1、 数学（理科）试题 第卷（选择题共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选题中，只 有一项是符合题目要求的 . （ 1）设 i 是虚数单位，复数 i ai + 2 1 为纯虚数，则实数 a 为 (A)2 (B) -2 (C) 2 1 (D) 2 1 （ 2）双曲线 82 22 = yx 的实轴长是 (A)2 (B) 22 (C) 4 (D) 24 （ 3）设 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，当 0 x 时， xxxf = 2 2)( ,则 =)1(f (A)-3 (B)-1 (C) 1 (D)3 （ 4）设变量 x,y 满足 |x|
2、+|y|1，则 x+2y 的最大值和最小值分别为 (A) 1,-1 (B) 2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1 （ 5）在极坐标系中，点 ) 3 ,2( 到圆 cos2= 的圆心的距离为 (A) 2 (B) 9 4 2 + (C) 9 1 2 + (D)3 （ 6 ）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 (A)48 (B) 17832+ (C) 17848+ (D)80 （ 7）命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定 是 (A) 所有不能被 2 整除的整数都是偶数 (B) 所有不能被 2 整除的整数都不是偶数 (C) 存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 (D)
3、存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 （ 8）设集合 A=1,2,3,4,5,6,B=4,5,6,7,8，则满足 AS 且 BS I 的集合 S 的个数是 (A)57 (B) 56 (C) 49 (D)8 （ 9）已知函数 )2sin()( += xxf ，其中 为实数，若 |) 6 (|)( fxf 对 Rx 恒成立，且 )() 2 ( ff ，则 )(xf 的单调递增区间是 (A) )( 6 , 3 Zkkk + (B) )( 2 , Zkkk + (C) )( 3 2 , 6 Zkkk + (D) )(, 2 Zkkk （ 10）函数 nm xaxxf )1()( = 在区间 0,1上的
4、图像如图所示，则 m,n 的值可能是 (A) m=1,n=1 (B) m=1,n=2 (C) m=2,n=1 (D) m=3,n=1 第卷（非选择题共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。 （ 11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . （ 12）设 21 21 2 210 21 )1( xaxaxaax += L ，则 =+ 1110 aa . （ 13）已知向量 a,b 满足 (a+2b)(a-b)=-6 ，且 |a|=1,|b|=2，则 a 与 b 的夹角为 . （ 14）已知 ABC 的一个内角为 120，
5、并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则 ABC 的面积为 . （ 15）在平面直角坐标系中，如果 x 与 y 都是整数，就称点 (x,y)为整点。下列命题中正确的 是 .（写出所有正确的编号） 。 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果 k 与 b 都是无理数，则直线 y=kx+b 不经过任何整点 直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当 l 经过两个不同的整点 直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是： k 与 b 都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解 答写在答题卡的指定区域内
6、。 （ 16） （本小题满分 12 分） 设 2 1 )( ax e xf x + = ，其中 a 为正实数 . （）当 3 4 =a 时，求 )(xf 的极值点； （）若 )(xf 为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围 （ 17） （本小题满分 12 分） 如图， ABEDFC 为多面体，平面 ABED 与平面 ACFD 垂直，点 O 在线段 AD 上， OA=1， OD=2， OAB, OAC, ODE, ODF 都是正三角形 . （）证明直线 BC EF; （）求棱锥 F-OBED 的体积 . （ 18） （本小题满分 13 分） 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这
7、n+2 个数构成递增的等比数列，将这 n+2 个数的 乘积记作 n T ，再令 nn Ta lg= ，n1. （）求数列 n a 的通项公式； （）设 1 tantan + = nnn aab ，求数列 n b 的前 n 项和 n S . （ 19） （本小题满分 12 分） （）设 x 1,y 1，证明 xy yxxy yx + 111 ； （）设 1 ，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数 目的均值（数学期望）达到最小。 （ 21） （本小题满分 13 分） 设 0 ，点 A 的坐标为（ 1,1） ，点 B 在抛物线 2 xy = 上运动，点 Q 满足 QABQ = ，经
8、过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M，点 P 满足 MPQM = ，求点 P 的轨迹方程。 数学（理科）试题参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算 . 每小题 5 分，满分 50 分 . （ 1） A （ 2） C （ 3） A （ 4） B （ 5） D （ 6） C （ 7） D （ 8） B （ 9） C （ 10） B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算 . 每小题 5 分，满分 25 分 . （ 11） 15 （ 12） 0 （ 13） 3 （ 14） 315 （ 15） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9、（ 16）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系。求解一元 二次不等式等基本知识，考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力。 解：对 )(xf 求导得 22 2 )1( 21 )( ax axax exf x + + = （）当 3 4 =a 时，若 0)( = xf ，则 0384 2 =+ xx ，解得 2 1 , 2 3 21 = xx 结合，可知 x ) 2 1 ,( 2 1 ) 2 3 , 2 1 ( 2 3 ), 2 3 ( + )(xf + 0 _ 0 + )(xf 极大值 极小值 所以， 2 3 1 =x 是极小值点， 2 1 2 =x 是极大值点。 （）若 )(xf 为 R 上的单调函数，则 )(xf 在 R 上不变号，结合与条件 a0，知 012 2 + axax 在 R 上恒成立，因此 0)1(444 2 = aaaa ，由此并结合 a0，知 10 时，交换前两人的派出顺 序可减少均值。 （）也可将（）中所求的 EX 改写为 211 )1(23 qqq ，若交换后两人的派出顺序， 则变为 111 )1(23 qqq 。由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当 12 qq ，两边同除以 )1( + ，得 012 = yx 故所求点 P 的轨迹方程为 12 = xy 。
