1、考研数学二（特征向量与特征值，相似，对角化）模拟试卷 3及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A为 n阶可逆矩阵， 是 A的一个特征值，则伴随矩阵 A * 的一个特征值是（分数：2.00）A. -1 A n-1 B. -1 AC.AD.A n-1 3.设 =2 是可逆矩阵 A的一个特征值，则( A 2 ) -1 +E的一个特征值是 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A是 3阶不可逆矩阵， 1 ， 2 是 Ax=0的基础解系， 3 是属于特征值
2、 =1 的特征向量，下列不是 A的特征向量的是（分数：2.00）A. 1 +3 2 B. 1 - 2 C. 1 + 3 D.2 3 5.设 0 是 A的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（分数：2.00）A.(A+E) 2 B.-2AC.A T D.A * 6.下列矩阵中不能相似对角化的是 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 A是 n阶非零矩阵，A m =0，下列命题中不一定正确的是（分数：2.00）A.A的特征值只有零B.A必不能对角化C.E+A+A 2 +A m-1 必可逆D.A只有一个线性无关的特征向量二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.设 A是 n阶矩阵，r(
3、A)n，则 A必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 A是 n阶可逆矩阵， 是 A的特征值，则(A * ) 2 +E必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_10.已知-2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A是秩为 2的 3阶实对称矩阵，且 A 2 +5A=0，则 A的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 =(1，1，-1) T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A是 3阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A是 3阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 1
4、=(1，2，1) T 与 2 =(1，-1，1) T 分别是=0 与 =1 的特征向量，则 =2 的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_16.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.已知实对称矩阵 A满足 A 3 +A 2 +A-3E=0，证明 A=E（分数：2.00）_19.设 A为实矩阵，证明 A T A的特征值都是非负实数（分数：2.00）_20.设 A为反对称矩阵，则 (1)若 k是
5、A的特征值，-k 一定也是 A的特征值 (2)如果它的一个特征向量 的特征值不为 0，则 T =0 (3)如果 A为实反对称矩阵，则它的特征值或为 0，或为纯虚数（分数：2.00）_21.已知 A= （分数：2.00）_22.已知 A= （分数：2.00）_23.已知 A= （分数：2.00）_24.已知 A是 3阶不可逆矩阵，-1 和 2是 A的特征值，B=A 2 -A-2E，求 B的特征值，并问 B能否相似对角化，并说明理由.（分数：2.00）_25.设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 = 2 =6是 A的二重特征值，若 1 =(1，1，0) * ， 2 =(2，1，1) * ， 3
6、=(-1，2，-3) * 都是 A属于 =6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_26.已知 AB，A 2 =A，证明 B 2 =B（分数：2.00）_27.已知 1 ， 2 ， 3 是 A的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关，如 1 + 2 + 3 仍是 A的特征向量，则 1 = 2 = 3 （分数：2.00）_考研数学二（特征向量与特征值，相似，对角化）模拟试卷 3答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A为 n阶可
7、逆矩阵， 是 A的一个特征值，则伴随矩阵 A * 的一个特征值是（分数：2.00）A. -1 A n-1 B. -1 A C.AD.A n-1 解析：解析：如 A=，则 A -1 = 从而 A * = 3.设 =2 是可逆矩阵 A的一个特征值，则( A 2 ) -1 +E的一个特征值是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：如 A=则( A 2 ) -1 +E=3(A -1 ) 2 += 当 =2 时，知( A 2 ) -1 +E有特征值 4.设 A是 3阶不可逆矩阵， 1 ， 2 是 Ax=0的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不是 A的特征向量的是（分数：2.0
8、0）A. 1 +3 2 B. 1 - 2 C. 1 + 3 D.2 3 解析：解析：A 1 =0，A 2 =0，A 3 = 3 则 A( 1 +3 2 )=0，A( 1 - 2 )=0，A(2 3 )=2 3 因此(A)，(B)，(D)都正确 A( 1 + 3 )= 3 ，和 1 + 3 不相关，因此 1 + 3 不是特征向量，故应选(C)5.设 0 是 A的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（分数：2.00）A.(A+E) 2 B.-2AC.A T D.A * 解析：解析：由E-A T =(E-A) T =E-A，知 A与 A T 有相同的特征值，但方程组(E-A)x=0与(E-A
9、 T )x=0不一定同解，故 A与 A T 特征向量不一定相同故应选(C)6.下列矩阵中不能相似对角化的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(A)是实对称矩阵，(C)有 3个不同的特征值，均可对角化 (B)和(D)特征值都是0，0，3 在(B)中，n-r(0E-A)=2，说明 =0 有 2个线性无关的特征向量故可以相似对角化 在(D)中，n-r(0E-A)=1，说明 =0 只有 1个线性无关的特征向量因此不能相似对角化 故应选(D)7.设 A是 n阶非零矩阵，A m =0，下列命题中不一定正确的是（分数：2.00）A.A的特征值只有零B.A必不能对角化C.E+A+A 2 +A
10、m-1 必可逆D.A只有一个线性无关的特征向量 解析：解析：设 A=，0，则 A m = m =0故 =0(A)正确 因为 A0，r(A)1，那么 Ax=0的基础解系有 n-r(A)个解，即 =0 有 n-r(A)个线性无关的特征向量故(B)正确，而(D)不一定正确 由(E-A)(E+A+A 2 +A m-1 )=E-A m =E，知(C)正确 故应选(D)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.设 A是 n阶矩阵，r(A)n，则 A必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：=0；）解析：解析：r(A)n A=0 =0 必是 A的特征值 由 r(A)n 9.设
