1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）-试卷2 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0B. 2 0C. 1 =0D. 2 =0二、填空题(总题数：1，分数：2.00)3.设向量 1 =(1，2，1) T 和 2 =(1，1，2) T 都是方阵 A 的属于特征值 =2 的
2、特征向量，又向量= 1 +2 2 ，则 A 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：68.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_5.设 A，B 为同阶方阵，(1)如果 A，B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等；(2)举一个 2 阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；(3)当 A，B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立（分数：2.00）_6.设实对称矩阵 （分数：2.00）_设矩阵 （分数：4.00）(1).a 的值；（分数：2.00）_(2).正交矩阵 Q，使 Q T AQ 为对角矩阵（分数：2.00）_7.设三阶实对称矩阵 A
3、的特征值为 1 =一 1， 2 = 3 =1，对应于 1 的特征向量为 （分数：2.00）_设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3；矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1 =(一 1，一1，1) T ， 2 =(1，一 2，一 1) T （分数：4.00）(1).求 A 的属于特征值 3 的特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一 1，2，一 3) T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量（
4、分数：4.00）(1).求 A 的另一特征值和对应的特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =一 2，且 1 =(1，一 1，1)。 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A 5 一 4A 3 +E，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：4.00）(1).验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 B（分数：2.00）_设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，对应的特征向量依次为 （分数：4.00）(1).将 用 1 ，
5、 2 ， 3 线性表出；（分数：2.00）_(2).求 A n (n 为自然数)（分数：2.00）_8.已知 3 阶实对称矩阵 A 满足 trA=一 6，AB=C，其中 （分数：2.00）_9.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =一 1，且 1 =(1，a+1，2) T ， 1 =(a 一1，一 a，1) T 。分别是 1 ， 2 对应的特征向量 又 A 的伴随矩阵 A * 有一个特征值为 A * ,属于 0 的特征向量为 0 =(2，一 5a，2a+1) T 试求 a、 0 的值，并求矩阵 A（分数：2.00）_设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2，且 （分数：
6、4.00）(1).求 A 的所有特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_10.设方阵 A 满足条件 A T A=E，其中 A T 是 A 的转置矩阵，E 为单位阵试证明 A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 1（分数：2.00）_11.没 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值， 1 ， 2 分别是 A 的对应于 1 ， 2 的特征向量，证明 1 + 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_12.设 0 为可逆矩阵 A 的一个特征值，证明 0 0，且 是 A 的逆矩阵 A 一 1 的一个特征值 （分数：2.00）_13.设 ，
7、 均为三维单位列向量，并且 T =0，若 A= T + T ，则必有非零列向量 x，使Ax=0，并且 A 与 A 相似，写出对角矩阵 A（分数：2.00）_14.设 A 为 3 阶方阵，且有 3 个相异的特征值 1 ， 2 ， 3 ，对应的特征向量依次为 1 , 2 , 3 ，令 = 1 + 2 + 3 ，证明：，A，A 2 线性无关（分数：2.00）_15.设 A，B 均为 n 阶方阵，A 有 n 个互异特征值，且 AB=BA证明：B 能相似于对角矩阵（分数：2.00）_16.证明 n 阶矩阵 （分数：2.00）_设 A 为 3 阶矩阵， 1 , 2 , 3 是线性无关的 3 维列向量，且满
8、足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 （分数：6.00）(1).求矩阵 B使得 A( 1 , 2 , 3 )=( 1 , 2 , 3 )B；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_(3).求可逆矩阵 P，使得 P 一 1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_已知矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：4.00）(1).求 x 与 y；（分数：2.00）_(2).求正交矩阵 Q，使得 Q 一 1 AQ=B（分数：2.00）_设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =(一 1，2，一 1) T
