1、考研数学二（高等数学）-试卷 21 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 x1 时，f(x)= （分数：2.00）A.2B.0C.D.不存在但不是3.函数 f(x)=x 3 -3x+k 只有一个零点，则 k 的范围为( )（分数：2.00）A.k1C.k2D.k0， （分数：2.00）_18.证明：当 x0 时，arctanx+ （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.(arccosx) 2 dx（分数：2.
2、00）_22.求 -1 1 (x+x)e -x dx（分数：2.00）_23.设 f(f)在0，上连续，在(0)内可导，且 0 f(x)cosxdx= 0 f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，)，使得 f“()=0（分数：2.00）_24.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a1C.k2 D.k0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f(a)0，f(b)0， -x f(x)，则 “(x)=e -x f“(x)-f(x) 因为(a)0， 0，所以存在 1 ， 2 使得 ( 1 )=( 2 )=0，由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析
3、18.证明：当 x0 时，arctanx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanx+ 因为 f“(x)= 0)，所以 f(x)在(0，+)内为单调减函数， 又因为 ，所以 f(x) ，即 arctanx+ )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.(arccosx) 2 dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求 -1 1 (x+x)e -x dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由定积分的奇偶性得 -1 1 (x+x)e -x dx=
4、1 1 xe -x dx=2 0 1 xe -x dx =-2 0 1 xd(e -x )=-2xe -x 0 1 +2 0 1 e -x dx=-2e -1 -2e -x 0 1 =2- )解析：23.设 f(f)在0，上连续，在(0)内可导，且 0 f(x)cosxdx= 0 f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，)，使得 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)sintdt，因为 F(0)=F()=0，所以存在 x 1 (0，)，使得 F“(x 1 )=0，即 f(x 1 )sinx 1 =0，又因为 sinx 1 0，所以 f(x 1
5、 )=0 设 x 1 是 f(x)在(0，)内唯一的零点，则当 x(0，)且 xx 1 时，有 sin(x-x 1 )f(x) 恒正或恒负，于是 0 sin(x-x 1 )f(x)dx0 而 0 sin(x-x 1 )f(x)dx=cosx 1 0 f(x)sinxdx-sinx 1 0 f(x)cosxdx=0，矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点不妨设 f(x 1 )=f(x 2 )=0，x 1 ，x 2 (0，)且 x 1 x 2 ，由罗尔中值定理，存在 (x 1 ，x 2 ) )解析：24.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，
6、b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以 a+b=2，b=2-a 因为a0，抛物线与 x 轴的两个交点为 0， ，所以 )解析：25.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )所确定，其中 f 是可微函数，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )两边对 x 求偏导得 2x+2z =yf(z 2 )+2xyzf“(z 2 ) ， 解得 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )两边对 y 求偏导得 2y+2z =xf(z 2 )+2xyzf“(z 2 ) 解得 )解析：26.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 x 2 y“+xy=y 2 得 两边积分得 因为 y(1)=1，所以 C=-1，再把 u= =Cx 2 得原方程的特解为 y= )解析：
