1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量、二次型）历年真题试卷汇编 1 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2005 年)设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 1 2 )线性无关的充分必要条件是 【 】（分数：2.00）A. 1 0B. 2 0C. 1 0D. 2 03.(2010 年)设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 AO若 A 的秩为 3，则 A 相似于 【 】（分数：2.00）A.
2、B.C.D.4.(2013 年)矩阵 （分数：2.00）A.a0，b2B.a0，b 为任意常数C.a2，b0D.a2，b 为任意常数5.(2007 年)设矩阵 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似6.(2008 年)设 A （分数：2.00）A.B.C.D.7.(2015 年)设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )在正交变换 Py 下的标准形为 2y 1 2 y 2 2 y 3 2 ，其中 P(e 1 ，e 2 ，e 3 )若 Q(e 1 ，e 3 ，e 2 )，则 f( 1 ， 2 ， 3 )在正交变换Qy，下的标准形为 【 】（分数：
3、2.00）A.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 B.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 C.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 D.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.(2002 年)矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_9.(2008 年)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式2A48，则 1（分数：2.00）填空项 1:_10.(2009 年)设 ， 为 3 维列向量， T 为 的转置若矩阵 T 相似于 （分数：2.00）填空项 1:_11.(2015 年)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，2，1，BA 2 AE，其中
4、 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式B 1（分数：2.00）填空项 1:_12.(2011 年)二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 3 2 2 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 ，则厂的正惯性指数为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.(2014 年)设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 2a 1 3 4 2 3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.(2003 年)若矩阵 A （分数：2.00）
5、_16.(2004 年)设矩阵 A （分数：2.00）_17.(2006 年)设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 (1，2，1) T ， 2 (0，1，1) T 是线性方程组 A0 的两个解 ()求 A 的特征值与特征向量； ()求正交矩阵 Q和对角矩阵 A，使得 Q T AQA（分数：2.00）_18.(2007 年)设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 1， 2 2， 3 2，且 1 (1，1，1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 BA 5 4A 3 E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 ()验证 是矩阵B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； (
6、)求矩阵 B（分数：2.00）_19.(2008 年)设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 为 A 的分别属于特征值1，1 的特征向量，向量 3 满足A 3 2 3 ()证明 1 ， 2 ， 3 线性无关； ()令 P 1 ， 2 ， 3 ，求 P -1 AP（分数：2.00）_20.(2010 年)设 A ，正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵若 Q 的第 1 列为 （分数：2.00）_21.(2011 年)设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_22.(2014 年)证明 n 阶矩阵 （分数：2.00）_23.(2015 年)设矩阵 A 相似于矩阵 B
