1、2012-2013学年云南省楚雄东兴中学高二上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 给定下列命题： 全等的两个三角形面积相等； 3的倍数一定能被 6整除； 如果 ，那么 ； 若 ，则 。其中，真命题有 A B C D 答案： A 试题分析：显然，只有 是真命题。选 A。 考点：本题主要考查命题的概念及真假判断。 点评：难度不大，但综合性强，涉及知识面广。 若等差数列 的前 10项中，所有偶数项、所有奇数项之和分别为 55和45，则它的首项 _。 答案： 试题分析：由 ，两式相减得： ， 。 又因 。故 。填 1。 另解： 。填 1。 考点：本题主要考查等差数列的定义、前 项和公式（
2、或通项公式和性质）。 点评：数列中的基本问题，往往要依据题意建立关于基本量的方程（组）。灵活运用数列的性质，往往能简化解题过程。 不等式 的解集为 _。 答案： 或 试题分析：由 得 。故 且 ，解集为。填 （也可填 或 ）。（如果不写成集合或区间， 0分）。 考点：本题主要考查简单的分式不等式的解法。 点评：解简单的分式不等式，要遵循 “移项、通分、写解集 ”等方法步骤，防止两边同乘简单去分母的做法。 命题 “若 ，则 ”的逆否命题是_。 答案：若 ，则 试题分析：填 “若 ，则 ”。 考点：本题主要考查逆否命题的构成。 点评：简单题，熟记规则。 设函数 。若 ，则 的最大值为 A B 6
3、C 7 D 10 答案： D 试题分析：由 得 。它的可行域如图所示。 它的目标函数 当 时取得最大值 10。选 D。 考点：本题主要考查线性规划问题的解法。 点评：本题看似是二次函数问题，对条件进行分析后则实际为关于变量 a,b的线性规划问题。 数列 的前 项的和为 A B C D 答案： C 试题分析： 。故 。当 时， ，排除 A； ，排除 D。当 时， ，排除 B。选 C。 考点：本题主要考查 “特值法 ”（或错位相减法）。 点评：错位相减法是求 “差比积 ”数列前 n项和的基本方法，是高考考查重点之一。对选择题，则不拘泥于常规，利用 “特值法 ”反映解题的灵活性。 若 且直线 过点
4、，则 的最小值为 A B 9 C 5 D 4 答案： A 试题分析：直线 过点 ，故 ， 。又因，故 ，故。选 A。 考点：本题主要考查运用均值不等式求最值。 点评：注意从题意出发挖掘解题思路。本题条件的给出，为应用均值定理奠定了基础。应该注意，应用均值定理需满足 “一正、二定、三相等 ”。 若 ，则在下列不等式： ； ； ； 中，可以成立的不等式的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析： 。故 必然成立， 一定不会成立。若 ，则 ， 可以成立。若 ，则 ， 也可以成立。选 C。 考点：本题主要考查不等式的基本性质。 点评：不等式性质的应用比较繁杂，应注意从基本的不等式成
5、立入手，推断出相关结论。 若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 A B C D 答案： C 试题分析：当 时显然成立；当 ，需 。综上所述：。选 C。 考点：本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题。 点评：当二次项系数含参数时，要首先讨论其是否为 0.本题易错，忽视讨论。 已知递增等比数列 满足 和 ，则 A 1 B 8 C D 8或 答案： B 试题分析： 设 的首项、公比分别为 ，则 。再由 有。故 。选 B。 考点：本题主要考查等比数列的通项公式、方程思想。 点评：数列中的基本问题，往往要依据题意建立关于基本量的方程（组）。 在 中，内角 的对边分别为 。若 ，则 = A B C
6、D 答案： B 试题分析：由 和正弦定理得： 。因，故 。又 ，故 。选 B。 考点：本题主要考查正弦定理、边角互化。 点评：三角形中求角、求边问题，常常利用正弦定理及余弦定理加以转化。求角时，应特别注意角的范围。 在等比数列 中，已知 ， ，则 A 9 B 65 C 72 D 99 答案： B 试题分析：由 得 ，故 。选 B。 考点：本题主要考查等比数列的性质。 点评：数列中的基本问题，往往要依据题意建立关于基本量的方程（组）。灵活运用数列的性质，往往能简化解题过程。 在 中，内角 的对边分别为 。若 ，则 A B C D 答案： C 试题分析：由 和余弦定理得，故 。又 ，故 。选C。
7、考点：本题主要考查余弦定理。 点评：解答中整体代换思想要牢固树立。 如果等比数列 的首项、公比之和为 1且首项是公比的 2倍，那么它的前项的和为 A B C D 答案： D 试题分析：设 的首项、公比分别为 ，则。选 D。 考点：本题主要考查等比数列的通项公式及其前 项和公式。 点评：数列中的基本问题，往往要依据题意建立关于基本量的方程（组）。应用等比数列的前 n项和公式，要注意给逼的不同取值情况。 已知递增等差数列 中， 且 是 的等比中项，则它的第 4项到第 11项的和为 A 180 B 198 C 189 D 168 答案： A 试题分析：设首项、公差分别为 ，则 。因 ，解得： ，故所
