1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 58 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数3.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f(2)= ，f(4)=6，则 g(4)等于( )
2、 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 k0，则函数 f(x)= （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个5.设 f(x)，g(x)是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)= 0 x (x-t)dt，G(x)= 0 1 xg(xt)dt，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小6.累次积分 d 0 cos rf(rcos，rsin)dr 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 y(x)是微分方程 y+(x-1)y+x 2 y=e x 满足初始
3、条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1B.等于 2C.等于 0D.不存在二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_10.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与-2y=-1+xy 3 在点(-1，1)处相切，则 a= 1，b= 2.（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_12.求 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 a 2ln2 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(t
4、x，ty)=t 3 f(x，y)，且 f 1 (1，2)=1，f 2 (1，2)=4，则 f(1，2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设 f(x)在1，+)内可导，f(x)0 且 f(x)=a0，令 a n = f(k)- 1 n f(x)dx证明：a n 收敛且 0 （分数：2.00）_17.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切 x有f(x)e x -1证明：a
5、1 +2a 2 +na n 1（分数：2.00）_18.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2- =(e a +e b )f()+f().（分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01，证明：fx 1 +(1-)x 2 f(x 1 )+(1-)f(x 2 )（分数：2.00）_20.设 k 为常数，方程 kx- （分数：2.00）_21.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f()=2 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_22
6、. （分数：2.00）_23.设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(-，+)有f(x)+f(x)1证明：f(x)1（分数：2.00）_24.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x)dx.（分数：2.00）_25.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)证明： （分数：2.00）_26.计算 （分数：2.00）_27.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y 2 化之积成反比，比例系数为 k= （分数
7、：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 58 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数解析：解析：因为 f(0)0，所以 ，根据极限的保号性，存在 0，当 X(0，)时，有3.设 f(x)为单调可微
8、函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f(2)= ，f(4)=6，则 g(4)等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 g (4)=4.设 k0，则函数 f(x)= （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：解析：函数 f(x)的定义域为(0，+)，由 f(x)= =0 得 x=e，当 0xe 时，f(x)0；当xe 时，f(x)0，由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0，又5.设 f(x)，g(x)是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)= 0 x (x-
9、t)dt，G(x)= 0 1 xg(xt)dt，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小 解析：解析：F(x)= 0 x f(x-t)dt=- 0 x f(x-t)d(x-t)= 0 x f(u)du， G(x)= 0 1 xg(xt)dt= 0 x g(u)du，则 6.累次积分 d 0 cos rf(rcos，rsin)dr 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1，0y7.设 y(x)是微分方程 y+(x-1)y+x 2 y=e x 满足初
10、始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1 B.等于 2C.等于 0D.不存在解析：解析：微分方程 y+(x-1)y+x 2 y=e x 中，令 x=0，则 y(0)=2，于是 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 x sin(x-t) 2 dt x 0 sinu 2 (-du)= 0 x sinu 2 du，则 9.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与-2y=-1+xy 3 在
11、点(-1，1)处相切，则 a= 1，b= 2.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：因为两曲线过点(-1，1)，所以 b-a=0，又由 y=x 2 +ax+b 得 =a-2，再由-2y=-1+xy 3 得 11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析：因为 f(x)在 x=1 处可微，所以 f(x)在 x=1 处连续， 于是 f(1-0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1 又 f - (1)= =2 f + (1)= 12.求 （分数：2.00
