1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 68 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= 0 x dt 0 t tln(1+u 2 )du，g(x)= 0 sinx2 (1-cost)dt，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小3.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D
2、.连续4.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设由方程 xe f(y) =e y 确定 y 为 x 的函数，其中 f(x)二阶可导，且 f1，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.求 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_9.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)
3、f(-x)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 yy-2(y) 2 =0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.求函数 （分数：2.00）_15.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_17.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且f(x) (4) M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有f(x 0 )- （
4、分数：2.00）_18.设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=-2f(0)=1，f(x)0证明：f(x)=0 在(0，+)内有且仅有一个根（分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内存在二阶导数，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a0，b0，存在 ，(0，1)，使得 （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： f(x) （分数：2.00）_23.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，
5、且 f(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 a b (x)dx=1证明： a b f(x)(c)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= （分数：2.00）_27.某人的食量是 2500 卡天(1 卡=41868 焦)，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡千克天
6、乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时问变化（分数：2.00）_28.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 68 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= 0 x dt 0 t tln(1+u 2 )du，g(x)=
7、 0 sinx2 (1-cost)dt，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.低阶无穷小 B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小解析：解析：由 m=6 且 x0 时，g(x) 3.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续 解析：解析：因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以 存在，于是4.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=
8、0 是 f(x)的驻点但不是极值点解析：解析：因为 f(x)二阶连续可导，且 f(x)=0，即 f(0)=0又 =-10，由极限的保号性，存在 0，当 0x 时，有二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：当 x0 时， f 2 (x)， 0 x lncos(x-t)dt=- 0 x lncos(x-t)d(x-t)d(x-t) - x 0 lncosudu= 0 x lncosudu， 6.设由方程 xe f(y) =e y 确定 y 为 x 的函数，其中 f(x)二
9、阶可导，且 f1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程 xe f(y) =e y 两边对 x 求导，得 e f(y) +xe f(y) f(y) 解得 7.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(-x)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：10.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0
10、 r tf(r 2 -t 2 )dt= 0 x (r 2 -t 2 )d(r 2 -t 2 )= 0 r2 f(u)du， cos(x+y)d=r 2 cos(+)，其中 2 + 2 r 2 原式 11.微分方程 yy-2(y) 2 =0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 或者 ）解析：解析：令 y=p，得 y= ，代入原方程得， -2p 2 =0 或 =0 则 p=0，或 =0 当 p=0 时，y=C； 当 =0 时，p=C 1 =C 1 y 2 ，即 =C 1 y 2 由 =C 1 y 2 ，得 =C 1 dx，从而 =C 1 x+C 2 ，所以原
11、方程的通解为 y=C 或者 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= 因为 f(-x)= =-f(x)， 所以函数 为奇函数，于是即函数 )解析：15.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 x f(x-t)dt x x f(u)(-du)= 0 x f(u)du， x0 时，x-ln(1+x)=x-x- +o(x 2 ) 得 )解析：16.设 （分
12、数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 c=0，即 f(x)= f - (0)= f + (0)= 由 f(x)在 x=0 处可导，得 b=1，即 f(x)= 于是 f - (0)= f + (0)= 由f(0)存在，得 a= ，即 a= )解析：17.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且f(x) (4) M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有f(x 0 )- （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(x-x 0 )+ (x-x 0 ) 2 + (x-x 0 ) 3 + (x-x 0 )
13、4 ， f(x)=f(x 0 )+f(x 0 )(x-x 0 )+ (x-x 0 ) 2 + (x-x 0 ) 3 + (x-x 0 ) 4 ， 两式相加得 f(x)+f(x)-2f(x 0 )=f(x 0 )(x-x 0 ) 2 + f (4) ( 1 )+f (4) ( 2 )(x-x 0 ) 4 ， 于是 f(x 0 )- f (4) ( 1 )+f (4) ( 2 )(x-x 0 ) 2 ， 再由f (4) (x)M，得 f(x 0 )- )解析：18.设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=-2f(0)=1，f(x)0证明：f(x)=0 在(0，+)内有且仅有一个根（分数：2.0
14、0）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f(x)f(0)=1 当 x0时，f(x)-f(0)=f()c，从而 f(x)f(0)+x，因为 f(0)+x=+，所以 )解析：19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内存在二阶导数，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a0，b0，存在 ，(0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上连续，f(0)=0，f(1)=1，且 f(0) f(1)，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)= 由微分中值定理，存在 (0，c)，(c，1)，使得整理得
15、)解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 )解析：21.设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n+1)T， 因为 f(x)0，所以 0 nT f(t)dt 0 x f(t)dt 0 (n+1)T f(t)dt， 即 n 0 T f(t)dt 0 x f(t)dt(n+1) 0 T f(t)dt，由 ，得 注意到当 x+时，n+，且 由迫敛定理得 )解析：22.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： f(x) （分数：2.00）_正
16、确答案：(正确答案：因为 且 f(a)=f(b)=0，所以 两式相加得f(x) )解析：23.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 a b (x)dx=1证明： a b f(x)(c)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)0，所以有 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(x-x 0 ) 取 x 0 = a b x(x)dx，因为 (x)0，所以以 a(x)x(x)b(x)，又 a b (x)dx=1，于是有 a a b xqx(x)dx=x 0 b把 x 0 = a b x(x)dx
17、 代入 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(x-x 0 )中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x 0 )(x)+f(x 0 )x(x)-x 0 (x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx)解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：0f(x，y)xy， 因为 xy=0，由迫敛定理得 f(x，y)=0=f(0，0)，即 f(x，y)在(0，0)处连续 由 得 f x (0，0)=0，同理 f y (0，0)=0， 即f(x，y)在(0，0)处可偏导 令 0 x，由迫敛定理得 )解析：25.计算 （分数：2.00）_
18、正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)-1x1，0yx 2 ， D 2 =(x，y)-1x1，x 2 y2， )解析：26.设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入原方程得 y-y=sinx，特征方程为 r 2 -1=0，特征根为 r 1,2 =1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y * =acosx+bsinx，代入方程得 a=0，b= ，故 y * = sin
19、x，于是方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x - sinx，由初始条件得 C 1 =1，C 2 =-1，满足初始条件的特解为 y=e x -e -x - )解析：27.某人的食量是 2500 卡天(1 卡=41868 焦)，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时问变化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：输入率为 2500 卡天，输出率为(1200+16w)，其中 w 为体重， 根据题意得 ，w(0)=w 0 ， 由 ，代入初始条件得 C=w 0 - 于是 )解析：28.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(t-T)，又 bH(t)s=ct， 于是 ，且 S(12)=0，S(14)=2，S(16)=3， 由 T 2 -26T+164=0， T= )解析：
