1、第 1 页 共 11 页 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 YCY 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 第 I 卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页，共 150 分 第I卷 注意事项 ： 1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码 的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号，第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答 案无效 3考试结束，临考员将试题卷
2、、答题卡一并收回 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 2 4 RS = 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 3 3 4 RV = 次的概率 knkk nn PPCkP = )1()( 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1设集合 = ABAZxxxI 则,2,1,2,2,1,3| （
3、I B） = （ ） A 1 B 1， 2 C 2 D 0， 1， 2 2设复数： 2121 ),(2,1 zzRxixziz 若+=+= 为实数，则 x= （ ） A 2 B 1 C 1 D 2 3 “a=b”是“直线 相切与圆 2)()(2 22 =+= byaxxy ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 4 123 )( xx + 的展开式中，含 x 的正整数次幂的项共有 （ ） A 4 项 B 3 项 C 2 项 D 1 项 5设函数 )(|,3sin|3sin)( xfxxxf 则+= 为 （ ） 第 2 页 共 11 页 A周期函
4、数，最小正周期为 3 B周期函数，最小正周期为 3 2 C周期函数，数小正周期为 2 D非周期函数 6已知向量 的夹角为与则若 cacbacba , 2 5 )(,5|),4,2(),2,1( =+= （ ） A 30 B 60 C 120 D 150 7已知函数 )()( xfxfxy = 其中的图象如右图所示 )( 的导函数是函数 xf ，下面四个图象中 )(xfy = 的图象大致是 （ ） 8 = = )22( 1 lim,1 1 )1( lim 11 xf x x xf xx 则若 （ ） A 1 B 1 C 2 1 D 2 1 9矩形 ABCD 中， AB=4， BC=3，沿 AC
5、将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B AC D，则四面体 ABCD 的外接球的体积为 （ ） A 12 125 B 9 125 C 6 125 D 3 125 10已知实数 a, b 满足等式 ,) 3 1 () 2 1 ( ba = 下列五个关系式 0ba ab0 0ab ba+ . 15如图，在直三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中， AB=BC= 2 ， BB 1 =2， null 90=ABC ， E、 F 分别为 AA 1 、 C 1 B 1 的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度为 . 16以下同个关于圆锥曲线的命题中 设 A、 B 为两个定点， k 为非
6、零常数， kPBPA = | ，则动点 P 的轨迹为双曲线； 设定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB， O 为坐标原点，若 ),( 2 1 OBOAOP += 则动点 P 的轨迹为 椭圆； 方程 0252 2 =+ xx 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线 1 35 1 925 2 222 =+= y xyx 与椭圆 有相同的焦点 . 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17 （本小题满分 12 分） 已知函数 bax x xf + = 2 )( （ a， b 为常数）且方程
7、f(x) x+12=0 有两个实根为 x 1 =3, x 2 =4. （ 1）求函数 f(x)的解析式； （ 2）设 k1，解关于 x 的不等式； x kxk xf + 2 )1( )( 第 4 页 共 11 页 18 （本小题满分 12 分） 已知向量 baxf xx b xx a =+=+= )(), 42 tan(), 42 sin(2(), 42 tan(, 2 cos2( 令 . 是否存在实数 ?)()(0)()(,0 的导函数是其中使 xfxfxfxfx =+ 若存在，则求出 x 的值；若 不存在，则证明之 . 19 （本小题满分 12 分） A、 B 两位同学各有五张卡片，现以投