7、 （分数：2.00）_24.(2009 年)设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )a 1 2 a 2 2 (a1) 3 2 2 1 3 2 2 3 ()求二次型厂的矩阵的所有特征值； ()若二次型 f 的规范形为 y 1 2 y 2 2 求 a 的值（分数：2.00）_25.(2012 年)已经知 A （分数：2.00）_26.(2013 年)设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )2(a 1 1 a 2 2 a 3 3 )(b 1 1 b 2 2 b 3 3 ) 2 ，记 （分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量、二次型）历年真题试卷汇编 1 答案解析(总分：52.00，做题时间
8、：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2005 年)设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 1 2 )线性无关的充分必要条件是 【 】（分数：2.00）A. 1 0B. 2 0 C. 1 0D. 2 0解析：解析：由 1 2 及特征值的性质知 1 ， 2 线性无关显然，向量组 1 ，A( 1 2 ) 1 ， 1 1 2 2 等价于向量组 1 ， 2 ， 2 )当 2 0 时，它线性无关，当 2 0 时，它线性相关，故 1 ，
9、A( 1 2 )线性无关 3.(2010 年)设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 AO若 A 的秩为 3，则 A 相似于 【 】（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：设 A 为 A 的特征值且 为对应的特征向量，则有 A m m (m1，2，)，故有 (A 2 A)O0， 即( 2 )0， 因 0，得 2 0，从而有 0 或 1，又因 r(A)3，所以 A 的非零特征值有 3 个，有 1 个特征值为 0，即 A 的全部特征值为：1，1，1，0，所以只有选项 D 正确4.(2013 年)矩阵 （分数：2.00）A.a0，b2B.a0，b 为任意常数 C.a2，b0D.a2，b 为
10、任意常数解析：解析：B 为对角矩阵，B 的特征值为其主对角线元素 2，6，0若 A 与 B 相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知 2 为 A 的一个特征值，从而有 由此得 a0当 a0 时，矩阵 A 的特征多项式为5.(2007 年)设矩阵 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似 C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似解析：解析：由 A 的特征方程 6.(2008 年)设 A （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：记 D 项中的矩阵为 D，则由 知 A 与 D 有相同的特征值 3 与1，它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵 P 与 Q，使 P T AP Q T DQ
11、， 7.(2015 年)设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )在正交变换 Py 下的标准形为 2y 1 2 y 2 2 y 3 2 ，其中 P(e 1 ，e 2 ，e 3 )若 Q(e 1 ，e 3 ，e 2 )，则 f( 1 ， 2 ， 3 )在正交变换Qy，下的标准形为 【 】（分数：2.00）A.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 B.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 C.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 D.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 解析：解析：设二次型的矩阵为 A，则由题意知矩阵 P 的列向量 e 1 ，e 2 ，e 3 是矩阵 A 的标准正交的特征向量，对应的
12、特征值依次是 2，1，1即有 Ae 1 2e 1 ，Ae 2 2e 2 ，Ae 3 2e 3 从而有 AQA(e 1 ，e 3 ，e 2 )(Ae 1 ，Ae 3 ，Ae 2 )(2e 1 ，(e 3 )，e 2 ) (e 1 ，e 3 ，e 2 ) 矩阵 Q 的列向量 e 1 ，e 3 ，e 2 仍是 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，1，1矩阵 Q 是正交矩阵，有 Q -1 Q T ，上式两端左乘 Q -1 得 Q -1 AQQ T AQ 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.(2002 年)矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：
13、解析：由 A 的特征方程9.(2008 年)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式2A48，则 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由于方阵的行列式等于方阵的全部特征值的乘积，故有 482A8A82348，于是 110.(2009 年)设 ， 为 3 维列向量， T 为 的转置若矩阵 T 相似于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为矩阵相似于对角矩阵时，则对角矩阵的对角元即为矩阵的特征值，故 T 的全部特征值为 1 2， 2 3 0设 (a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ，(b 1 ，b 2 ，b 3 )