8、求的和为。选 A。 考点：本题主要考查等差数列的通项公式和前 项和公式。 点评：数列中的基本问题，往往要依据题意建立关于基本量的方程（组）。灵活运用数列的性质，往往能简化解题过程。 填空题 在 中，内角 的对边分别为 。若 ， ，则 _。 答案： 试题分析：由正弦定理得： 。又 ，故 ，故 或 。填 或 。（如果只填一个答案：，给 3分）。 考点：本题主要考查正弦定理。 点评：利用正弦定理求角时，应特别注意角的范围，防止漏解。 解答题 （本题满分 12分）在斜三角形 中，内角 的对边分别为 。若 。（ 1）证明： ；（ 2）求 的最大值。 答案：（ 1）见；（ 2） 的最大值为 。 试题分析：
9、本题考查正弦定理、两角和与两角差的三角函数公式、内角和定理以及运用均值不等式求函数的最值。 （ 1）由 和正弦定理得 （ 1分）。 又因为 （ 2分）， 故 （ 3分）， 于是 （ 4分）， 故 （ 5分）。 由于 都不是直角，故 ，两边除以 得（ 6分）。 （ 2）由（ 1）： ，故 （ 7分）（ 8分）。 再由 知 （ 9分）， 故 （ 10分）。 因 （ 11分）， 故 的最大值为 （ 12分）。 考点：本题考查正弦定理、两角和与两角差的三角函数公式、内角和定理以及运用均值不等式求函数的最值。 点评：综合性较强，不但对正弦定理、两角和与差的三角函数进行了考查，而且考查了均值定理的应用。应
10、用均值定理，应遵循 “一正、二定、三相等 ”的方法要求，其中 “三相等 ”最易被忽视。 （本题满分 12分）某厂生产 两型会议桌，每套会议桌需经过加工木材和上油漆两道工序才能完成。已知做一套 型会议桌需要加工木材的时间分别为 1小时和 2小时，上油漆需要的时间分别为 3小时和 1小时。厂里规定：加工木材的时间每天不得超过 8小时，上油漆的时间每天不得超过 9小时。已知该厂生产一套 型会议桌分别可获得利润 2千元和 3千元，试问：该厂每天应分 别生产 两型会议桌多少套，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 答案：该厂每天应分别生产 两型会议桌 2 套 ,和 3 套 ,才能获得最大利润。最大利润是
11、13000元 . 试题分析：设该厂每天应分别生产 两型会议桌 套（ 1分），由题意： （ 5分）。目标函数 （ 6分）。 它的可行域如图所示（ 8分）。 故当 时， 。 即该厂每天应分别生产 两型会议桌 2套（ 9分） 和 3套（ 10分）， 才能获得最大利润。最大利润是 13000元（ 12分）。 考点：本题考查线性规划问题的应用。 点评：简单线性规划问题，是解决生产生活中 “最优化 ”问题的利器，解题步骤明确，难点在于布列不等式组。应审清题意，全面思考，不重不漏。 （本题满分 12分）已知数列 的前 项和 。（ 1）求数列 的通项公式；（ 2）设 ，且数列 的前 项和为 。若 ，求 的最小
12、值。 答案：（ 1） ;（ 2） 的最小值为 3. 试题分析：（ 1）因 ，故 （ 2分）。 当 时，由 （ 3分）， 两式相减得 （ 5分）。 故 （ 6分）。 （ 2） （ 8分）。 故 （ 9分） （ 10分）。 由 得 ， （ 11分）。 因 ，故 的最小值为 3（ 12分）。 考点：本题主要考查数列中 与 的关系、裂项相消法求和、一元一次不等式的解法。 点评：数列中 与 的关系问题，注意不要忽视 n=1是否使 “通项公式 ”成立的检验工作。易错题。 （本题满分 12分）等比数列 中，已知 。（ 1）求数列的通项公式；（ 2）已知数列 是等差数列，且 和 的第 2项、第 4项分别相等。
13、若数列 的前 项和 ，求 的值。 答案：（ 1） ;（ 2） . 试题分析：（ 1）由 （ 2分） 得 （ 3分）， 故 （ 4分）， （ 5分）， 故 （ 6分）。 （ 2）由（ 1）得 （ 7分）。 又因 ，故 （ 8分）， （ 9分）， （ 10分）。 由 得： 或 （ 11分）。 因 ，故 （ 12分）。 考点：本题主要考查等差、等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式。 点评：从已知出发，布列 “基本量 ”的方程组，是解答数列问题的基本思路。 （本题满分 10分）在 中，内角 的对边分别为 。已知， 。（ 1）求 ；（ 2）若 ，求 的面积。 答案：（ 1） ;（ 2） . 试题分
14、析： （ 1）由 得 （ 1分）； 由 得 （ 2分）。 故 （ 3分） （ 4分）， 故 （ 5分）。 （ 2）由 （ 6分） 得 （ 7分）。 故 （ 9分） （ 10分）。 考点：本题主要考查内角和定理、正弦定理、面积公式。 点评：熟练掌握公式及定理是解答此类题的关键 （本题满分 12分）在数列 中， ， （ ），数列 的前 项和为 。（ 1）证明：数列 是等比数列，并求数列的通项公式；（ 2）求 ；（ 3）证明： 。 答案：（ 1） 。（ 2）。 （ 3）见。 试题分析：（ 1）因 ，故数列 是公比为 2的等比数列（ 1分）。 又因 （ 2分），故 （ 3分）， （ 4分）。 （ 2） （ 5分）（ 6分） （ 8分）。 （ 3）由（ 2）： （ 9分）， 故 （ 10分） （ 11分），故（ 12分）。 考点：本题考查等比数列的定义、通项公式、分组求和法和用作差法证明不等式。 点评：是一道不错的综合题。等比数列与不等式综合在一起考查。
