1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 63 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.不一定可导D.不连续3.设 f(x)可导，则下列正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)-f(-t)dtB. 0 x tf(t)+f(-t)dt
2、C. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt5.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微D.若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(z，y)一定不可微二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_7.设 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又
3、在(-1，1)内 f(x)=x，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设xf(x)dx=arcsinc+c，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.求 （分数：2.00）填空项 1:_11.计算 0 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在01 上连续（分数：2.00）_15.求 （分数：2.00）_16.x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(
4、x)可导，且 f(x)=e x2+x+1 ，f(0)=3，求 (3)（分数：2.00）_17.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明：存在 (a，b)使得f() （分数：2.00）_18.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_19.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f(1)=0，f(2)= （分数：2.00）_20. -2 2 (x 2 +3x+4) （分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_22.计算 1 + （分数：2.00）_23.求
5、 z=x 2 +12xy+2y 2 在区域 4x 2 +y 2 25 上的最值（分数：2.00）_24.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_25.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_26.利用变换 x=arctant 将方程 cos 4 x +cos 2 x(2-sin2x) （分数：2.00）_27.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 63 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的
6、四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导 B.不可导C.不一定可导D.不连续解析：解析：不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当x-a 时，有 f(x)0，于是3.设 f(x)可导，则下列正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：令 f(x)=x，显然 ，(A)不对，同理 =-，但 f(x)=1，(B)也不对；令f(x)=x. 2 ， f(x)=-，但 f(x)=+，(D)不对；
7、若 f(x)=+，则对任意的 M0，存在 X 0 0，当 xX 0 时，有 f(x)M，于是当 xX 0 时，f(x)=f(X 0 )=f()(x-X 0 )，其中(X 0 ，x)，即 f(x)f(X 0 )+M(x-X 0 )，根据极限的保号性，有 4.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)-f(-t)dtB. 0 x tf(t)+f(-t)dt C. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt解析：解析：因为 tf(t)-f(-t)为偶函数，所以 0 x tf(t)-f(-t)dt 为奇函数，(A)不对；
8、因为f(t 2 )为偶函数，所以 0 x f(t 2 )dt 为奇函数，(C)不对； 因为不确定 f 2 (t)的奇偶性，所以(D)不对；令 F(x)= 0 x tf(t)+f(-t)dt，F(-x)= 0 -x tf(t)+f(-t)dt= 0 x (-u)f(u)+f(-u)(-du)=F(x)，选(B)5.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微 D.若 z=
9、f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(z，y)一定不可微解析：解析：因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ，因为函数 f(x)在 x=0 处连续， 所以 a=8.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(-1，1)内 f(x)=x，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （
10、正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为在(-1，1)内 f(x)=x， 所以在(-1，1)内 由 f(0)=0 得 故9.设xf(x)dx=arcsinc+c，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由xf(x)dx=arcsinx+C 得10.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xarctanx- ln(1+x 2 )- ）解析：解析： arctanxdx=arctanxdx-arctanxd(arctanx) =xarctanx- (arctanx) 2 =xarctanx- ln(1+x 2 )- 11.计算 0 （分数：2.