14、 T 则 11.(2015 年)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，2，1，BA 2 AE，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式B 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：21）解析：解析：因为 BA 2 AEf(A)，其中多项式 f(t)t 2 t1，所以由 A 的特征值2，2，1，得 B 的特征值为 f(2)3，f(2)7，f(1)1 这是 3 阶矩阵 B 的全部特征值，由特征值的性质得 B3712112.(2011 年)二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 3 2 2 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 ，则厂的正惯性指数为 1（分数：2.00）填空项
15、 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：f 的矩阵为 A ，由 A 的特征方程 13.(2014 年)设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 2a 1 3 4 2 3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2）解析：解析：对 f 配方，可得 f( 1 a 3 ) 2 ( 2 2 3 ) 2 (4a 2 ) 3 2 于是 f 可经可逆线性变换 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.(2003 年)若矩阵 A （分数：2
16、.00）_正确答案：(正确答案：由 A 的特征多项式 A (6)( 2 412)(6) 2 (2) 得 A 的特征值为 * 2 6， 3 2 因为 A 只有一个重特征值 6(二重)，所以， A可对角化 对应于特征值 6 的线性无关特征向量有 2 个 齐次方程组(6EA)0 的基础解系含 2 个向量 3秩(6EA)2 秩(6EA)1 从而由 知 a0，且由此可得对应于 1 2 6 的两个线性无关特征向量可取为 对于特征值 3 2，由 得对应的一个特征向量可取为 (1，2，0) T 于是 1 ， 2 ， 3 就是 3 阶方阵 A 的 3 个线性无关特征向量，令矩阵 则 P 可逆，且使 P -1 A
17、P )解析：16.(2004 年)设矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式为 (1)若 2 是 f()的二重根，则有( 2 8183a) 2 2 2 16183a3a60，解得 a2 当 a2 时，A 的特征值为2，2，6，矩阵 2EA 的秩为 1，故对应于二重特征值 2 的线性无关特征向量有两个，从而 A 可相似对角化 (2)若 2 不是 f()的二重根，则 2 8183a 为完全平方，从而183a16，解得 a 当 a 时， A 的特征值为 2，4，4，矩阵 4EA )解析：17.(2006 年)设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 (1
18、，2，1) T ， 2 (0，1，1) T 是线性方程组 A0 的两个解 ()求 A 的特征值与特征向量； ()求正交矩阵 Q和对角矩阵 A，使得 Q T AQA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以 因为 A 1 0，A 2 0，即 A 1 0 1 ，A 2 0 2 故由定义知 1 2 0 是 A 的二重特征值， 1 ， 2 为 A 的属于特征值 O 的两个线性无关特征向量； 3 3 是 A 的一个特征值， 3 (1，1，1) T 为 A的属于特征值 3 的特征向量 总之，A 的特征值为 0，0，3属于特征值 0 的全体特征向量为 k 1 1
19、 k 2 2 (k 1 ，k 2 不全为零)，属于特征值 3 的全体特征向量为 k 3 3 (k 3 0) ()对 1 ， 2 正交化令 1 1 (1，2，1) T 再分别将 1 ， 2 ， 3 单位化，得 )解析：18.(2007 年)设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 1， 2 2， 3 2，且 1 (1，1，1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 BA 5 4A 3 E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 ()验证 是矩阵B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()记矩阵 A 的属于特征值 i 的特征向量为 i (
20、i1，2，3)，由特征值的定义与性质，有 A k i B 1 (A 5 4A 3 E) 1 ( 1 5 4 1 3 1) 1 2 1 因 1 0，故由定义知2 为 B 的一个特征值且 1 为对应的一个特征向量类似可得 B 2 ( 2 5 2 3 1) 2 2 B 3 ( 3 5 3 3 1) 3 3 因为 A 的全部特征值为 1 ， 2 ， 3 ，所以 B 的全部特征值为 i 5 4 i 3 1(i1，2，3)，即 B 的全部特征值为2，1，1 因2 为 B 的单特征值，故 B 的属于特征值2 的全部特征向量为 k 1 1 ，其中 k 1 是不为零的任意常数 设 ( 1 ， 2 ， 3 ) T
