1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 61 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.则 f(x 在 x=0 处( ) （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f(x)在 x=0 处连续3.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 （分数：2.00）A.单调减少B.无界C.连续D.有第一类间断点二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.当 x0 时，x-sinxcos2xcx k ，则 c= 1，k= 2（
2、分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_5.设 f(x)在 x=2 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f(1)=-2，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f x (1，2)=3，f y (1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则 (1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(sin 2 x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.求 （分数：2.00）填空项 1:_10.计算 0 a （分数：2.00）填空项 1:_11.设(ay-2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+
3、3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.确定常数 a，b，c，使得 （分数：2.00）_14.设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明： (1)存在 c(0，1)，使得 f(c)=1-2c； (2)存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：2.00）_15.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_16.设 x=x(t)由 sint- 1 x-t e
4、-u2 du=0 确定，求 （分数：2.00）_17.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)1(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明：f(x)（分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，取 x i a，b(i=1，2，n)及 k i 0(i=1，2，n)且满足 k 1 +k 2 +k n =1证明： f(k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n )k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )（分数：2.00）_19.设函数 （分数：2.00）_20.设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= （
5、分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： a b xf(x)dx （分数：2.00）_22.求椭圆 与椭圆 （分数：2.00）_23.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定甜为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 （分数：2.00）_24.计算 0 1 dx x2 x (x 2 + （分数：2.00）_25.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得f(x，y)g(x，y)d=f(，) （分数：2.00）_26.设 f(x)是连续
6、函数 (1)求初值问题 的解，其中 a0； (2)若f(x)k，证明：当 x0时，有y(x) （分数：2.00）_27.用变量代换 x=sint 将方程(1-x 2 ) （分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 61 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.则 f(x 在 x=0 处( ) （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f(x)在 x=0 处连续 解析：解析：显然 f(x)在 x=
7、0 处连续，因为 ，所以 f(x)在 x=0 处可导，当 x0 时，f(x)=arctan当 x0 时，3.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 （分数：2.00）A.单调减少B.无界C.连续 D.有第一类间断点解析：解析：因为 f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(0，2)内连续，选(C)二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.当 x0 时，x-sinxcos2xcx k ，则 c= 1，k= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：因为 x0 时，sinx=x- +o(x 3 )， cos2x
8、=1- +o(x 2 )=1-2x 2 +o(x 2 )， sinxcos2x=x- x 3 +o(x 3 )， 所以 x-sinxcos2x= x 3 +o(x 3 ) x 3 ，故 c= 5.设 f(x)在 x=2 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 f(2)= ，则曲线 y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为6.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f(1)=-2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 得7.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f x (1，2)=3，f y (1
9、，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则 (1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：47）解析：解析：因为 (x)=f x x，f(x，2x)+f y x，f(x，2x)f x (x，2x)+2f y (x，2x)， 所以 (1)=f x 1，f(1，2)+f y 1，f(1，2)f x (1，2)+2f y (1，2) =3+4(3+8)=478.设 f(sin 2 x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：arcsin 2 ）解析：解析：由 f(sin 2 x)= ，得 f(x)= 于是 9.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
10、案：正确答案：*）解析：解析：10.计算 0 a （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设(ay-2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析：令 P(x，y)=ay-2xy 2 ，Q(x，y)=bx 2 y+4x+3， 因为(ay-2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分， 所以 =2bxy+4= 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出
11、文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.确定常数 a，b，c，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 e -t2 =1-t 2 + +o(t 4 )得 0 x e -t2 dt=x- x 3 + x 5 +o(x 5 )， 从而 于是 )解析：14.设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明： (1)存在 c(0，1)，使得 f(c)=1-2c； (2)存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)=f(x)-1+2x，(0)=-1，(1)=2，因为 (0)(1)0，
12、所以存在c(0，1)，使得 (c)=0，于是 f(c)=1-2c (2)因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值m 和最大值 M， 由 6m2f(0)+f(1)+3f(2)6M 得 m M， 由介值定理，存在 0，2，使得)解析：15.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：16.设 x=x(t)由 sint- 1 x-t e -u2 du=0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 t=0 代入 sint- 1 x-1 e u2 du=0 得 1 x e -u2 du=0， 再由 e -u2 0 得x=1， s
13、int- 1 x-t e -u2 du=0 两边对 t 求导得 cost-e -(x-t)2 =e+1， cost-e -(x-t)2 =0 两边再对 t 求导得 -sint+2(x-t)e -(x-t)2 -e -(x-t)2 将 t=0，x=1， )解析：17.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)1(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明：f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(0)=f(x)-f(x)x+ f( 1 )x 2 ， 1 (0，x)， f(1)=f(x)+f(x)(1-x)+ f( 2 )(1-x) 2 ， 2 (x，1)， 两式相减，得
14、f(x)= f( 1 )x 2 - f( 2 )(1-x) 2 两边取绝对值，再由f(x)1，得 f(x) x 2 +(1-x) 2 = )解析：18.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，取 x i a，b(i=1，2，n)及 k i 0(i=1，2，n)且满足 k 1 +k 2 +k n =1证明： f(k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n )k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 0 =k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n ，显然 x 0 a，b 因为 f(x)0，所以
15、f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(x-x 0 )， 分别取 x=x i (i=1，2，n)，得 由 k i 0(i=1，2，n)，上述各式分别乘以 k i (i=1，2，n)，得 )解析：19.设函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 当 a=g(0)时，f(x)在 x=0 处连续 (2)当 x0 时 (3) 因)解析：20.设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边积分得 F 2 (x)= ，解得 F 2 (x)= ，由 F(0)=1，F(x)0，得 )解析：21.设 f(x)在a，b上连续且单调
16、增加，证明： a b xf(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 因为 f(x)在a，b上单调增加，所以 a b (x)dx0， 而 a b (x)dx = a b f(x)dx= a b xf(x)dx- a b f(x)dx， 故 a b xf(x)dx )解析：22.求椭圆 与椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积 令 则 L 1 ： 的极坐标形式为 L 1 ：r 2 =r 1 2 ()= L 2 ： 的极坐标形式为 L 2 ：r 2 =r 2 2 ()= 令 则第一象限围成的面积为 所以 A
17、 1 = ，所求面积为 )解析：23.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定甜为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=f(u)两边对 x 及 y 求偏导，得 方程 u=(u)+ y x P(t)dt 两边对 x 及y 求偏导，得 )解析：24.计算 0 1 dx x2 x (x 2 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，则 )解析：25.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得f(x，y)g(x，
18、y)d=f(，) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x，y)Mg(x，y) 积分得 (1)当g(x，y)d=0 时， (x，y)g(x，y)d=0，则对任意的(，)D，有 f(x，y)g(x，y)d=(，) g(x，y)d (2)当 g(x，y)d0 时， 由介值定理，存在(，)D，使得 即 f(x，y)g(x，y)d=f(，) )解析：26.设 f(x)是连续函数 (1)求初值问题 的解，其中 a0； (2)若f(x)k，证明：当 x0时，有y(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)y+ay=f(x)的通解为 y= 0 x f(t)e at dt+Ce -ax ， 由 y(0)=0 得 C=0，所以 y=e -ax 0 x f(t)e at dt (2)当 x0 时， y=e ax 0 x f(t)e at dte -ax 0 x f(t)e at dtke -ax 0 x e at dt= e -ax (e ax -1)， 因为 e -ax 1，所以y )解析：27.用变量代换 x=sint 将方程(1-x 2 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
