1、2014届上海市宝山区九年级第一学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列各式中，正确的是（ ） A B C D 答案： B. 试题分析：根据同底数幂的乘法法则计算即可； a4 a2=a6,所以 B正确，其他的选项错误 . 考点：同底数幂的乘法 . 已知 Rt ABC中， C=90o，那么 cosA表示（ ）的值 A B C D 答案： D. 试题分析：根据直角三角形三角函数值得求法即可得出； cosA= ,所以选 D. 考点：三角函数值 . 二次函数 图像的顶点坐标是（ ） A B C D 答案： B. 试题分析：因为 y=-（ x-1） 2+3是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写
2、出顶点坐标 考点：二次函数的性质 如图，在平行四边形 ABCD 中，如果 ，那么 等于（ ） A B C D 答案： B. 试题分析：由四边形 ABCD是平行四边形，可得 AD=BC， AD BC，则可得，然后由三角形法则，即可求得答案： 四边形 ABCD是平行四边形， AD=BC， AD BC， ， ， ， . 故选 B 考点：平面向量 已知 D、 E、 F分别为等腰 ABC边 BC、 CA、 AB上的点，如果， ， FDE= B,那么 AF的长为（ ） A. B. C. D. 答案： C. 试题分析：由 AE和 CE的长可求出 AC的长，因为 ABC是等腰三角形，所以AB=AC，若要求 A
3、F 的长，可求出 BF的长即可而通过证明 DBF DCE即可求出 BF的长，问题得解 解： AB=AC， B= C， BFD=180- B- FDB， EDC=180- FDE- FDB， 又 FDE= B， BFD= EDC， DBF DCE， BD： CE=BF： CD， BD=2， CD=3， CE=4， 2： 4=BF： 3， BF=1.5， AC=AE+CE= +4=5.5， AB=5.5， AF=AB-BF=5.5-1.5=4， 故选 C 考点： 1.相似三角形的判定与性质； 2.等腰三角形的性质 如图，梯形 ABCD中， AD BC， BF AD， CE AD，且 AF=EF=E
4、D=5，BF=12，动点 G从点 A出发，沿折现 AB-BC-CD以每秒 1个单位长的速度运动到点 D停止 . 设运动时间为 t秒， EFG的面积为 y，则 y关于 t的函数图像大致是（ ） 答案： A. 试题分析：分三段考虑， 点 G在 AB上运动， 点 G在 BC上运动， 点 G在 CD上运动，分别求出 y与 t的函数表达式，继而可得出函数图象 解：在 Rt ABF中， AB= ，在 Rt CED中， CD= =13， 点 P在 AB上运动： 过点 G作 GM AB于点 M，则 GM=AGsin A= t， 此时 y= EFGM= t，为一次函数； 点 G在 BC上运动， y= BFDE=
5、30； 点 G在 BC上运动，过点 G作 GN AD于点 N，则 GN=DGsin B=（ AB+BC+CD-t） = ， 则 y= EFPN= ，为一次函数 综上可得选项 A的图象符合 故选 A 考点：动点问题的函数图象 填空题 如图已知 ABC中， D为边 AC上一点， P为边 AB上一点， ，当 AP的长度为 _时 ADP和 ABC相似 . 答案：或 9 试题分析：分别根据当 ADP ACB时，当 ADP ABC时，求出 AP的长即可 解：当 ADP ACB时， AP： AB=AD： AC， AP： 12=6： 8， 解得： AP=9， 当 ADP ABC时， AD： AB=AP： AC
6、， 6： 12=AP： 8， 解得： AP=4， 当 AP的长度为 4或 9时， ADP和 ABC相似 故答案：为： 4或 9 考点：相似三角形的判定 在 ABC中， A, B都是锐角，若 ，则 ABC的形状为 _三角形 . 答案：等边 试题分析：根据 A、 B都是锐角， sinA= ， cosB= ，求出 A、 B的度数，根据三角形的内角和定理求出 C的度数，可得出 ABC的形状 A、 B都是锐角， sinA= ， cosB= ， A=60， B=60， C=180-60-60=60， ABC为等边三角形 故答案：为：等边 考点：特殊角的三角函数值 某坡面的坡度为 1： ，某车沿该坡面爬坡行
7、进了 _米后，该车起始位置和终止位置两地所处的海拔高度上升了 5米 答案： 试题分析：已知坡面的坡度为 1： ， AB=5米，可求得 BC的长度，然后可用勾股定理求出坡面距离 AB： BC=1： ， AB=5米， BC=12米， 在 Rt ABC中， AC= （米） 故答案：为： 13 考点：解直角三角形的应用 -坡度坡角问题 在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示），已知立杆 AB的高度是 6米，从侧面 D测到路况警示牌顶端 C点和低端B点的仰角分别是 60和 45，则路况警示牌宽 BC的值为 _. 答案：（ -1） . 试题分析：在直角 ABD中，利用三角函数求得