12、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 因为 所以13.设 a 2ln2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：因为 所以 则14.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t 3 f(x，y)，且 f 1 (1，2)=1，f 2 (1，2)=4，则 f(1，2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：f(tx，ty)=t 3 f(x，y)两边对 t 求导数得 xf 1 (tx，ty)+yf 2 (tx，ty)=3t 2 f(x，y)，取 t=1，x=1，y=2 得 f 1 (1，2)+2f
13、2 (1，2)=3f(1，2)，故 f(1，2)=3三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.设 f(x)在1，+)内可导，f(x)0 且 f(x)=a0，令 a n = f(k)- 1 n f(x)dx证明：a n 收敛且 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少 又因为 a n+1 -a n =f(n+1)- n n+1 f(x)dx=f(n+1)-f()0(n，n+1)， 所以a n 单调减少 因为 a n = k k+1 f(k)-f(x)dx+f(n)，
14、而 k k+1 f(k)-f(x)dx0(k=1，2，n-1) 且 f(x)=a0，所以存在 X0，当xX 时，f(x)0 由 f(x)单调递减得 f(x)0(x-1，+)，故 a n f(n)0，所以 a n 存在. 由 a n =f(1)+f(2)- 1 2 f(x)dx+f(n)- n-1 n (x)dx， 而 f(k)- k-1 k f(x)dx0(k=2，3，n)，所以 a n f(1)，从而 0 )解析：17.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切 x有f(x)e x -1证明：a
15、 1 +2a 2 +na n 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，由f(x)le x -1得 而 =a 1 +2a 2 +na n ， 且 )解析：18.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2- =(e a +e b )f()+f().（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 =e f()+f()， 再由 f(a)=f(b)=1，得 =e f(77)+f()， 从而 =(e a +e b )e f()+f()， 令 (x)=e 2x ，由
16、微分中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：19.设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01，证明：fx 1 +(1-)x 2 f(x 1 )+(1-)f(x 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 0 =x 1 +(1-)x 2 ，则 x 0 a，6，由泰勒公式得 f(x)=f(x 0 )+f(x 0 )(x-x 0 )+ (x-x 0 ) 2 ，其中 介于 x 0 与 x 之间， 因为 f(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(x-x 0 )， 于是 )解析：20.设 k 为常数，方程 kx- （分数：2.00）
17、_正确答案：(正确答案：令 f(x)=kx- +1，f(x)=k+ ，x(0，+) (1)若 k0，由 =+，又 f(x)=k+ 0，所以原方程在(0，+)内恰有一个实根； (2)若 k=0， ，所以原方程也恰有一个实根； (3)若 又 f(x)= 0，所以 f(x 0 )= 为 f(x)的最大值，令 ，得 k= ，所以 k 的取值范围是kk= )解析：21.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f()=2 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在区间0，1上连续，所以 f(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最小值 m，
18、对 f(x)-f(0)=f(c)x(其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得 0 1 f(x)dx= 0 1 f(c)cdx， 由mf(c)M 得 m 0 xdx 0 f(f)xdxM 0 xdx， 由 mf(c)M 得 0 1 xdx 0 1 f(c)xdxM 0 1 dx， 即 m2 0 1 f(c)xdxM 或 m2 0 1 f(c)dcM， 由介值定理，存在 0，1，使得 f()=2 0 1 f(x)dx)解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 )解析：23.设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(-，+)有f(x)+f(x)1证明：f(x)1（分
19、数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)，则 (x)=e x f(x)+f(x)， 由f(x)+f(x)1得(x)e x ，又由 f(x)有界得 (-)=0，则 (x)=(x)-(-)= - x (x)dx，两边取绝对值得 e x f(x) - x (x)dx - x e x dx=e x ，所以f(x)1)解析：24.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x)dx.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(t)=lnt(t0)，g(t)= 00，再令 x 0 = 0 1 f(x)dx，则有 g(t)g(x
20、 0 )+g(x 0 )(t-x 0 ) )解析：25.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)，两边对 t 求导得 =kt k-41 f(x，y，z) 当 t=1 时，有 )解析：26.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 原式 因为 所以原式 )解析：27.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y 2 化之积成反比，比例系数为 k= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意得 令 y=p，则有 因为 p(0)=0，所以 C 1 =0，故 y=p= 进一步解得 +C 2 ， 因为 y(0)=2，所以 C 2 =0，故曲线方程为 y= )解析：