8、掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 A 赢得 B 一张 卡片，否则 B 赢得 A 一张卡片 .规定掷硬币的次数达 9 次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止 .设 表示游戏终止时掷硬币的次数 . （ 1）求 的取值范围； （ 2）求 的数学期望 E . 第 5 页 共 11 页 20 （本小题满分 12 分） 如图，在长方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 ，中， AD=AA 1 =1， AB=2，点 E 在棱 AD 上移动 . （ 1）证明： D 1 E A 1 D； （ 2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD 1 的距离； （ 3） AE 等于何值时，
9、二面角 D 1 EC D 的大小为 4 . 第 6 页 共 11 页 21 （本小题满分 12 分） 已知数列 :, 且满足的各项都是正数 n a .),4(, 2 1 ,1 10 Nnaaaa nnn = + （ 1）证明 ;,2 1 Nnaa nn + （ 2）求数列 n a 的通项公式 a n . 22 （本小题满分 14 分） 如图，设抛物线 2 : xyC = 的焦点为 F，动点 P 在直线 02: = yxl 上运动，过 P 作抛物线 C 的两 条切线 PA、 PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、 B 两点 . （ 1）求 APB 的重心 G 的轨迹方程 . （ 2）证明 PFA
10、= PFB. 第 7 页 共 11 页 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学参考答案 一、选择题 1 D 2 A 3 A 4 B 5 B 6 C 7 C 8 C 9 C 10 B 11 D 12 A 二、填空题 13 2 2 14 2 3 15 2 2 3 16 三、解答题 17解： （ 1）将 0124,3 2 21 =+ + = x bax x xx 分别代入方程 得 ).2( 2 )(, 2 1 8 4 16 9 3 9 2 = = = = + = + x x x xf b a ba ba 所以解得 （ 2）不等式即为 0 2 )1( , 2 )1( 2 22 +
11、 + kxxx 当 ).,2(),1(,21 += xxxk 解集为不等式为时 ),()2,1(,2 + kxk 解集为时当 . 18解： ) 42 tan() 42 tan() 42 sin( 2 cos22)( += xxxx baxf 1 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 tan1 1 2 tan 2 tan1 2 tan1 ) 2 cos 2 2 2 sin 2 2 ( 2 cos22 2 += + + += xxx x x x x xxx .cossin xx+= xxxxxfxf xfxf sincoscossin)()( :,0)()( +=+ =+ 即令 .0cos2
12、 = x .0)()(,0 2 , 2 =+= xfxfxx 使所以存在实数可得 第 8 页 共 11 页 19解： （ 1）设正面出现的次数为 m，反面出现的次数为 n，则 =+ = 91 5| nm nm ，可得： .9,7,5:;9,7,22,7 ;7,6,11,6;5,5,00,5 的所有可能取值为所以时或当 时或当时或当 = = nmnm nmnmnmnm （ 2） ; 64 5 ) 2 1 (2)7(; 16 1 32 2 ) 2 1 (2)5( 71 5 5 = CPP . 32 275 64 55 9 64 5 7 16 1 5 ; 64 55 64 5 16 1 1)9( =
13、+= = E P 20解法（一） （ 1）证明： AE平面 AA 1 DD 1 ， A 1 D AD 1 ， A 1 D D 1 E （ 2）设点 E 到面 ACD 1 的距离为 h，在 ACD 1 中， AC=CD 1 = 5 ， AD 1 = 2 ， 故 . 2 1 2 1 , 2 3 2 1 52 2 1 1 = BCAESS ACECAD 而 . 3 1 , 2 3 1 2 1 , 3 1 3 1 11 1 = = hh hSDDSV CADAECAECD （ 3）过 D 作 DH CE 于 H，连 D 1 H、 DE，则 D 1 H CE， DHD 1 为二面角 D 1 EC D 的
14、平面角 . 设 AE=x，则 BE=2 x ,1, .1, 4 , 2 11 xEHDHERtxDEADERt DHDHDDHDRt =+= = 中在中在 中在 . 4 ,32 .32543 .54,3 1 2 2 的大小为二面角时 中在中在 DECDAE xxxx xxCECBERtCHDHCRt = =+=+ += 解法（二） ：以 D 为坐标原点，直线 DA， DC， DD 1 分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设 AE=x， 则 A 1 （ 1， 0， 1） ， D 1 （ 0， 0， 1） ， E（ 1， x， 0） ， A（ 1， 0， 0） C（ 0， 2， 0） （
15、1） .,0)1,1(),1,0,1(, 1111 EDDAxEDDA = 所以因为 （ 2）因为 E 为 AB 的中点，则 E（ 1， 1， 0） ，从而 )0,2,1(),1,1,1( 1 = ACED ， 第 9 页 共 11 页 )1,0,1( 1 =AD ，设平面 ACD 1 的法向量为 ),( cban = ，则 = = ,0 ,0 1 ADn ACn 也即 =+ =+ 0 02 ca ba ，得 = = ca ba 2 ，从而 )2,1,2(=n ，所以点 E 到平面 AD 1 C 的距离为 . 3 1 3 212 | | 1 = + = = n nED h （ 3）设平面 D
