分布函数，则对任意实数 a，有( )（分数：2.
12、00）A.F(-a)=1一 0 a f(x)dxB.F(-a)= C.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-1解析：解析：由分布函数的定义，将其用概率密度表示，再通过积分换元可得结果 因为 f(-x)=f(x)， - 0 f(x)dx= 0 + f(x)dx= 而 F(一 a)= - -a f(x)dx= - 0 f(x)dx+ 0 -a f(x)dx，令 x=一 t，则 0 -a f(x)dx=一 0 a f(一 t)dt=一 0 a f(t)dt=一 0 a f(x)dx，所以 F(一 a)= 6.设随机变量 X服从 N( 1 ， 1 2 )，Y 服从 N( 2 ， 2 2 )，
13、且 PX- 1 1)PX- 2 1)，则( )（分数：2.00）A. 1 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 2 解析：解析：7.设 X服从 N(， 2 )，且 PXPx，则( )（分数：2.00）A. B.C.=D.， 的大小关系不能确定解析：解析：8.设随机变量 Y在0，1上服从均匀分布，F(x)(0F(x)1)是严格单调递减且连续的函数，则由关系式Y=F(X)定义的随机变量 X的分布函数是( )（分数：2.00）A.F(x)B.F -1 (x)C.1一 F(x) D.1一 F -1 (x)解析：解析：设 X的分布函数是 F X (x)=Pxx=PF(X)F(x)=PYF(x)，由于
14、 Y在0，1上服从均匀分布，故 F X (x)=PYF(x)= 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设 X的概率密度为 f(x)，分布函数为 F(x)，对固定的 x 0 ，若使函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：考查概率密度的性质如果 X为连续型随机变量，概率密度为 f(x)，则主要利用 - + f(x)dx=1求取 f(x)中未知参数，本题还要注意 F“(x)=f(x) 由题意，要求 g(x)0， - + g(x)dx=1，即有 10.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= ，表示对 X独立的三次观察中事件X （分数：2.00）填空项 1:
15、_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题的关键是判断出 Y的概率分布由于 Y表示对 X独立的三次观察中事件x 出现的次数，因此 Y服从二项分布 B(3，p)，而 p=PX 由已知Y 服从二项分布 B(3p)11.一射手进行射击，击中目标的概率为 p(0p1)，现在他领到 5发子弹，进行射击直到命中目标或子弹用完为止，以 X表示他射击实际脱靶的次数，则 Px=1= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：P(1-p)）解析：解析：考查独立重复试验中的“有限几何分布”，需要具备把实际问题提炼成概率模型的能力计算事件X=1的概率，关键是理解清楚它的含义，即X=1相当于事件”“
16、第 1次脱靶而第 2次命中” 设 A表示事件“第 2次命中”则 PX=1=P(A)=P(1-p)12.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )(0)，且二次方程 y 2 +4y+X：0 无实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 ，即 P4 2 一 4X0=PX4= 正态分布概率密度曲线关于 x= 对称，故 PXPX= 13.设随机变量 X在区间a，b(a0)上服从均匀分布，且 P0x3= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设随机变量 X的概率密度为 f(x
17、)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由已知，f(x)= 又 aX+bN(一 a+b，2a 2 )，得一 a+b=0，2a 2 =1，从而 a=b= ）解析：解析：考查正态分布密度函数的形式和其线性函数的分布，将 f(x)与正态分布的密度表达式做对应分析15.设随机变量 X服从 N(2， 2 )，且 P2X4=03，则 PX0= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02）解析：解析：16.已知随机变量 X的分布函数 F(x)是连续的严格单调函数，Y=1 一 2X，F(025)=075，PYk=025，则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （
