1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 54 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处偏导数存在，则在该点函数 f(x，y)( )（分数：2.00）A.有极限B.连续C.可微D.以上结论均不成立二、填空题(总题数：6，分数：12.00)3.设 f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f x (0，1，一 1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_4.已知
2、（分数：2.00）填空项 1:_5.设 2sin(x+2y 一 3z)=x+2y 一 3z，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f x (1，2)=3，f y (1，2)=4，(x)=f(x，f(x，2x)，则 (1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 （分数：2.00）填空项 1:_8.由 x=ze y+z 确定 z=z(x，y)，则 dz| (e,0) = 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.设 f(x)= （分数：2.
3、00）_11.设 f(x)= （分数：2.00）_12.设 f(x)=arcsin(x 一 1) 2 且 f(0)=0，求 I= 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_13.设 f(u)是连续函数，证明： 0 xf(sinx)dx= （分数：2.00）_14.设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时，|f(x)一 f(y)|arctanx 一 arctany|，又 f(1)=0，证明： （分数：2.00）_15.证明： 0 xa sinx dx. （分数：2.00）_16.证明： （分数：2.00）_17.设 f(x)，g(x)为a，b上连续的增函数(0ab)，证明： a b f(x
4、)dx a b g(x)dx(b 一 a) a b f(x)g(x)dx（分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上可导，且|f(x)|M，证明： （分数：2.00）_19.设函数 f(x)在0，2上连续可微，f(x)0，证明：对任意正整数 n，有 （分数：2.00）_20.设 f(x)在(一，+)上是导数连续的有界函数，|f(x)一 f(x)|1证明：|f(x)|1（分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，证明： a b f(x)dx （分数：2.00）_22.已知 f(x)在0，2上二阶连续可微，f(1)=0，证明：| 0 2 f(x)dx| 其中 （
5、分数：2.00）_23.计算曲线 （分数：2.00）_24.设 D=(x，y)|0x1，0y1)，直线 l：x+y=t(t0)S(t)为正方形区域 D 位于 l 左下方的面积，求 0 x S(t)dt(x0)（分数：2.00）_25.求曲线 y=2e -x (x0)与 x 轴所围成的图形的面积（分数：2.00）_26.设 f(x)是(一+)上的连续非负函数且 f(x) 0 x f(x 一 t)dt=sin 1 x，求 f(x)在区间0，上的平均值（分数：2.00）_27.设抛物线 y=ax 2 +bx+c(a0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线 y=ax 2 +bx+c 与
6、抛物线 y=一 x 2 +2x 所围图形的面积最小，求 a，b，c 的值（分数：2.00）_28.设 f(x)= -1 x (1 一|t|)dt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积（分数：2.00）_29.求曲线 y=xe -x (x0)绕 x 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积（分数：2.00）_30.设由 y 轴、y=x 2 (x0)及 y=a(0a1)所围成的平面图形及由 y=a，y=x 2 及 x=1 所围成的平面图形都绕 z 轴旋转，所得旋转体的体积相等，求 a（分数：2.00）_31.设曲线 （分数：2.00）_32.设 f(x，y)= （分数：
7、2.00）_33.设连续函数 f(x)满足： 0 1 f(x)+xf(xt)dt 与 x 无关，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 54 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处偏导数存在，则在该点函数 f(x，y)( )（分数：2.00）A.有极限B.连续C.可微D.以上结论均不成立 解析：解析：取 f(x，y)= 显然 f(x，y)在(0，0)处偏导数存在，但二、填空题(总题数：
8、6，分数：12.00)3.设 f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f x (0，1，一 1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： x+y+z+xyz=0 两边关于 x 求偏导得 将 x=0，y=1，z=一 1 代入得 4.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 两边关于 x 求偏导得5.设 2sin(x+2y 一 3z)=x+2y 一 3z，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：两边关于 x 求偏导得 2
9、cos(x+2y 一 3z) 2sin(x+2y 一 3z)=x+2y 一 3z 两边关于 y 求偏导得6.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f x (1，2)=3，f y (1，2)=4，(x)=f(x，f(x，2x)，则 (1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：47）解析：解析：(x)=f x (x，f(x，2x)+f y (x，f(x，2x)f x (x，2x)+2f y (x，2x)， 则 (1)=f x (1，f(1，2)+f y (1，f(1，2)f x (1，2)+2f y (1，2) =f x (1，2)+f y (1，2).f x (1，2)
10、+2f y (1，2)=3+4(3+8)=477.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析： 8.由 x=ze y+z 确定 z=z(x，y)，则 dz| (e,0) = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：x=e，y=0 时，z=1 x=xe y+z 两边关于 x 求偏导得 x=ze y+z 两边关于 y 求偏导得 三、解答题(总题数：25，分数：50.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 2 f(x-)