11、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 所以 )解析：14.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在01 上连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 0，1，因为 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加， 所以当xx 0 时，有 故 f(x 0 )f(x)e x0-x f(x 0 )， 令 xx
12、 0 - ，由迫敛定理得 f(x 0 -0)=f(x 0 )；当 xx 0 时，有 )解析：15.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 = 0 1 e x dx=e-1， 所以 )解析：16.x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x)可导，且 f(x)=e x2+x+1 ，f(0)=3，求 (3)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ，而 f(0)=e，所以 (3)= f(x)=(2x+1)e x2+x+1 ，f(0)=e， 因为 所以 )解析：17.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明：存在 (a，b)使得f() （分数：2.00）_正确
13、答案：(正确答案：由泰勒公式得 两式相减得 f(b)-f(a)= f( 1 )f( 2 )， 取绝对值得f(b)-f(a) f( 1 )+( 2 ) (1)当f( 1 )f( 2 )时，取 = 1 ，则有f() f(b)-f(a)； (2)当f( 1 )f( 2 )时，取 = 2 ，则有f() )解析：18.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanx，F(x)=ln(1+x)，f(x)= ，F(x)= 显然 f(0)=0，F(0)=0 由柯西中值定理，存在 (0，x)，使得 令 当 x 时，f(x)0；当 x 时，f(x)0，则 x= 为 (x
14、)在(0，+)内的最大值点，最大值为 所以 )解析：19.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f(1)=0，f(2)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作一个函数 P(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d，使得 P(0)=f(0)=1，P(1)=f(1)=0，P(2)=f(2)= ，P(1)=f(1) 则 令 g(x)=f(x)-P(x)，则 g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在 c 1 (0，1)，c 2 (1，2)，使得 g(c 1 )=g(1)=g(c 2 )=0，又存在 d 1 (c 1 ，1) d 2 (1，c 2
15、 )使得 g(d 1 )=g(d 2 )=0，再由罗尔定理，存在 (d 1 ，d 2 ) )解析：20. -2 2 (x 2 +3x+4) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： -2 2 (x 2 +3x+4) = 2 (x -2 2 +4) =2 0 2 (x 2 +4) =2 0 2 (x 2 +4) dx (2+2sint) 2 +4.2cost.2costdt = (2+2sint+sin 2 t).cos 2 tdt=16+ sint.cos 2 tdt+ sin 2 t,cos 2 tdt =16- (1-cos 2 t).cos 2 tdt=18- )解析：21.设 f(x
16、)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 k f(x)dx-k 0 1 f(x)dx= 0 k f(x)dx-k 0 k f(x)dx+ k 1 f(x)dx=(1-k) 0 k f(x)dx-k k 1 f(x)dx=k(1-k)f( 1 )-f( 2 ) 其中 0，k，k，1因为0k1 且 f(x)单调减少， 所以 0 k f(x)dx-k 0 1 f(x)dx=k(1-k)f()-f()0，故 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx)解析：22.计算 1 + （分数：2.00）_正确
17、答案：(正确答案： )解析：23.求 z=x 2 +12xy+2y 2 在区域 4x 2 +y 2 25 上的最值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 4x 2 +y 2 25 时，由 得驻点为(x，y)=(0，0) 当 4x 2 +y 2 =25 时，令 F=x 2 +12xy+2y 2 +(4x 2 +y 2 -25)， 由 因为 z(0，0)=0，z(2，3)=-50， ，所以目标函数的最大和最小值分别为 )解析：24.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (02，0rt)， 由 F(t)= 0 2 d 0 t rf(r
18、 2 )dr=2 0 t rf(r 2 )dr= 0 t2 f(u)du， 得 F(t)=2tf(t 2 )，F(0)=0， F(0)= )解析：25.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)的一个原函数为 F(c)，则 +yf(x 2 +y 2 )dxdy = -1 1 xdx x3 1 +yf(x 2 +y 2 )dy = -1 1 xdx + -1 1 xdx x3 1 yf(x 2 +y 2 )dy = -1 1 x (1-x 3 )dx+ -1 1 xdx x3 1 f(x 2 +y 2 )d(x 2 +y 2 ) =- -1 1 x -1
19、 1 xF(x 2 +1)-F(x 2 +x 6 )dx =- 0 1 x 4 sin 4 tcos 2 tdt=-2(I 4 -I 6 )= )解析：26.利用变换 x=arctant 将方程 cos 4 x +cos 2 x(2-sin2x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入整理得 的特征方程为 2 +2+1=0，特征值为 1 = 2 =-1， 则 )解析：27.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线是上凸的，所以 y0，由题设得 令 y=p，y= =-(1+p 2 ) arctanp=C 1 -x 因为曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，所以 p x=0 =1，从而 y=tan( -x)，积分得 y= +C 2 因为曲线过点(0，1)，所以 C 2 =1+ 所求曲线为 因为 1，所以当 x= 时函数取得极大值 1+ )解析：