9、， 2 =(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解（分数：6.00）(1).求 A 的特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A；（分数：2.00）_(3).求 A 及 （分数：2.00）_设 3 阶方阵 A=( 1 , 2 , 3 )有 3 个不同的特征值，且 3 = 1 +2 2 ，试证（分数：4.00）(1).r(A)=2；（分数：2.00）_(2).若 1 + 2 + 3 =，求 Ax= 的通解（分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）-试卷2 答案解析(总分：74.00，做题时间
10、：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0B. 2 0 C. 1 =0D. 2 =0解析：解析：本题主要考查特征值、特征向量的定义和线性相关性的判别法 利用属于不同特征值的特征向量线性无关即得设 k 1 1 +k 2 A( 1 + 2 )=0，得(k 1 + 1 k 2 ) 1 + 2 k 2 2 =0，由于 1 ， 2
11、 是属于 A 的不同特征值的特征向量，故 1 ， 2 线性无关，从而 所以 1 ，A( 1 + 2 )线性无关 二、填空题(总题数：1，分数：2.00)3.设向量 1 =(1，2，1) T 和 2 =(1，1，2) T 都是方阵 A 的属于特征值 =2 的特征向量，又向量= 1 +2 2 ，则 A 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(12，16，20) T ）解析：解析：本题考查矩阵特征值与特征向量的定义和向量线性表示及矩阵的运算 因为 A=A 1 +2A 2 =2 1 +4 2 =2，所以 三、解答题(总题数：23，分数：68.00)4.解答题解答应写出文字说
12、明、证明过程或演算步骤。_解析：5.设 A，B 为同阶方阵，(1)如果 A，B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等；(2)举一个 2 阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；(3)当 A，B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)若 AB，那么存在可逆矩阵 P，使 P 一 1 AP=B，故E 一 B=EP 一 1 AP=P 一 1 EPP 一 1 AP=P 一 1 (E 一 A)P=P 一 1 E-AP=P 一 1 PEA=E-A，即 A，B 的特征多项式相等 (2)令 ，那么EA= 2 =EB，但 A，B 不相似否则，存在可逆矩阵 P，使 P
13、 一 1 AP=B=O从而 A=POP 一 1 =O，矛盾 (3)由A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1 ， n ，则有 即存在可逆矩阵 P，Q 使 )解析：解析：本题主要考查同阶方阵相似的定义，相似的必要非充分条件及两个实对称矩阵相似的充分必要条件6.设实对称矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 由此得矩阵 A 的特征值 1 = 2 =a+1， 3 =a2 对于特征值 =a+1，可得对应的两个线性无关的特征向量 1 =(1，1，0) T ， 2 =(1，0，1) T 对于特征值 3 =a 一
14、2，可得对应的特征向量 3 =(一 1，1，1) T 令矩阵 )解析：解析：本题主要考查的知识点是把实对称矩阵化为对角矩阵的方法，矩阵特征值、特征向量的求法及相似矩阵的性质由题设可求出矩阵 A 的 3 个线性无关的特征向量，于是可求出可逆矩阵 P，使 P 一 1 AP 为对角矩阵由AE=P 一 1 APP 一 1 P=P 一 1 AP-E，可知只要求出对角矩阵 P 一 1 AP，就可以计算出A 一 E设矩阵 （分数：4.00）(1).a 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对线性方程组 Ax= 的增广矩阵作初等行变换，有 )解析：(2).正交矩阵 Q，使 Q T AQ 为对角矩阵（
15、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)，有 矩阵 A 的特征多项式为 故 A 的特征值为 1 =3， 2 =一 3， 3 =0，对应的特征向量分别是 1 =(1，0，一 1) T ， 2 =(1，一 2，1) T ， 3 =(1，1，1) T 特征向量 1 , 2 , 3 已正交，将 1 , 2 , 3 单位化，得 )解析：解析：本题主要考查非齐次线性方程组有解的判别方法及用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法 由线性方程组 Ax= 有无穷多个解，知 r(A)=，(A，)3，利用此结论求得 的值再计算矩阵A 的特征值、特征向量，把线性无关的特征向量正交化、单位化，可得正交矩阵 Q，使
16、 Q T AQ 为对角矩阵7.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 = 3 =1，对应于 1 的特征向量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应于 2 = 3 =1 有两个线性无关的特征向量，设为 2 ， 3 ，它们都与 1 正交，故应有 分别取 X 1 =1，0，得 由于 2 与 3 已正交，故只需将 1 ， 2 ， 3 ，单位化，得 求出 则 Q 一 1 =Q T 因此 )解析：解析：利用实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交，求出 2 对应的线性无关的特征向量，然后进行正交化、单位化得到正交矩阵 P 利用 A=QAQ T 即可也可直接令 P=( 1 ， 2