11、dx= 0 2 f(x-)d(x-)= - f(x)dx = - 0 f(x)dx+ 0 f(x)d= - 0 (-1)dx+ 0 xsinxdx = )解析：11.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 3 f(x 一 2)dx= 1 3 f(x 一 2)d(x 一 2)= -1 1 f(x)dx )解析：12.设 f(x)=arcsin(x 一 1) 2 且 f(0)=0，求 I= 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(0)=0 得 f(x)= 0 x arcsin(t 一 1) 2 dt，则 0 1 f(x)dx=xf(x)| 0
12、1 一 0 1 xarcsin(x 一 1) 2 dx =f(1)一 0 1 (x 一 1)+1arcsin(x 一 1) 2 dx )解析：13.设 f(u)是连续函数，证明： 0 xf(sinx)dx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I= 0 xf(sinx)dx 0 ( 一 t)f(sint)(一 dt) = 0 f(sint)dt 0 tf(sint)dt= 0 f(sinx)dx 0 2 xf(sinx)dx = 0 f(sinx)dxI，则 0 xf(sinx)dx= )解析：14.设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时，|f(x)一 f(y)|arctanx
13、 一 arctany|，又 f(1)=0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|f(x)|=|f(x)一 f(1)|=|arctanxarctan1|=|arctanx |得 )解析：15.证明： 0 xa sinx dx. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f(x)，g(x)为a，b上连续的增函数(0ab)，证明： a b f(x)dx a b g(x)dx(b 一 a) a b f(x)g(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x，y)=f(x)-f(y)g(x
14、)-g(y)，D=(x，y)|axb，ayb)，因为 f(x)，g(x)在a，b上为增函数，所以 F(x，y)0，从而 a b dx a b F(x，y)dy0， 而 a b dx a b F(x，y)dy= a b dx a b f(x)g(x)-f(x)g(y)-f(y)g(x)+f(y)g(y)dy =(b 一 a) a b f(x)g(x)dx a b f(x)dx a b g(y)dy a b g(x)dx a b f(y)dy+(b 一 a) a b f(y)g(y)dy =2(b 一 a) a b f(x)g(x)dx 一 2 a b f(x)dx a b g(x)dx， 故 a
15、 b f(x)dx a b g(x)dx(b 一 a) a b f(x)g(x)dx)解析：18.设 f(x)在0，1上可导，且|f(x)|M，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设函数 f(x)在0，2上连续可微，f(x)0，证明：对任意正整数 n，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)0，所以 f(0)f(2)，从而 f(2)一 f(0)0 )解析：20.设 f(x)在(一，+)上是导数连续的有界函数，|f(x)一 f(x)|1证明：|f(x)|1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)有界，所以 )解析：21.设 f(x
16、)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，证明： a b f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调递减，从而 (x)0(axb) )解析：22.已知 f(x)在0，2上二阶连续可微，f(1)=0，证明：| 0 2 f(x)dx| 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.计算曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 D=(x，y)|0x1，0y1)，直线 l：x+y=t(t0)S(t)为正方形区域 D 位于 l 左下方的面积，求 0 x S(t)dt(x0)（分数：2.00）_正确答案：(正确
17、答案： )解析：25.求曲线 y=2e -x (x0)与 x 轴所围成的图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所围成的面积为 A= 0 + 2e -x dx=2(1)=2)解析：26.设 f(x)是(一+)上的连续非负函数且 f(x) 0 x f(x 一 t)dt=sin 1 x，求 f(x)在区间0，上的平均值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(xt)dt x 0 f(u)(一 du)= 0 x f(u)du， 由 f(x) 0 x f(u)du=sin 4 x 得( 0 x f(u)du) 2 =2 sin 4 x， ( 0 x f(u)du) 2 = 0
18、 x 2sin 4 xdx+C，取 x=0得 C=0，即( 0 x f(u)du) 2 = 0 x 2sin 4 tdt )解析：27.设抛物线 y=ax 2 +bx+c(a0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线 y=ax 2 +bx+c 与抛物线 y=一 x 2 +2x 所围图形的面积最小，求 a，b，c 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)及(1，2)得 则 y=ax 2 +(2-a)x 令 ax 2 +(2一 a)x=一 x 2 +2x 得 x=0 及 所围成的图形面积为 )解析：28.设 f(x)= -1 x (1
19、 一|t|)dt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.求曲线 y=xe -x (x0)绕 x 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设由 y 轴、y=x 2 (x0)及 y=a(0a1)所围成的平面图形及由 y=a，y=x 2 及 x=1 所围成的平面图形都绕 z 轴旋转，所得旋转体的体积相等，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)所求体积为 V=V 1 +V 2 ， )解析：32.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =0=f(0，0)得 f(x，y)在(0，0)处连续 )解析：33.设连续函数 f(x)满足： 0 1 f(x)+xf(xt)dt 与 x 无关，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 f(x)+xf(xt)dt=f(x)+ 0 1 f(xt)f(xt)=f(x)+ 0 x f(u)du， 因为 0 1 f(x)+xf(xt)dt 与 x 无关，所以 )解析：
