1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 55 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：10.00)1. （分数：2.00）填空项 1:_2.设 f(x，y)为连续函数，且 f(x，y)=y 2 + （分数：2.00）填空项 1:_3.设区域 D 为 x 2 +y 2 R 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_4.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_5.交换积分次序，则 （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：27，分数：54.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_7.设二元函数 f(x，y)的二阶
2、偏导数连续，且满足 f xx “(x，y)=f yy “(x，y)，f(x，2x)=x 2 ，f x (x，2x)=x，求 f xx ”(x，2x)（分数：2.00）_8.设 （分数：2.00）_9.设 （分数：2.00）_10.设 （分数：2.00）_11.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_12.已知 u(x，y)= （分数：2.00）_13.,f 的二阶导数连续，g 的二阶偏导数连续，求 （分数：2.00）_14.设 z=f(u，x，y)，u=xe y ，其中 f 具有二阶偏导数，求 （分数：2.00）_15.设 z=
3、f(2xy，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：2.00）_16.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 （分数：2.00）_17.设 z=yf(x 2 一 y 2 )，求 （分数：2.00）_18.设 z=z(x，y)，由方程 确定(F 为可微函数)，求 （分数：2.00）_19.设 z=xf(x，u，v)，其中 其中 f 连续可偏导，求 （分数：2.00）_20.设 z=f(x，y)是由方程 zyx+xe z-y-z =0 所确定的二元函数，求 dz（分数：2.00）_21.设 (u，v，)由一阶连续的偏导数，z=z(x，y)是由 (bz 一 cy，cxa
4、z，ay 一 bx)=0 确定的函数，求 （分数：2.00）_22.设 z=z(x，y)是由 f(y-x，yz)=0 确定的，其中 f 对各个变量有连续的二阶偏导数，求 （分数：2.00）_23.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )，其中 f 可微，求 （分数：2.00）_24.设函数 z=z(x，y)由方程 x=f(y+z，y+x)所确定，其中 f(x，y)具有二阶连续偏导数，求 dz（分数：2.00）_25.若 （分数：2.00）_26.设 z=f(x，y)二阶可偏导 （分数：2.00）_27.设 f(x，y)二阶连续可偏导，g(x，y)=f(e
5、 xy ，x 2 +y 2 )，且 f(x，y)=1 一 x 一 y+ （分数：2.00）_28.试求 z=f(x，y)=x 3 +y 3 -3xy 在矩形闭域 D=(x，y)|0x2，-1y2上的最大值、最小值（分数：2.00）_29.求函数 f(x，y)=4x 一 4yx 2 一 y 2 在区域 D：x 2 +y 2 18 上最大值和最小值（分数：2.00）_30.求函数 z=x 2 +2y 2 一 x 2 y 2 在 D=(x，y)|x 2 +y 2 4，y0)上的最小值与最大值（分数：2.00）_31.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 （分数：2.00）_32.设 f(x
6、)二阶可导，且 0 x f(t)dt+ 0 x tf(xt)dt=x，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 55 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：10.00)1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由积分中值定理，存在(，)D，使得2.设 f(x，y)为连续函数，且 f(x，y)=y 2 + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 则 f(x，y)=y 2 +Ax，两边积分得 3.设区域 D 为 x 2 +y 2 R 2 ，则 （分数：2.00）填空
7、项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：4.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：5.交换积分次序，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：二、解答题(总题数：27，分数：54.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：7.设二元函数 f(x，y)的二阶偏导数连续，且满足 f xx “(x，y)=f yy “(x，y)，f(x，2x)=x 2 ，f x (x，2x)=x，求 f xx ”(x，2x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x，2x)=x 2 两边
8、关于 x 求导得 f x (x，2x)+2f y (x，2x)=2x， f x (x，2x)=x 两边关于 x 求导得 f xx “(x，2x)+2f xy “(x，2x)=1， )解析：8.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =e x sinyf 1 +2xf 2 ， =e x cosyf 1 +e x siny(e
