1、考研数学二（高等数学）-试卷 10 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=12 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.-f“(a)B.f(a)C.2f“D.3.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极小值B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点4.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正
2、确的是( )（分数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微D.若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微二、填空题(总题数：3，分数：6.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)可导且 f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.若 f(x)=2nx(1-x) n ，记 M n = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：40.00)8.解答题解答
3、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_9.确定常数 a，b，C，使得 （分数：2.00）_10. （分数：2.00）_11. （分数：2.00）_12. （分数：2.00）_13.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且 ff (4) (x)M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有 （分数：2.00）_14.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f“ + (a)f“ - (b)0， 且 g(x)0(xEa，b)，g“(x)0(a （分数：2.00）_15.设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f
4、“(x+h)h(0（分数：2.00）_设平面曲线 L 上一点 M 处的曲率半径为 ，曲率中心为 A，AM 为 L 在点 M 处的法线，法线上的两点 P，Q分别位于 L 的两侧，其中 P 在 AM 上，Q 在 AM 的延长线 AN 上，若 P，Q 满足APAQ= 2 ，称P，Q 关于 L 对称设 ，P 点的坐标为 （分数：4.00）(1).求点 M，使得 L 在 M 点处的法线经过点 P，并写出法线的参数方程；（分数：2.00）_(2).求点 P 关于 L 的对称点 Q 的坐标（分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f“()=2 0 1
5、f(x)dx（分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_设 s(x)= 0 x costdt（分数：4.00）(1).证明：当 nxx1 时，y=1；当 x 得 y 在 x=-1 处不连续，故 y“(-1)不存在；因为 y“-(1)y“+(1)所以 y 在 x=1 处不可导， )解析：13.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且 ff (4) (x)M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f“ + (a)f“ - (b)0，
6、 且 g(x)0(xEa，b)，g“(x)0(a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f“ + (a)0，f“ - (b)0， 由 f“ + (a)0，存在 x 1 (a，b)，使得 f(x 1 )f(a)=0； 由 f“ - (b)0，存在 x 2 (a，b)，使得 f(x 2 ) 1)f(x2)1(a，c)， 2(c，b)，使得h“( 1)=h“( 1)=0， * 令 (x)=f(x)g(x)-f(x)g“(x)，( 1)=( 2)=0， 由罗尔定理，存在e( 1， 2)*(a，b)，使得 “()=0， 而 “(x)=f“(x)g(x)-f(x)g“(x)，所以*)解析：15.设
7、 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f“(x+h)h(0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(x+h)=f(x)+f“(x)h+ ，其中 介于 x 与 x+h 之间 由已知条件得 )解析：设平面曲线 L 上一点 M 处的曲率半径为 ，曲率中心为 A，AM 为 L 在点 M 处的法线，法线上的两点 P，Q分别位于 L 的两侧，其中 P 在 AM 上，Q 在 AM 的延长线 AN 上，若 P，Q 满足APAQ= 2 ，称P，Q 关于 L 对称设 ，P 点的坐标为 （分数：4.00）(1).求点 M，使得 L 在 M 点处的法线经过点 P，并写
8、出法线的参数方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求点 P 关于 L 的对称点 Q 的坐标（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f“()=2 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)在区间0，1上连续，所以 f“(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最 小值 m对 f(x)-f(0)=f“(c)x(其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得 0 1 f(x)dx= 0 1 f“(c)xdx， 由mf“(c)M 得 m 0 1 xdx 0
9、 1 f“(c)xdxM 0 1 xdx， 即 m2 0 1 f“(c)xdxM 或 m2 0 1 f(x)dxM， 由介值定理，存在 0，1，使得 f“()=2 0 1 f(x)dx)解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 x(0，e)时，f“(x)0；当 x(e，+)时，f“(x) 的最大项为因为 ，所以最大项为 )解析：设 s(x)= 0 x costdt（分数：4.00）(1).证明：当 nxx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 nx(n+1) 时， 0 n costdt 0 x costdt 0 (n+1)
10、costdt 0 n costdt=n 0 costdt= )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 nx(n+1)，得 ，从而 ，根据夹逼定理得 )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.某 f 家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 P 1 ，P 2 ，销售量分别为 q 1 ，q 2 ，需求函数分别为 q 1 =24-02p 1 ，q 2 =10-005p 2 ，总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 )，问 f 家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确
11、答案：p 1 =120-5q 1 ，P 2 =200-20q 2 ，收入函数为 R=p 1 q 1 +p 2 q 2 ， 总利润函数为 L=R-C=(120-5q 1 )q 1 +(200-20q 2 )q 2 -85+40(q 1 +q 2 )， )解析：20.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则 )解析：22.利用变换 x=arctant 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 的特征方程为 2 +2+1=0，特征值为 1 = 2
12、=-1， )解析：23.设 f(x)为偶函数，且满足 f“(x)+2f(x)-3 0 x (t-x)dt=-3x+2，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(t-x)dt=- 0 x f(t-x)d(x-t)=- x 0 f(-u)du= 0 x f(u)du 则有f“(x)+2f(x)-3 0 x (u)du=-3x+2，因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)是奇函数， 于是 f“(0)=0，代入上式得 f(0)=1 将 f“(x)+2f(x)-3 0 x f(u)du=-3x+2 两边对 x 求导数得 f“(x)+2f“(x)-3f(x)=-3， 其通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e -3x +1，将初始条件代入得 f(x)=1)解析：24.高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