21、 为 B 的属于特征值 1 的任一特征向量因为 A 是实对称矩阵，所以 B 也是实对称矩阵因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以有( 1 ， 2 ， 3 ) 1 0，即 1 2 3 0 解得该方程组的基础解系为 2 (1，1，0) T ， 3 (1，0，1) T 故 B 的属于特征值 1 的全部特征向量为 k 2 2 k 3 3 ，其中 k 2 ，k 3 为不全为零的任意常数 ()由()知 1 ， 2 ， 3 为 B 的 3 个线性无关的特征向量，令矩阵 )解析：19.(2008 年)设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 为 A 的分别属于特征值1，1 的特征向量，向量 3 满足A
22、3 2 3 ()证明 1 ， 2 ， 3 线性无关； ()令 P 1 ， 2 ， 3 ，求 P -1 AP（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设存在一组常数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 用 A 左乘式两端，并利用 A 1 1 ，A 2 2 ， k 1 1 (k 2 k 3 ) 2 k 3 3 0 一，得 2k 1 1 k 3 2 0 因为 1 ， 2 是 A 的属于不同特征值的特征向量，所以 1 ， 2 线性无关，从而由式知 k 1 k 3 0，代入式得 k 2 2 0，又由于 2 0，所以 k 2 0，故 1 ， 2 ， 3 线性无关
23、 ()由题设条件可得 APA 1 ， 2 ， 3 A 1 ，A 2 ，A 3 1 ， 2 ， 2 3 1 ， 2 ， 3 由()知矩阵 P 可逆，用 P -1 左乘上式两端，得 )解析：20.(2010 年)设 A ，正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵若 Q 的第 1 列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，(1，2，1) T 为 A 的一个特征向量，于是有 A 1 ，即 得 A 的特征值为 2，5，4 对于特征值 5，求齐次线性方程组(5IA)0 的基础解系，由 得通解 1 3 ， 2 3 ( 3 任意)令 3 1，得基础解系为(1，1，1) T ，将其单位化，得属
24、于特征值 5 的一个单位特征向量为 (1，1，1) T 同理可求得属于特征值4 的一个单位特征向量为 (1，0，1) T )解析：21.(2011 年)设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 A 的秩为 2，故 0 是 A 的一个特征值由题设可得 所以，1 是A 的一个特征值，且属于1 的特征向量为 k 1 (1，0，1) T ，k 1 为任意非零常数；1 也是 A 的一个特征值，且属于 1 的特征向量为 k 2 (1，0，1) T ，k 2 为任意非零常数 设 ( 1 ， 2 ， 3 ) T 为 A 的属于 0 的特征向量，由于
25、A 为实对称矩阵，A 的属于不同特征值的特征向量相互正交，则 解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0，1，0) T ，于是属于 0 的特征向量为 k 3 (0，1，0) T ，其中 k 3 为任意非零常数 )解析：22.(2014 年)证明 n 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以 A 与 B 有相同的特征值 1 n， n 0(n1 重) 由于 A 为实对称矩阵，所以 A 相似于对角矩阵 )解析：23.(2015 年)设矩阵 A 相似于矩阵 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于矩阵 A 与 B 相似，所以二矩阵有相同的迹(主对角线元素之和)、有相同的行列式
26、，由此得 a3b2，2a3b 解得 a4，b5 ()由于矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征多项式： EAEB(1) 2 (5) 由此得 A 的特征值为 1 2 1， 3 5 对于 1 2 1，解方程组(EA)0，有 得对应于 1 2 1 的线性无关特征向量 对于 3 5，解方程组(5EA)0，由 得对应于 3 5 的特征向量 令矩阵 P 1 2 3 则矩阵 P 可作为所求的可逆矩阵，使得 )解析：24.(2009 年)设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )a 1 2 a 2 2 (a1) 3 2 2 1 3 2 2 3 ()求二次型厂的矩阵的所有特征值； ()若二次型 f 的规范形为
27、 y 1 2 y 2 2 求 a 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.(2012 年)已经知 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 r(A T A)r(A)，对 A 施以初等行变换 可见当 a1 时，r(A)2，所以 a1 () 由于 a1，所以 A T A 矩阵 A T A 的特征多项式为 EA T A (2)( 2 6)(2)(6)， 于是得 A T A 的特征值为 1 2， 2 6， 3 0 对于 1 2，由求方程组(2EA T A)0 的一个非零解，可得属于 1 2 的一个单位特征向量 (1，1，0) T ； 对于 2 6，由求方程组(6EA T A)0 的一个非零解，可得属于 2 6 的一个单位特征向量 (1，1，2) T ； 对于 3 0，由求方程组(A T A)0的一个非零解，可得属于 3 0 的一个单位特征向量 (1，1，1) T 令矩阵 Q )解析：26.(2013 年)设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )2(a 1 1 a 2 2 a 3 3 )(b 1 1 b 2 2 b 3 3 ) 2 ，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