8、 AD的长度，然后再在直角 ADC中利用三角函数求得 AC的长，根据 BC=AC-AB即可求解 在直角 ABD中， BDA=45， AD=AB=6（米）， 在直角 ADC中， tan CDA= ， AC=AD tan CDA=6tan60= （米）， 则 BC=AC-AB=6（ -1）米 故答案：是 6（ -1）米 考点：解直角三角形的应用 -仰角俯角问题 如图，在平面直角坐标系中， Rt OAB的顶点 A的坐标为（ 9， 0),，点 C的坐标为（ 2， 0），点 P为斜边 OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为 _. 答案： 试题分析：作 A关于 OB的对称点 D，连接 CD交 OB于 P
9、，连接 AP，过 D作DN OA于 N，则此时 PA+PC 的值最小，求出 AM，求出 AD，求出 DN、 CN，根据勾股定理求出 CD，即 可得出答案： 作 A关于 OB的对称点 D，连接 CD交 OB于 P，连接 AP，过 D作 DN OA于N，则此时 PA+PC的值最小， Rt OAB的顶点 A的坐标为（ 9， 0）， OA=9， tan BOA= ， AB= ， B=60， AOB=30， OB=2AB= ， 由三角形面积公式得： S OAB= OAAB= OBAM，即 9 = AM， AM= ， AD=2 =9， AMB=90， B=60， BAM=30， BAO=90， OAM=6
10、0， DN OA， NDA=30， AN= AD= ，由勾股定理得： DN= ， C（ 2， 0）， CN=9- -2= ， 在 Rt DNC中，由勾股定理得： DC= 即 PA+PC的最小值是 ， 故答案：为： 考点： 1.轴对称 -最短路线问题； 2.坐标与图形性质； 3.解直角三角形 若 与 的方向相反，且 ，则 的方向与 的方向 _. 答案：相同 试题分析：根据 与 的方向相反，且 和向量的定义即可求得答案： 与 的方向相反，且 ， 的方向与 的方向相同； 故答案：为：相同 考点：平面向量 抛物线 可以由抛物线 向 _（平移）得到 . 答案：左平移 2个单位 试题分析：根据平移前后的抛
11、物线的顶点坐标确定平移方法 抛物线 y=（ x+2） 2-3的顶点坐标为（ -2， -3）， 抛物线 y=x2-3的顶点坐标为（ 0， -3）， 抛物线 y=（ x+2） 2-3可以由抛物线 y=x2-3向左平移 2个单位得到 故答案：为：左平移 2个单位 考点：二次函数图象与几何变换 如图，二次函数 的图像开口向上，对称轴为直线 ,图像经过（ 3,0），则 的值是 _. 答案： . 试题分析：根据已知对称轴为直线 x=1，图象经过（ 3， 0），得出图象与 x轴的另一交点，进而得出 a-b+c的值： 二次函数 y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线 x=1，图象经过（ 3，0），
12、图象还经过（ -1， 0）， 则 a-b+c的值是： x=-1时，对应 y的值为 0 故答案：为： 0 考点：抛物线与 x轴的交点 二次函数 的图像开口方向 _. 答案：向上 . 试题分析：由抛物线式可知，二次项系数 a=2 0，可知抛物线开口向上 二次函数 y=2x2+3的二次项系数 a=2 0， 抛物线开口向上 故答案：为：向上 考点：二次函数的性质 一元二次方程 的根的判别式是 _. 答案： =p2-4q. 试题分析：根据根的判别式公式 =b2-4ac解答 :即 =p2-4q. 考点：根的判别式 不等式组 的解集是 _. 答案： x 2 试题分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集
13、即可 由 得， x1； 由 得， x2， 故此不等式组的解集为： 1 x 2 考点：解一元一次不等式组 计算 的结果是 _. 答案： a2-1 试题分析：本题是平方差公式的应用， a是相同的项，互为相反项是 1与 -1，直接套用公式即可 解：（ a+1）（ a-1）， =a2-12， =a2-1 考点：平方差公式 解答题 如图，已知抛物线 与 轴相交于 A、 B两点，与 轴相交于点 C，若已知 B点的坐标为 B（ 8， 0） . （ 1）求抛物线的式及其对称轴方程； （ 2）连接 AC、 BC，试判断 AOC与 COB是否相似？并说明理由； （ 3） M为抛物线上 BC之间的一点， N为线段