16、1 EC 的法向量 ),( cban = ， ),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1( 11 = DDCDxCE 由 =+ = = = .0)2( 02 ,0 ,0 1 xba cb CEn CDn 令 b=1, c=2,a=2 x， ).2,1,2( xn = 依题意 . 2 2 5)2( 2 2 2 | | 4 cos 2 1 1 = + = = xDDn DDn 32 1 +=x （不合，舍去） ， 32 2 =x . AE= 32 时，二面角 D 1 EC D 的大小为 4 . 21解： （ 1）方法一 用数学归纳法证明： 1当 n=1 时， , 2 3 )4( 2 1 ,1
17、0010 = aaaa 2 10 aa ，命题正确 . 2假设 n=k 时有 .2 1 kk aa 则 )4( 2 1 )4( 2 1 ,1 111 kkkkkk aaaaaakn =+= + 时 ).4)( 2 1 )( 2 1 )(2 11 111 kkkk kkkkkk aaaa aaaaaa = += 而 .0,04.0 111 kkkkkk aaaaaa 又 .2)2(4 2 1 )4( 2 1 2 1 = + kkkk aaaa 1+= kn 时命题正确 . 由 1、 2知，对一切 n N 时有 .2 1 +nn aa 第 10 页 共 11 页 方法二：用数学归纳法证明： 1当
18、n=1 时， , 2 3 )4( 2 1 ,1 0010 = aaaa 20 10 aa ； 2假设 n=k 时有 2 1 kk aa 成立， 令 )4( 2 1 )( xxxf = ， )(xf 在 0， 2上单调递增，所以由假设 有： ),2()()( 1 fafaf kk 即 ),24(2 2 1 )4( 2 1 )4( 2 1 11 kkkk aaaa 也即当 n=k+1 时 2 1 +kk aa 成立，所以对一切 2, 1 +kk aaNn 有 （ 2）下面来求数列的通项： ,4)2( 2 1 )4( 2 1 2 1 += + nnnn aaaa 所以 2 1 )2()2(2 = +
19、 nn aa nn nnnnnnn bbbbbab 22212 1 222 2 2 1 12 ) 2 1 () 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 2 1 ,2 + = null null则令 , 又 b n = 1，所以 1212 ) 2 1 (22,) 2 1 ( =+= nn nnn bab 即 22解： （ 1）设切点 A、 B 坐标分别为 )(,(),( 01 2 11 2 0 xxxxxx 和 ， 切线 AP 的方程为： ;02 2 00 = xyxx 切线 BP 的方程为： ;02 2 11 = xyxx 解得 P 点的坐标为： 10 10 , 2 xxy xx x PP
20、 = + = 所以 APB 的重心 G 的坐标为 P P G x xxx x = + = 3 10 ， , 3 4 3 )( 33 2 10 2 1010 2 1 2 010 pP P G yx xxxxxxxxyyy y = + = + = + = 所以 2 43 GGp xyy += ，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为： ).24( 3 1 ,02)43( 22 +=+ xxyxyx 即 （ 2）方法 1：因为 ). 4 1 ,(), 4 1 , 2 (), 4 1 ,( 2 1110 10 2 00 = + = xxFBxx xx FPxxFA 由于 P 点在
21、抛物线外，则 .0| FP 第 11 页 共 11 页 , | 4 1 ) 4 1 (| ) 4 1 )( 4 1 ( 2 | cos 10 2 2 0 2 0 2 0100 10 FP xx xxFP xxxx xx FAFP FAFP AFP + = + + + = = 同理有 , | 4 1 ) 4 1 (| ) 4 1 )( 4 1 ( 2 | cos 10 22 1 2 1 2 1101 10 FP xx xxFP xxxx xx FBFP FBFP BFP + = + + + = = AFP= PFB. 方法 2：当 ,0,0,0 000101 = yxxxxx 则不妨设由于时 所
22、以 P 点坐标为 )0, 2 ( 1 x ，则 P 点到直 线 AF 的距离为： , 4 1 4 1 :; 2 | 1 2 1 1 1 x x x yBF x d = 的方程而直线 即 .0 4 1 ) 4 1 ( 11 2 1 =+ xyxxx 所以 P 点到直线 BF 的距离为： 2 | 4 1 2 | ) 4 1 ( )() 4 1 ( | 42 ) 4 1 (| 1 2 1 12 1 2 1 22 1 112 1 2 x x x x xx xx x d = + + = + + = 所以 d 1 =d 2 ，即得 AFP= PFB. 当 0 01 xx 时，直线 AF 的方程： ,0 4
23、 1 ) 4 1 (),0( 0 4 1 4 1 00 2 0 0 2 0 =+ = xyxxxx x x y 即 直线 BF 的方程： ,0 4 1 ) 4 1 (),0( 0 4 1 4 1 11 2 1 1 2 1 =+ = xyxxxx x x y 即 所以 P 点到直线 AF 的距离为： 2 | 4 1 ) 4 1 )( 2 | ) 4 1 ( | 4 1 ) 2 )( 4 1 (| 10 2 0 2 0 10 2 0 22 0 01 2 0 102 0 1 xx x x xx xx xxx xx x d = + + = + + + = ，同理可得到 P 点到直线 BF 的距离 2 | 01 2 xx d = ，因此由 d 1 =d 2 ，可得到 AFP= PFB.
