1、考研数学二（高等数学）-试卷 15 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.D.3.若 f(-x)=-f(x)，且在(0，+)内 f“(x)0，f“(x)0，则在(-，0)内( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0，f“(x)04.下列广义积分发散的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.设函数 y=y
2、(x)由方程 e x+y +cos(xy)=0 确定，则 dydx= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，且 F(x)= 0 x f(t)dt+bx 也是以 T 为周期的连续函数，则 b= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 z= ，其中 f(u)可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 y“+ytan=cosx 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.求 （分数
3、：2.00）_13. （分数：2.00）_14. （分数：2.00）_15.设 f(x)= ，试补充定义使得 f(x)在 （分数：2.00）_16.设 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 -1=0 确定，求 y“(0)（分数：2.00）_17.设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又f“(x)M，证明：f“(x) （分数：2.00）_18.证明方程 x+p+qcosx=0 有且仅有一个实根，其中 p，q 为常数，且 00，f“(x)0，则在(-，0)内( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0，f“(x)0解析：解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f“
4、(x)为偶函数，故在(-，0)内有 f“(x)0因为 f“(x)为奇函数，所以在(-，0)内 f“(x)0，所以 f(x)在(-，+)上单调增加，又因为 )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)为偶函数，所以只研究 f(x)在0，+)内的最大值与最小值即可 令f“(x)=2x(2-x 2 ) =0，得 f(x)的唯一驻点为 x= 当 x(0， )时，f
5、“(x)0，当 x( ，+)时，f“(x) 及 x=- 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f( )=f(- )=1+ )解析：23.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 y= x 2 ，求曲线 C 2 的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 C：y=x 2 ，C 1 ：y= x 2 ，令 C 2 ：x=f(y)，P 点坐标为(x，y)， 两边对 x 求导，得 2xf(x 2
6、 )= x 2 ，即 f(x 2 )= 从而 C 2 的方程为 x=f(y)= )解析：24.设 z=z(x，y)由 xyz=x+y+z 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F=xyz-x-y-z， )解析：25.设 f(x+y，x-y)=x 2 -y 2 + ，求 f(u，v)，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.改变积分次序 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 1 =(x，y)a- xa+ ，-ay0， D 2 =(x，y) x2a，0y2a，则 )解析：27.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =1+x+y+
7、xy 得 =(1+x)(1+y)，分离变量得 =(1+x)dx， 两边积分得 ln1+y=x+ )解析：28.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +4+4=0，特征值为 1 = 2 =-2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -2x (1)当 a-2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ae ax ，代入原方程得 ，则原方程的通解为 (2)当 a=-2 时，因为 a=-2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ax 2 e -2x ， 代入原方程得 ，则原方程的通解为 )解析：