17、 ， 3 )，由 A=PAP 一 1 得设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3；矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1 =(一 1，一1，1) T ， 2 =(1，一 2，一 1) T （分数：4.00）(1).求 A 的属于特征值 3 的特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 因为实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交，所以 1 T 3 =0 和 2 T 3 =0，即 x 1 ，x 2 ，x 3 是齐次线性方程组 )解析：(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案
18、：(正确答案：令矩阵 )解析：解析：本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题，即由矩阵 A 的特征值和特征向量如何求 A利用实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量均正交，可求得 A 的属于特征值 3 的特征向量，设为 3 ，记P=( 1 , 2 , 3 )，有 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一 1，2，一 3) T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量（分数：4.00）(1).求 A 的另一特征值和对应的特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(A)=2，所以
19、A 的另一特征值 3 =0 设属于 3 =0 的特征向量为 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有 3 T x=0 2 T x=0 即 )解析：解析：本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题，即由 A 的特征值和特征向量，如何求 A本题不仅要求考生知道实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交这一事实，还要求考生能够正确地求解可逆矩阵的逆矩阵由 r(A)=2，可知 A 的另一特征值为 3 =0由实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，求出属于特征值 0 的特征向量，于是可求出矩阵 A也可以根据特征向量的定义以及矩阵的迹等于特征值之和求 A(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正
20、确答案：令矩阵 P=( 1 ， 2 ，x)，则 )解析：设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =一 2，且 1 =(1，一 1，1)。 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A 5 一 4A 3 +E，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：4.00）(1).验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 = 1 1 知 B 1 =(A 5 一 4A 3 +E) 1 =( 1 5 一 4 1 3 +1) 1 =一 2 1 ，故 1 是矩阵 B 的属于特征值一 2 的特征向量 类似，矩阵 B 的其
21、他两个特征值为 i 5 一 4 i 3 +1(i=2，3) 所以 B 的全部特征值为一 2，1，1 因为 A 是实对称矩阵，故 B 也是实对称的若设(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 为 B 的属于特征值 1 的特征向量，则必有(x 1 ，x 2 ，x 3 ) 1 =0，即(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 与 1 正交所以有 x 1 x 2 +x 3 =0，解此方程得其基础解系为 2 =(1，1，0) T ， 3 =(一 1，0，1) T 故矩阵 B 的属于特征值一 2 的全部特征向量为 k 1 1 (k 1 ，为不等于零的任意常数)； 属于特征值 1 的全部特征向量为 k 2 2 +k
22、 3 3 (k 2 ，k 3 是不全为零的任意常数)解析：解析：若 是 n 阶矩阵 A 的特征值 f(x)是 x 的 m 次多项式，则 f()是 f(a)的特征值，且矩阵 A的属于 的特征向量 ，也是 f(a)的属于 f()的特征向量这是矩阵的重要性质所以第(1)问就是以具体的矩阵来验证上述结论第(2)问则是常见的由矩阵 B 的特征值、特征向量求出 B(2).求矩阵 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，对应的特征向量依次为 （分数：4.00）(1).将 用 1 ， 2 ， 3 线性表出；（分数：2.00）_正确答
23、案：(正确答案：设 对此方程组的增广矩阵作初等行变换 )解析：解析：本题考查相似矩阵的性质，运用 A 相似于对角阵去计算 A n (2).求 A n (n 为自然数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A i = i i ，故 A n i = i i ； 因此 A n =A n (2 1 一2 2 + 3 ) =2(A n 1 )=2(A n 2 )+A n )解析：8.已知 3 阶实对称矩阵 A 满足 trA=一 6，AB=C，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 AB=C 可知 A(1，2，1) T =0，从而 1 =0 为 A 的特征值， 1 =(1，2，1