9、x cosyf 11 “+2yf 12 “)+2x(e x cosyf 21 “+2yf 22 “) )解析：12.已知 u(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.,f 的二阶导数连续，g 的二阶偏导数连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 z=f(u，x，y)，u=xe y ，其中 f 具有二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 z=f(2xy，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =2f 1 +ycosxf 2 ， )解析：1
10、6.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =yf 1 +xf 2 =y(yf 11 ”+xf 12 ”)+f 2 +x(yf 21 “+xf 22 “)=y 2 f 11 “+2xyf 12 “+x 2 f 22 “+f 2 ， =xf 1 yf 2 ， =x(xf 11 “一 yf 12 “)一 f 2 一 y(xf 21 “一 yf 22 )=x 2 f 11 “一 2xyf 12 “+y 2 f 22 “一 f 2 ， )解析：17.设 z=yf(x 2 一 y 2 )，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 z
11、=z(x，y)，由方程 确定(F 为可微函数)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 z=xf(x，u，v)，其中 其中 f 连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 z=f(x，y)是由方程 zyx+xe z-y-z =0 所确定的二元函数，求 dz（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：zy-z+xe z-y-x =0 两边关于 x，y 求偏导得 )解析：21.设 (u，v，)由一阶连续的偏导数，z=z(x，y)是由 (bz 一 cy，cxaz，ay 一 bx)=0 确定的函数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
12、(bz 一 cy，cxaz，aybx)=0 两边关于 x 求偏导得 )解析：22.设 z=z(x，y)是由 f(y-x，yz)=0 确定的，其中 f 对各个变量有连续的二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(yx，yz)=0 两边关于 x 求偏导得 )解析：23.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )，其中 f 可微，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )两边关于 x 求偏导得 )解析：24.设函数 z=z(x，y)由方程 x=f(y+z，y+x)所确定，其中 f(x，y)具
13、有二阶连续偏导数，求 dz（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=f(y+z，y+x)两边关于 x 求偏导得 x=f(y+z，y+x)两边关于 y 求偏导得)解析：25.若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 z(x，0)=x 得 0 x (x)dx+(0)=x，从而 (x)=1，(0)=0； 再由z(0，y)=y 2 得 (y)=y 2 ，故 z(x，y)= )解析：26.设 z=f(x，y)二阶可偏导 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 f(x，y)二阶连续可偏导，g(x，y)=f(e xy ，x 2 +y 2 )，且 f(x，y)=1 一 x
14、一 y+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由可微的定义得 f(1，0)=0，f x (1，0)=f y (1，0)=一 1 )解析：28.试求 z=f(x，y)=x 3 +y 3 -3xy 在矩形闭域 D=(x，y)|0x2，-1y2上的最大值、最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当(x，y)在区域 D 内时， 在 L 1 ：y=一 1(0x2)上，z=x 3 +3x 一 1， 因为 z=3x 2 +30，所以最小值为 z(0)=一 1，最大值为 z(2)=13； 在 L 2 ：y=2(0x2)上，z=x 3 一 6x+8， 在 L 3 ：x=0(-1y2)上，z=y
15、3 ， 由 z=3y 2 =0 得 y=0，z(一 1)=一 1，z(0)=0，z(2)=8； 在 L 4 ：x=2(-1y2)上，z=y 3 一 6y+8， )解析：29.求函数 f(x，y)=4x 一 4yx 2 一 y 2 在区域 D：x 2 +y 2 18 上最大值和最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x 2 +y 2 18 时， 得 x=2，y=一 2，f(2，一 2)=8； 当 x 2 +y 2 =18时，令 F=4x 一 4yx 2 一 y 2 +(x 2 +y 2 一 18)， )解析：30.求函数 z=x 2 +2y 2 一 x 2 y 2 在 D=(x，y)
16、|x 2 +y 2 4，y0)上的最小值与最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当(x，y)位于区域 D 内时， 在 L 1 ：y=0(一 2x2)上，z=x 2 ，由 z=2x=0 得 x=0，z(2)=4，z(0)=0； z=4cos 2 t+8 sin 2 t 一 16 sin 2 tcos 2 t=4+4 sin 2 t 一16 sin 2 t(1 一 sin 2 t) =412 sin 2 t+16 sin 4 t= 当 sin 2 t=1 时，z 的最大值为 8；当 )解析：31.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F=x 2 +y 2 +z 2 +(x 2 +y 2 一 z)+(x+y+z 一 4)， )解析：32.设 f(x)二阶可导，且 0 x f(t)dt+ 0 x tf(xt)dt=x，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x tf(x 一 t)dt )解析：
