1、考研数学二（高等数学）-试卷 23 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)二阶可导，且 f“(x)0，f“(x)0，y=f(x+x)-f(x)，其中xA.ydy0B.yy0D.dy0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=ef“()ln （分数：2.00）_21. （分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.设 f(x)= （分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_25.求曲 y=x 2 -2x、y=0、x
2、1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积V（分数：2.00）_26.设 u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy -y=0 与 e z -xz=0 确定，求 （分数：2.00）_27.求 （分数：2.00）_28.求微分方程 y“-y“-6y=0 的通解（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 23 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)二阶可导
3、且 f“(x)0，f“(x)0，y=f(x+x)-f(x)，其中xA.ydy0B.yy0D.dy0 y“(a)= ，过 P 点的法线方程为 设 ，因为 Q 在法线上，所以 ，解得 b=-a- PQ 的长度的平方为L(a)=(b-a) 2 + (b 2 -a 2 ) 2 =4a 2 (1+ ) 3 ， 由 L“(a)=8a(1+ ) 2 (1- )=0 得 a= 为唯一驻点，从而为最小点， 故 PQ 的最小距离为 )解析：20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=ef“()ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令
4、F(x)=lnx，F“(x)= 0， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得即 ，整理得 f(b)-f(a)=f“()ln )解析：21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 2 f(x-1)dx= 0 2 f(x-1)d(x-1)= -1 1 f(x)dx= -1 0 + 0 1 ln(1+x)dx )解析：24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求曲 y=x 2 -2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并
5、求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积V（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域面积为 S= 1 3 f(x)dx= 1 2 (2x-x 2 )dx+ 2 3 (x 2 -2x)dx= V y =2 1 3 xf(x)dx=2 1 2 x(2x-x 2 )dx+ 2 3 x(x 2 -2x)dx= )解析：26.设 u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy -y=0 与 e z -xz=0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，方程 e xy -y=0 两边对 x 求导得 方程 e z -xz=0 两边对 x 求导得 则 )解析：27.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (02，0r)，则 )解析：28.求微分方程 y“-y“-6y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 -6=0，特征值为 1 =-2， 2 =3，则原方程的通解为 y=C 1 e -2x +C 2 e 3x )解析：