18、正确答案：正确答案：05）解析：解析：因为 PYk=P1 一 2Xk=px =025，F(025)=PX025=075，从而三、解答题(总题数：19，分数：38.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设随机变量 X的概率分布为 PX=k=C （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：如果 X为离散型随机变量，其概率分布为 PX=x i =p i ，i=1，2，则主要利用性质 19.设连续型随机变量 X的分布函数为 F(x)= ，试求(1)常数 A，B；(2)随机变量 X落在( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析
19、：解析：考查分布函数的性质连续型随机变量的分布函数是连续函数，直接解答即可20.已知随机变量 X的概率密度为 f(x)= ，求(1)常数 a，b 的值；(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：题中概率密度表达式有两个未知参数，可以利用性质和所给事件的概率联合求出，再利用分布计算所求事件的概率21.设随机变量 X的概率分布为 PX=k= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：解析：求离散型随机变量的概率分布先要确定随机变量可能所取的值，再计算取各值的概率本题需要先利用分布的性质确定常数 C，再确定 Y可能取的值，计算概率即可 当 X=1，5，9，时，Y=
20、1， 当 X=2，4，6，时，Y=0， 当 X=3，7，11，时，Y=一 1，22.设某地在任何长为 t的时间间隔内发生地震的次数 X服从参数为 t 的泊松分布，时间以周计，0，(1)设 T为两次地震之间的间隔时间，求 T的概率分布；(2)求相邻两周内至少发生三次地震的概率；(3)求连续 8周无地震的条件下，在未来 7周内仍无地震的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由已知条件，X 服从参数为 t 的泊松分布，其概率分布为 PX=k= ，k=0，1，2， 设 T的分布函数为 F T (t)=PTt，t0 当 t0 时，F T (t)=0； 当t0 时，在一次地震后的时间 t内无
21、地震的事件可表示为 PTt=PX=0=e -t ，T 的分布函数 F T (t)=PTt=1PTt)=1e -t ，综上， )解析：解析：主要考查指数分布及其无记忆性可由 T的分布函数的定义式 PTt着手求 T的分布函数的实质是计算事件Tt的概率，关键是找到发生地震的次数 X与 T的联系23.设在一段时间内进入某商店的顾客人数 X服从参数为 的泊松分布，每个顾客购买某件物品的概率为p(0p1)，并且每个顾客购买该物品是相互独立的，以 Y表示购买这种物品的顾客人数，求 Y的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 Px=n= ，n=0，1，2， 又 PY=kX=n=C n k p
22、 k (1-p) n-k ，k=0，1，2，n )解析：解析：考查离散型随机变量概率分布的计算本题关键是能够识别购买某物品的人数 Y服从的是进入人数为 x=n人的条件下的二项分布，且受进入商店人数的影响，可以使用全概率公式24.设连续型随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 0 1 xdx+ 1 2 k(2一 x)dx= =1，得 k=1 (2)因为 F(x)= - x f(t)dt，所以 当 x0 时，F(x)=0； 当 0x1 时 F(x)= 0 x f(t)dt= x 2 ； 当 1x2 时F(x)= 0 x f(t)dt= 0 1 td
23、t+ 1 x (2-t)dt=2x一 x 2 -1； 当 x2 时，F(X)=1 期 F(x)= )解析：解析：考查利用概率密度计算分布函数的方法，是基本问题注意到 f(x)是分段函数，可根据 x的不同取值范围直接利用公式 F(x)= - x f(t)dt计算25.已知随机变量 X的概率密度为 f X (x)= e -|x| ，一x+，又设 求(1)求 x的分布函数；(2)求 y的概率分布和分布函数；(3)计算 pY （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由于 f X (x)= 设 X的分布函数为 F X (x) 当 x0 时，分布函数 )解析：解析：本题将离散型随机变量和连续型随机
24、变量结合，考查离散型随机变量的概率分布随机变量X的分布函数直接利用分布函数计算公式计算，Y 为离散型随机变量，取值为一 1和 1，而 X的分布已知，从而可求出 Y取一 1和 1的概率26.设连续型随机变量 X的概率密度为 f(x)，分布函数为 F(x)，当 x0 时满足 xf“(x)=(1一 x)f(x)，当x0 时，f(x)=0问常数 a为何值时，概率 PaXa+1最大（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 xf“(x)=(1一 x)f(x)，解得 f(x)=cxe -x ，x0，再由 - + f(x)dx=1，得 c=1所以 又 PaXa+1= a a+1 xe -x dx 设 (a