24、) T 为相应的特征向量； 又 A(1，k，1) T =(一 12，一 12k，一 12) T =一 12(1，k，1) T ，由此可知 2 =一 12 为矩阵 A 的特征值， 2 =(1，k，1) T 为相应的特征向量，因为 1 + 2 + 3 =trA=一 6，所以 3 =6 又因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，故有 1 T 2 =0，即(1，2，1)(1，k，1) T =0，解得 k=一 1 设 A 的属于 3 =6 的特征向量为 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则显然 1 T 3 =0， 2 T 3 =0，即得到方程组： 求得基础解系 3 =(一 1，0，1)
25、T ，即为 A 的属于 3 =6 的特征向量 由 A 1 =0 1 ，A 2 =一 12 2 ，A 3 =6 3 ，得 A( 1 , 2 , 3 )=(0，一 12 2 ，6 3 )，即 故 )解析：解析：本题考查相似对角化的逆问题用特征值与特征向量的定义 Ax=x，求特征值与特征向量即若 Ax=0 有非零解 x 0 知 0 是 A 的特征值，x 0 是 A 的关于 0 特征值对应的特征向量，若Ax=x，则 是 A 的特征值，非零列向量 x 是 A 的关于特征值 A 的特征向量还可用 1 + 2 + 3 =trA 求特征值9.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =一
26、 1，且 1 =(1，a+1，2) T ， 1 =(a 一1，一 a，1) T 。分别是 1 ， 2 对应的特征向量 又 A 的伴随矩阵 A * 有一个特征值为 A * ,属于 0 的特征向量为 0 =(2，一 5a，2a+1) T 试求 a、 0 的值，并求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于A= 1 2 3 =一 2，故 A 可逆由于 0 是 A * 的属于 0 的特征向量所以 A * 0 = 0 0 于是 AA * 0 = 0 A 0 ，即A 0 = 0 A 0 ，亦即一2 0 = 0 A 0 故 从而 是 A 的特征值， 0 是 A 的关于 对应的特征向量 又由于 1
27、 ， 2 为实对称矩阵 A 的不同特征值的特征向量，故 1 ， 2 正交，即 1 T 2 =0，得 a=1 无论 a=1 还是 a=一 1，则有 0 与 1 ， 2 中任何一个都线性无关，所以 0 应是矩阵 A 的属于 3 的特征向量，于是有 从而 0 =2且 0 与 1 正交，即 0 T 1 =5a 2 +a4=0，则 或 a=一 1，于是 a=一 1， 0 =2 )解析：解析：本题考查实对称矩阵相似对角矩阵的逆问题运用实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量必正交的性质来确定 a 与 0 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2，且 （分数：4.00）(1).求 A 的所有特征值与特征向量；（分
28、数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 所以，由特征值与特征向量的定义， 1 =1 是 A 的一个特征值，对应的一个特征向量为 1 =(1，0，1) T 2 =一 1 是 A 的又一个特征值，对应的一个特征向量为 2 =(1，0，一 1) T ，又 r(A)=2，所以 A 的另一特征值 3 =0，设 3 对应的特征向量为 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，由题设知， 1 T 3 =0， 2 T 3 =0，即 )解析：解析：本题考查抽象实对称对角化的逆问题所涉及的知识点是矩阵 A 不可逆(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A( 1 , 2 , 3
29、) =( 1 ，一 2 ，0)，有 A=( 1 ，一 2 ，0)( 1 , 2 , 3 ) 一 1 )解析：10.设方阵 A 满足条件 A T A=E，其中 A T 是 A 的转置矩阵，E 为单位阵试证明 A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 是 A 的实特征向量(非零)，它所对应的特征值为 ，故有 Ax=x(Ax) T (Ax)=x T (A T A)x=x T Ex=x T x(据已知)，因此，有 x T x=(Ax) T (x)=A 2 x T x， 即 (1 一 2 )x T x=0由于 x T x=x 2 0，故 1 2 =0
30、，即=1)解析：解析：本题利用特征值、特征向量的定义，通过矩阵运算而得11.没 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值， 1 ， 2 分别是 A 的对应于 1 ， 2 的特征向量，证明 1 + 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 = 1 1 ，A 2 = 2 2 ，有 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 = 1 1 + 2 2 若 1 + 2 是 A 的特征向量，则应存在数 ，使 A( 1 + 2 )=( 1 + 2 ) = 1 + 2 ，从而 1 + 2 = 1 1 + 2 2 ，即( 1 ) 1 +( 2 ) 2 =0 因为 1 ， 2 线性无关，所以 = 1 = 2 ，这与 1 2 矛盾 因此， 1 + 2 不是 A 的特征向量)解析：解析：本题主要考查矩阵特征值、特征向量
