1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 59 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y+Py+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f(0)-0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1D.其他3.设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f + (a)与 f - (a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连
2、续C.f(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导4.曲线 （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条5.设 F(x)= x x+2 e sint sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.为零D.取值与 x 有关6.设 D=(x，y)0x0y，则 sinxsiny.maxx，yd 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.二阶常系数非齐次线性微分方程 y-2y-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e -xB.x 2 e -xC.x 2 (ax+b)e -xD.x(ax+b)
3、e -x二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_10.设函数 满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 F(x)= 0 x (x 2 -t 2 )f(t)dt，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2 ，则 f(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.求 （分数：2.00）填空项 1:_13. 0 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解
4、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设 a0，x 1 0，且定义 x n-1 = (n=1，2，)，证明： （分数：2.00）_17.求极限 （分数：2.00）_18.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：2.00）_19.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_20.设 f(x)在-1，1上可导，f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，f(0)=4求 （分数：2.00）_21.求 （分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.设 f(x)在(-，+)上有定义，且对任意的 x，y(-，+)有f(x)-f(y)x-y证明
5、： a b f(z)dx-(b-a)f(a) （分数：2.00）_24.设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且 a1 (1)确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_25.设 z= 0 x2+y2 ，求 （分数：2.00）_26.计算二重积分 （分数：2.00）_27.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 59 答案解析(总分
6、：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y+Py+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f(0)-0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1 D.其他解析：解析： 因为 f(0)=f(0)=0，所以 f(0)=2，于是3.设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f + (a)与 f - (a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处不连续B.f
7、(x)在 x=a 处连续 C.f(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导解析：解析：因为 f + (a)存在，所以 4.曲线 （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条 解析：解析：因为 ，所以曲线 无水平渐近线； 由 ，得曲线 有两条铅直渐近线； 由 ，得曲线5.设 F(x)= x x+2 e sint sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.为零D.取值与 x 有关解析：解析：由周期函数的平移性质，F(x)= x x+2 e sint sintdt= - e sint sintdt，再由对称区间积分性质得 F(x)=
8、 0 (e sint sin-e -sint sint)dt= 0 (e sint -e -sint )sintdt，又(e sint -e -sint )sint 连续、非负、不恒为零，所以 F(x)0，选(A)6.设 D=(x，y)0x0y，则 sinxsiny.maxx，yd 等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据对称性，令 D 1 =(x，y)0x，0yx， sinxsiny.maxx，yd= xsinxsinyd=2 0 xsinxdx 2 x sinydy =2 0 xinx(1-cosx)dx=2 0 xsinxdx-2 0 xsinxcosxdx =
9、0 sinxdx- 0 xd(sin 2 x)= 7.二阶常系数非齐次线性微分方程 y-2y-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e -xB.x 2 e -xC.x 2 (ax+b)e -xD.x(ax+b)e -x 解析：解析：方程 y-2y-3y=(2x+1)e -x 的特征方程为 2 -2-3=0，特征值为 1 =-1， 2 =3，故方程 y-2y-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为 x(ax+b)e -x ，选(D)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
10、解析：由 0 x tsin(x 2 -t 2 )dt= 0 x sin(x 2 -t 2 )d(x 2 -t 2 )= 0 x2 sinudu，得 9.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：当 x0 时，有 1-cos a x x 2 ，则 (2x) 2 =x 2 ， ，原式= 10.设函数 满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 y= 得 于是11.设 F(x)= 0 x (x 2 -t 2 )f(t)dt，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2 ，则 f(0)= 1（
11、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F(x)=x 0 x f(t)dt- 0 x tf(f)dt，F(x)=2xf(t)dt， 因为当 x0 时，F(x)x 2 ，所以 =1 而 =2f(0)，故 f(0)= 12.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13. 0 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 +xy+1）解析：解析：由 =2y+(x)，因为 f y (x，0)=x，所以 (x)
12、=x，即 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.设 a0，x 1 0，且定义 x n-1 = (n=1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有 从而 x n+1 -x n = 0(n=2，3，)， 故x n n=2 单调减少，再由 x n 0(n=2，3，)，则 x n 存在， 令 x n =A，等式 x n+1 = 两边令 n得 A= 解得 )解析：17.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 (i=1，2，n)，得 由迫敛定
13、理得 )解析：18.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0， f(x)=-1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0，1取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)=-1，再由费马定理知 f(c)=0， 根据泰勒公式 f(0)=f(c)+f(c)(0-c)+ (0-c) 2 ， 1 (0，c) f(1)=f(c)+f(c)(1-c)+ (1-c) 2 ， 2 (c，1) 整理得 f( 1 )= ，f( 2 )= 当 c
14、时，f( 1 )= 8，取 = 1 ； 当c 时，f( 2 )= )解析：19.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：20.设 f(x)在-1，1上可导，f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，f(0)=4求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 对 x0，有 ln(1+x)x )解析：21.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= (x1)， 由 f(x)= ，令 f(x)=0 得 x=e 当 x(0，e)时，f(x)0；当 x(e，+)时，f(x)0，则 x=e 为 f(x)的最大点，于是 的最大项为 因为，所以最
15、大项为 )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，则 )解析：23.设 f(x)在(-，+)上有定义，且对任意的 x，y(-，+)有f(x)-f(y)x-y证明： a b f(z)dx-(b-a)f(a) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(b-a)f(a)= a b f(a)dx， 所以 a b f(x)dx-(b-a)f(a)= a b f(x)-f(a)dx a b f(x)-f(a)dx a b (x-a)dx= (x-a) a b = )解析：24.设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形
16、面积为 S 2 ，且 a1 (1)确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 的交点为(0，0)，(a，a 2 ) 当 0a1 时，S=S 1 +S 2 = 0 a (ax-x 2 )dx+ a 1 (x 2 -ax)dx= 令 S=a 2 - 时，S 1 +S 2 取到最小值，此时最小值为 当 a0 时，S= a (ax-x 2 )dx+ 0 1 (x 2 -ax)dx= 因为 S= (a 2 +1)0，所以 S(a)单调减少，
17、故 a=0 时 S 1 +S 2 取最小值，而 S(0)= =S(0)，所以当 a= 时，S 1 +S 2 最小 (2)旋转体的体积为 )解析：25.设 z= 0 x2+y2 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =2xe x2+y2 ， =2e x2+y2 +4x 2 e x2+y2 ， =2ye x2+y2 ， =2e x2+y2 +4y 2 e x2+y2 ， 则 )解析：26.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性 (x 2 +4x+y 2 )dxdy= (x 2 +y 2 )dxdy，其中 D 1 是 D位于第一卦限的区域 令 则 (x 2 +y 2 )dxdy= cos 2 2d(2)= 故 (x 2 +4x+y 2 )dxdy= )解析：27.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线在点(x，y)处的切线方程为 Y-y=y(X-x)， 令 X=0，则 Y=y-xy，切线与 y轴的交点为(0，y-xy)， 由题意得 x 2 +x 2 y 2 =4，解得 y= ，变量分离得 dy= ，积分得 因为曲线经过点(2，0)，所以 C=0，故曲线为 y= )解析：