11、 A是 n阶可逆矩阵， 是 A的特征值，则(A * ) 2 +E必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A 的特征值为 A * 的特征值为 (A * ) 2 的特征值为 (A * ) 2 +E的特征值为 10.已知-2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-4）解析：解析：因为-2 是矩阵 A的特征值，所以由11.设 A是秩为 2的 3阶实对称矩阵，且 A 2 +5A=0，则 A的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-5，-5，0）解析：解析：因为 A是实对称矩阵，故 A-又 r(A)=
12、2，所以 r(A)=2设 A=(0)，由 A 2 +5A=0得 2 +5 2 =0因此 A的特征值为 0或-5. 从而 12.已知 =(1，1，-1) T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设 A=，即 亦即13.设 A是 3阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为各行元素之和都是 5，即 亦即 从而 所以矩阵 A必有特征向量14.设 A是 3阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 1 =(1，2，1) T 与 2 =(1，-1，1) T 分别是=0 与
13、 =1 的特征向量，则 =2 的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(-1，0，1) T ，t0）解析：解析：设 A=2的特征向量是 =(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 15.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：由 AB，知a ij =b ii ，且-1 是 A的特征值，即 16.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：由 A的特征多项式 E-A= =(+1) 3 ， 知矩阵 A的
14、特征值是 =-1(三重根)，因为 A只有 2个线性无关的特征向量，故 r(-E-A)= 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.已知实对称矩阵 A满足 A 3 +A 2 +A-3E=0，证明 A=E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A是实对称矩阵，所以 A可相似对角化要证本题的结论只用证 A的特征值只有 1一个 设 A是 A的特征值，则 A是实数，并且应满足 3 + 2 +-3=0，即(-1)( 2 +2+3)=0此方程的实数解只有 1，因此 =1)解析：19.设 A为实矩阵，证明 A T A
15、的特征值都是非负实数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A T A是实对称矩阵，特征值都是实数设 是 A T A的一个特征值， 是属于 的一个实 特征向量，则 A T A=于是 T A T A= T ，即 )解析：20.设 A为反对称矩阵，则 (1)若 k是 A的特征值，-k 一定也是 A的特征值 (2)如果它的一个特征向量 的特征值不为 0，则 T =0 (3)如果 A为实反对称矩阵，则它的特征值或为 0，或为纯虚数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)若 k是 A的特征值，则 k也是 A T 的特征值而 A T =-A，于是-k 是 A的特征值 (2)设 的特征值为 ，则
16、A= T = T A=(A T ) T =(-A) T =- T 不为 0，则 T =0 (3)A 为实反对称矩阵，则由上例知道，-A 2 =A T A的特征值都是非负实数，从而 A 2 的特征值都是非正实数设 是 A的特征值，则 2 是 2 的特征值，因此 2 0，于是 为 0，或为纯虚数)解析：21.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由特征多项式 E-A= )解析：22.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A= )解析：23.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由特征多项式 E-A= =(-1) 2 (+2)， 知矩阵 A的特征
17、值为 1 = 2 =1， 3 =-2 因为矩阵 A可以相似对角化，故 r(E-A)=1而 所以 x=-6 当 =1 时，由(E-A)x=0得基础解系 1 =(-2，1，0) T ， 2 =(0，0，1) T 当 =-2 时，由(-2E-A)x=0 得基础解系 3 =(-5，1，3) T 那么，令 P=( 1 ， 1 ， 3 )= ，得 P -1 AP= )解析：24.已知 A是 3阶不可逆矩阵，-1 和 2是 A的特征值，B=A 2 -A-2E，求 B的特征值，并问 B能否相似对角化，并说明理由.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为矩阵 A不可逆，有A=0，从而 =0 是 A的特征值
18、 由于矩阵 A有 3个不同的特征值，则 AA= 于是 P -1 AP=A那么 P -1 A 2 P=A 2 因此 P -1 BP=P -1 A 2 P-P -1 AP-2E= )解析：25.设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 = 2 =6是 A的二重特征值，若 1 =(1，1，0) * ， 2 =(2，1，1) * ， 3 =(-1，2，-3) * 都是 A属于 =6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(A)=2知A=0，所以 =0 是 A的另一特征值 设矩阵 A属于 =0 的特征向量 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，由于实对称矩阵不同特征值的
19、特征向量相互正 交，故有 解出此方程组的基础解系 =(-1，1，1) T 那么 A( 1 ， 2 ，)=(6 1 ，6 2 ，0)，用初等变换法解此矩阵方程得 )解析：26.已知 AB，A 2 =A，证明 B 2 =B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，有 P -1 AP=B，那么 B 2 =P -1 A2P=P -1 AP=B)解析：27.已知 1 ， 2 ， 3 是 A的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关，如 1 + 2 + 3 仍是 A的特征向量，则 1 = 2 = 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 1 + 2 + 3 是矩阵 A属于特征值 的特征向量，即 A( 1 + 2 + 3 )=( 1 + 2 + 3 ) 又 A( 1 + 2 + 3 )=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 ，于是 (- 1 ) 1 +(- 2 ) 2 +(- 3 ) 3 =0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 - 1 =0，- 2 =0，- 3 =0 即 1 = 2 = 3 )解析：