14、BC上的一点，若 MN 轴，求 MN的最大值； （ 4）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使 ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q点坐标；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1）抛物线的式为 y= x2+ x+4，对称轴为直线 x=3； （ 2） AOC COB理由见； （ 3） 4； （ 4） Q1（ 3， 4+ ）， Q2（ 3， 4- ）， Q3(3， 0). 试题分析： （ 1）把点 B的坐标代入抛物线式求出 b的值，即可得到抛物线式，再根据对称轴方程列式计算即可得解； （ 2）令 y=0，解方程求出点 A的坐标，令 x=0求出 y的值得到点 C的坐标，再求出 OA、 OB、
15、 OC，然后根据对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似证明； （ 3）设直线 BC的式为 y=kx+b，利用待定系数法求出式，再表示出 MN，然后根据二次函数的最值问题解答； （ 4）利用勾股定理列式求出 AC，过点 C作 CD 对称轴于 D，然后分 AC=CQ时，利用勾股定理列式求出 DQ，分点 Q在点 D的上方和下方两种情况求出点 Q到 x轴的距离，再写出点的坐标即可； 点 Q为对称轴与 x轴的交点时， AQ=CQ，再写出点 Q的坐标即可 试题： （ 1） 点 B（ 8， 0）在抛物线 y= x2+bx+4上， 64+8b+4=0， 解得 b= ， 抛物线的式为 y= x2+ x+4， 对
16、称轴为直线 x= ； （ 2） AOC COB 理由如下：令 y=0，则 x2+ x+4=0， 即 x2-6x-16=0， 解得 x1=-2， x2=8， 点 A的坐标为（ -2， 0）， 令 x=0，则 y=4， 点 C的坐标为（ 0， 4）， OA=2， OB=8， OC=4， =2， AOC= COB=90， AOC COB； （ 3）设直线 BC的式为 y=kx+b， 则 ， 解得 ， 直线 BC的式为 y= x+4， MN y轴， MN= x2+ x+4-（ x+4）， = x2+ x+4+ x-4， = x2+2x， = （ x-4） 2+4， 当 x=4时， MN的值最大，最大值
17、为 4； （ 4）由勾股定理得， AC= ， 过点 C作 CD 对称轴于 D，则 CD=3， AC=CQ时， DQ= ， 点 Q在点 D的上方时，点 Q到 x轴的距离为 4+ ， 此时点 Q1（ 3， 4+ ）， 点 Q在点 D的下方时，点 Q到 x轴的距离为 4- ， 此时点 Q2（ 3， 4- ）， 点 Q为对称轴与 x轴的交点时， AQ=5， CQ= ， AQ=CQ， 此时，点 Q3（ 3， 0）， 综上所述，点 Q的坐标为（ 3， 4+ ）或（ 3， 4- ）或（ 3， 0）时， ACQ为等腰三角形时 考点：二次函数综合题 如图 E为正方形 ABCD边 BC延长线上一点， AE交 DC
18、于 F， FG BE交DE于 G （ 1）求证： FG=FC； （ 2）若 FG=1,AD=3，求 tan GFE的值 . 答案： (1)见；（ 2） . 试题分析： （ 1）由四边形 ABCD是正方形，可得 AB CD， AD BC， AB=AD，即可证得 CEF BEA， EFG EAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论 （ 2）由 FG BE，可得 DAF= GFE，即可得 tan GFE=tan DAF= 试题： （ 1）证明： 四边形 ABCD是正方形， AB CD， AD BC， AB=AD， CEF BEA， EFG EAD， CF=FG （ 2）解： FG BE， DA
19、F= GFE， FC=FG=1， CD=AD=3， DF=CD-FC=2， tan GFE=tan DAF= 考点： 1.相似三角形的判定与性质； 2.正方形的性质 通过锐角三角比的学习，我们已经知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长比与角的大小之间可以相互转化 . 类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系 .我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ sad） . 如下图在 ABC中， AB=AC,顶角 A的正对记作 sadA，这时 . 我们容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的 .根据上述角的正对定义，解下列问题： （ 1）
20、sad60o=_； sad90o=_。 （ 2）对于 ， 的正对值 sadA的取值范围是 _。 （ 3）试求 sad36o的值 . 答案：（ 1） 1， ；（ 2） 0 sadA 2；（ 3） sad36= 试题分析： （ 1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答进而得出 sad90的值； （ 2）求出 0度和 180度时等腰三角形底和腰的比即可； （ 3）作出等腰 ABC，构造等腰三角形 BCD，根据正对的定义解答 试题： （ 1）根据正对定义， 当顶角为 60时，等腰三角形底角为 60， 则三角形为等边三角形， 则 sad60= =1 根据正