25、)= a a+1 xe -x dx，“(a)=(a+1)e -(a+1) -ae -a )解析：解析：本题没有直接给出概率密度表达式，因此先通过解其所满足的微分方程得到 f(x)的表达式，再根据求函数最大最小值的方法确定 a27.设随机变量 X的绝对值不大于 1，且 Px=-1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)X 可能取值范围为一 1，1 当 x一 1时，F(x)=PXx=P =0； 当 x1 时，F(x)=1； 当一 1x1 时，F(x)=Px=一 1+P一 1xx )解析：解析：本题是按照考试大纲的要求，考查运用分布函数描绘随机变量的能力随机变量 X属于非离散型随机变量，
26、由已知条件 PX1=1PX=一 1-PX=1=1一28.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，如果 F(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)dx=1，有 a - + f 1 (x)dx+b - + f 2 (x)dx=a+b=1 注意到 f 1 (x)是 N(0，)的密度函数 f 2 (x)是 E()的密度函数，从而 )解析：解析：同时考查两种常见分布f(x)作为概率密度必须满足 - + f(x)dx=1，而 F(0)=PX0= - 0 f(x)dx，联立可得到 a，b 的值29.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：公式法
27、 如果 x的概率密度为 f(x)，y=g(x)严格单调且连续，反函数为 x=h(y)，则 Y=g(X)的概率密度 )解析：解析：由于 y=arctan x是单调增加函数，可以利用公式，也可以利用分布函数法，即先求 Y的分布函数，再求导数得概率密度30.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y=sin X 的取值范围为(0，1) 设 Y的分布函数为 F Y (y)=PYy=Psin Xy 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 0y1 时，如图 22， F Y (y)=P(0Xarcsin y)(-arcsin yX) )解析：解析：在(0，)上，y=
28、sinx 不是单调函数，利用分布函数法求解31.设 x的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件， 当 x1 时，F(x)=0； 当 1x8 时，F(x)= 当 x8 时，F(x)=1； 综合上述讨论可得 Y的取值范围为0，1，当 y0 时，F Y (y)=0；y1 时，F Y (y)=1；0y1 时，F Y (y)=PYy=PF(x)y=P 一 1y=F(y+1) 3 )=y )解析：解析：本题考查随机变量函数 Y=F(X)的概率分布，由于没有直接给出函数的表达式，需要先确定F(x)= - x (t)dt的具体形式，再求 Y=F(X)的分布函数32.设随机
29、变量 x的概率密度 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 - + f(x)dx=1，有 =1，从而 k=1 (2)可用图形分析，如图 2-3所示，PXa= a + f(x)dx，表示以 f(x)为曲边的曲边梯形面积，可得 3a4 (3)Y=X的取值范围为0，+) 设 Y的分布函数为 F Y (y)=PYy )解析：33.设随机变量 X的概率密度 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：随机变量 Y=X 2 的取值范围是0，+) 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 0y1时，有 )解析：解析：由于 f(x)是分段函数，因此在求积分 - x f(t)dt
30、时，要正确划分积分区间，确定出随机变量 Y的取值范围，先求出 F Y (y)34.设随机变量 X和 Y相互独立，且都服从标准正态分布 N(0，1)，求 Z=(X+Y) 2 的概率密度 f Z (Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 T=X+Y，则 Z=T 2 ，由独立条件下正态分布的性质，T 服从 N(0，2)， )解析：解析：解答本题的关键是独立条件下正态分布的性质因为 X和 Y相互独立，且都服从标准正态分布 N(0，1)，可知 X+Y服从 N(0，2)，再利用分布函数法求解35.设随机变量 X在区间(一 2，3)上服从均匀分布，Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：随机变量 Y的取值范围为一 1，1 设 y的分布函数为 F Y (y)=PYy 当y一 1时，F Y (y)=PYy=0； )解析：解析：本题考查随机变量函数的分布函数，需根据分布函数的定义求解
