1、考研数学二（高等数学）-试卷 12 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.无间断点B.有间断点 x=1C.有间断点 x=-1D.有间断点 x=03.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处不可导B.f(x)在 x=0 处可导且 f“(0)0C.f(x)在 x=0 处取极小值D.f(x)在 x=0 处取极大值4.设 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f
2、(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(-，0)内单调减少C.对任意的 x(-，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)5.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极值二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.计算
3、（分数：2.00）填空项 1:_12.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e -4 +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.求 （分数：2.00）_16.设 a 1 =1，a n+1 + =0，证明：数列a n 收敛，并求 （分数：2.00）_17.举例说明函数可导不一定连续可导（分数：2.00）_18.设 ba0，证明： （分数：2.00）_19.求曲
4、线 y= （分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.arcsincarccosxdx（分数：2.00）_22.设 (x)= a b ln(x 2 +t)dt，求 “(x)，其中 a0，b0（分数：2.00）_23.设 f(x)= （分数：2.00）_24.设 f(x)在区间0，1上可导，f(1)= （分数：2.00）_25.设 z=f(x-y+g(x-y-z)，其中 f，g 可微，求 （分数：2.00）_26.计算 （分数：2.00）_27.求微分方程 xy“+3y“=0 的通解（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 12 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分
5、钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.无间断点B.有间断点 x=1 C.有间断点 x=-1D.有间断点 x=0解析：解析：当x1 时，f(x)=0；当 x=-1 时，f(x)=0； 当 x=1 时，f(x)=1于是 f(x)= 3.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处不可导B.f(x)在 x=0 处可导且 f“(0)0C.f(x)在 x=0 处取极小值D.f(x)在 x=0 处取极大值 解析：解析：由4.设 f(x)连续，且 f
6、“(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(-，0)内单调减少C.对任意的 x(-，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) 解析：解析：因为 f“(0)= 5.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值 B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极值解析：解析：因为 ，根据极限保号性，存在 0，当 0 时，有 0，而 x 2 +1-xsinyx 2 -x+1= 0， 所以当 0 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_
7、 （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：-2）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析：f(0+0)= =a，f(0)=2，f(0-0)=c， 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0+0)=f(0)=f(0-0)， 从而 a=2，c=2，即 f(x)= 8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
8、正确答案：*）解析：解析：11.计算 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：改变积分次序得12.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e -4 +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-12x 2 -34x-19，C 1 e -2x +C 2 e x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意常数)）解析：解析：显然 =-4 是特征方程 2 +q=0 的解，故 q=-12， 即特征方程为 2 +-12=0，特征值为 1 =-4， 2 =3
9、 因为 x 2 +3x+2 为特征方程 y“+y“-12y=Q(x)的一个特解， 所以 Q(x)=2+2x+3-12(x 2 +3x+2)=-12x 2 -34x-19， 且通解为 y=C 1 e -2x +C 2 e x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意常数)三、解答题(总题数：15，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 a 1 =1，a n+1 + =0，证明：数列a n 收敛，并
10、求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先证明a n 单调减少a 2 =0，a 2 a 1 ； 设 a k+1 a k ，a k+2 = ，由 a k+1 a k 得 1-a k+1 1-a k ，从而 ，即 a k+2 a k+1 ，由归纳法得数列a n 单调减少 现证明 a n a 1 =1 ，设 a k ，则 1-a k 1+ ，从而 ，即 a k+1 ，由归纳法，对一切 n，有 a n 由极限存在准则，数列a n 收敛，设 =A，对 a n+1 + =0 两边求极限得 A+ =0，解得 )解析：17.举例说明函数可导不一定连续可导（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为
11、)解析：18.设 ba0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(t)=lnt，由微分中值定理得 f(b)-f(a)=f“()(b-a)= 其中S(a，b) 因为 0 ，从而 )解析：19.求曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 曲线 y= )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.arcsincarccosxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 (x)= a b ln(x 2 +t)dt，求 “(x)，其中 a0，b0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(x)= a b ln(x 2
12、 +t)d(x 2 +t)= “(x)=2xln(x 2 +b)-2xln(x 2 +a)= )解析：23.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 2 f(x-)dx= 0 2 f(x-)= - f(x)dx )解析：24.设 f(x)在区间0，1上可导，f(1)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=x 2 f(x)，由积分中值定理得 f(1)= x 2 f(x)dx=c 2 f(c)，其中c0， ，即 (c)=(1)，显然 (x)在区间0，1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) )解析：25.设 z=f(x-y+g(x-y-z)，其中 f，g 可微，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 z=f(x-y+g(x-y-z)两边对 x 求偏导得 等式 z=f(x-y+g(x-y-z)两边对y 求偏导得 )解析：26.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求微分方程 xy“+3y“=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