21、对定义， 当顶角为 90时，等腰三角形底角为 45， 则三角形为等腰直角三角形， 则 sad90= = 故答案：为： 1， （ 2）当 A接近 0时， sadA接近 0， 当 A接近 180时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故 sadA接近 2 于是 sadA的取值范围是 0 sadA 2 故答案：为： 0 sadA 2 （ 3）已知： A=36， AB=AC， BC=BD， A= CBD=36， ABC= C=72， BCD ABC， ， ， 解得 :BC= CD， sad36= 考点：解直角三角形 如图已知： ，求证： . 答案：见 . 试题分析：由 ，可证得 ABD ACE，继而可得 D
22、AE= BAC，即可证得 ABC ADE，继而证得结论 试题： 证明： ， ABD ACE， BAD= CAE， DAE= BAC， ， ABC ADE， ABC= ADE 考点：相似三角形的判定与性质 已知一个二次函数的顶点 A的坐标为（ 1， 0），且图像经过点 B（ 2， 3） . （ 1）求这个二次函数的式 . （ 2）设图像与 y轴的交点为 C，记 ，试用 表示 （直接写出答案：） 答案：（ 1）这个二次函数的式为： y=3（ x-1） 2 （ 2） 2 试题分析：（ 1）由一个二次函数的顶点 A的坐标为（ 1， 0），且图象经过点 B（ 2， 3），利用顶点式求解即可求得答案：；
23、（ 2）由点 B与 C关于对称轴 x=1对称，可求得 ，继而求得答案： 试题： （ 1）设这个二次函数的式为： y=a（ x-1） 2， 图象经过点 B（ 2， 3）， 3=a（ 2-1） 2， 解得： a=3， 这个二次函数的式为： y=3（ x-1） 2 （ 2）当 x=0时， y=3， C的坐标为：（ 0， 3）， 点 B与 C关于对称轴 x=1对称， =2 =2 ， = =2 考点： 1.平面向量； 2.待定系数法求二次函数式 化简并求值： ，其中 . 答案： . 试题分析：先通分、利用平方差公式等把代数式化简，然后把三角函数值计算出来代入化简得式子即可 . 试题： 原式 = = 将
24、= = 代入 原式 = 考点： 1.代数式化简求值； 2.特殊角的三角函数值 . 如图 ABC中， C=90o， A=30o， BC=5cm； DEF中， D=90o, E=45o,DE=3cm.现将 DEF的直角边 DF与 ABC的斜边 AB重合在一起，并将 DEF沿 AB方向移动（如图） .在移动过程中， D、 F两点始终在 AB边上（移动开始时点 D与点 A重合，一直移动至点 F与点 B重合为止） . （ 1）在 DEF沿 AB方向移动的过程中，有人发现： E、 B两点间的距离随 AD的变化而变化，现设 AD=x,BE=y, 请你写出 与 之间的函数关系式及其定义域 . （ 2）请你进一
25、步研究如下问题： 问题 ：当 DEF移动至什么位置，即 AD的长为多少时， E、 B的连线与 AC平行？ 问题 ：在 DEF的移动过程中，是否存在某 个位置，使得 ？如果存在，求出 AD的长度；如果不存在，请说明理由 . 问题 ：当 DEF移动至什么位置，即 AD的长为多少时，以线段 AD、 EB、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？ 答案：（ 1） (其中 0 x 7) ， ， 当 AD为斜边时 ,AD =BE +BC ， = +25解得 x=6.7 当 BE为斜边时 ,BE =AD +BC ， = +25解得 x=4.2 当 BC为斜边时 ,BC =BE +AD ， 25= + 无实数
26、解 试题分析： （ 1）根据题意，观察图形，由勾股定理即可求出； （ 2） 因为 B=90， A=30， BC=5cm，所以 AC=10cm，又因为 FDE=90， DEF=45， DE=3cm，连接 BE，设 BE AC，则可求证 FCD= A=30，故 AD的长可求； 假设 EBD=22.5，因为 EDF=45，所以 EF=BF，求得 AD= ,故不存在 设 AD=x，则 BE= ，再分情况讨论： FC 为斜边； AD 为斜边；BC为斜边综合分析即可求得 AD的长； 试题： ABC中， C=90， A=30， BC=5， AB=10 , (其中 0 x 7) （ 2） 当 BE AC时，则 EBD= A=30 ， ， 当 EBD=22.5， EFD=45， EF=BF， ， BE= ， BC=5 当 AD为斜边时 ,AD =BE +BC ， = +25解得 x=6.7 当 BE为斜边时 ,BE =AD +BC ， = +25解得 x=4.2 当 BC为斜边时 ,BC =BE +AD ， 25= + 无实数解 考点： 1.勾股定理； 2.角平分线的性质； 3.相似三角形的判定与性质
