1、2012-2013学年广东省龙川一中高二下学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 在复平面内对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 试题分析： 对应的点为 在第二象限 考点：复数运算 点评：复数运算中分子分母同乘以分母的共轭复数，复数 对应的点为已知函数 .若 ,且 ,则 的取值范围是 （ ） A B C D R 答案： A 试题分析：， 考点：函数性质即均值不等式 点评：本题首先结合对数函数图像及性质得到 的关系式，进而借助于均值不等式求得最值，需要注意的是 ，所以等号不成立 定义运算 ，函数 图像的顶点是 ，且成等差数列，则 ( )
2、 A 0 B -14 C -9 D -3 答案： C 试题分析： ，所以顶点为 所以，因为 成等差数列，所以 考点：函数性质即等差数列性质 点评：二次函数 的顶点为 ，等差数列中有在程序框图中，任意输入一次 与 ，则能输出数对的概率为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：由题意可知输出数对 时需满足 ，即点 在围成的三角形区域图形内，三角形两直角边长均为 ，所以其概率为 考点：程序框图与几何概型概率 点评：几何概型概率通常寻找的是长度比，面积比或体积比 设 ，那么 “ ”是 “ ”的 （ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案： B 试题分析
3、：当 时可得 成立，反之当 成立时 不一定成立，如 所以 “ ”是 “ ”的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件 点评：若命题若 则 是真命题，则 是 的充分条件， 是 的必要条件 设 m， n是两条不同直线， 是两个不同的平面，给出下列四个命题 若 若 若 其中正确的命题是 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： 考查线面平行的性质，当线面平行时，直线与平面内任意直线平行或异面，因此错误； 由线面垂直的性质即两面垂直的判定可知正确； 错误，直线 还可能在平面 内； 依据面面平行的判定可知是正确的 考点：空间线面平行垂直的判定 点评：正确求解本题需要对空间线面平行垂直的判定方法熟练
4、掌握，包括各种判定性质定理及二级结论 已知数列 的前 n项和 ，则 （ ） A 20 B 19 C 18 D 17 答案： C 试题分析：当 时，有 考点：数列求通项 点评：由数列前 n项和求通项 已知 ，则 的值等于 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： 考点：同角间的三角函数关系 点评：本题主要涉及到的公式 下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是： （ ） A B C D 答案： C 试题分析：函数是奇函数需满足 ，验证四个选项得 B,C满足，当时 当 时 ，所以函数 不存在零点，因此选 C 考点：函数奇偶性即函数零点 点评：函数满足在定义域内有 ，则函数是奇函数，若满足
5、则是偶函数。函数零点是使函数值等于 0的自变量的值 已知集合 ，集合 B= ，则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： ， ，考点：函数定义域及集合的交集 点评：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围或题目中给定的自变量的取值范围，两集合的交集即由两集合的相同的元素构成的集合 填空题 如图， 是 的直径， 是 的切线， 与 交于点 ，若， ，则 的长为 答案： 试题分析：由圆的切割线性质可得考点：平面几何圆的性质 点评：圆与直线相切相交时要注意切割线定理的应用，便于找到线段长度间的关系 在极坐标系中，圆 2上的点到直线 3的距离的最小值是 答案： 试题分析：圆 2化为 ，直线
6、3化为 ，圆心到直线的距离为 ，圆的半径为 2，所以距离的最小值是 1 考点：极坐标及直线与圆的位置关系 点评：极坐标与直角坐标的转化： ，当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最短距离为圆心到直线的距离减去半径 已知命题 p:任意 ，命题 q:指数函数是 R上的减函数，若命题 “p且 q”是真命题，则实数 a的取值范围是_. 答案： 试题分析：命题 p是真命题时需满足 恒成立，所以 ，命题 q恒成立时需满足 ， ，命题 “p且 q”是真命题需满足同时为真，所以 考点：复合命题与函数性质 点评：复合命题 p且 q中只有两命题同时为真时，复合后才为真； p且 q中只要有 1个为真则复合后为真 某校共
7、有学生 2000名，各年级男、女学生人数如右表所示，已知在全校学生中随机抽取 1名，抽到高二级女生的概率是 0.19，现用分层抽样的方法（按年级分层）在全校学生中抽取 100人，则应在高三级中抽取的学生人数为 . 高一级 高二级 高三级 女生 375 x y 男生 385 360 z 答案： 试题分析：高二女生共有 人，所以高三共有人数人，分层抽样得高三抽取 人 考点：分成抽样及古典概型概率 点评：分成抽样时按各层元素的个数所占的所有元素中的比例抽取 观察下列不等式： ； ； ； 则第 个不等式为 答案： 试题分析：由已知三个关系式可知第 n个不等式左侧共有 n项，分子均为 1，分母均为 求和
8、的形式，被开方数依次为 ，不等式右侧为 ，综上可知第 5个式子为 考点：归纳推理 点评：求解本题先要由已知的三个不等式找到其一般规律，依据规律写出第五个不等式 解答题 在 ABC中， a、 b、 c分别是角 A、 B、 C所对的边，满足 （ 1）求角 B的大小； （ 2）若 ，求函数 的值域。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）（ 2）值域为 考点：解三角形与三角函数化简性质 点评：解三角形时一般应用正弦定理： ，余弦定理：， ， 实现边与角的互相转化，求三角函数值域先要将其化简为 的形式，再由 x的范围求得 的范围 一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高 .现对 10名成年人的脚
9、掌长与身高 进行测量，得到数据（单位均为 ）作为一个样本如上表示 . 脚掌长 (x) 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 身高 (y) 141 146 154 160 169 176 181 188 197 203 （ 1）在上表数据中，以 “脚掌长 ”为横坐标， “身高 ”为纵坐标，做出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求 “身高 ”与 “脚掌长 ”之间的线性回归方程； （ 2）若某人的脚掌长为 ，试估计此人的身高； （ 3）在样本中，从身高 180cm以上的 4人中随机抽取 2人作进一步的分析，求所抽取的 2人中至少有 1人身高在 190cm以上的概率 (参考数据
10、：， ) 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析： (1)记样本中 10人的 “脚掌长 ”为 ， “身高 ”为， 则 ， 1分 ， 3分 4分 5分 （ 2）由（ 20）知 ，当 时， ， 6分 故估计此人的身高为 。 7分 （ 3）将身高为 181、 188、 197、 203（ cm）的 4人分别记为 A、 B、 C、 D， 8分 记 “从身高 180cm以上 4人中随机抽取 2人，所抽的 2人中至少有 1个身高在190cm以上 ”为事件 A, 则基本事件有：（ AB）、 (AC)、 (AD)、 (BC)、 (BD)、 (CD)，总数 6， 10分 A包含的基本事件有： (AC)、
11、(AD)、 (BC)、 (BD)、 (CD)，个数 5， 所以 . 12分 考点：回归方程与古典概型概率 点评：求回归方程时只需将已知数据代入公式计算即可，在求解时因为数据较多，因此计算要认真，古典概型概率的问题只要是找到所有基本事件种数及满足题意要求的基本事件种数，求其比值即可 如图所示，已知圆 的直径 长度为 4，点 为线段 上一点，且，点 为圆 上一点，且 点 在圆 所在平面上的正投影为 点 ， （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求点 到平面 的距离 答案：（ 1）连接 ，由 知，点 为 的中点， 为圆的直径， 由 知， 为等边三角形，从而 平面 ，又 平面 由 得， 平面 （ 2） 试
12、题分析：（ 1）连接 ，由 知，点 为 的中点， 又 为圆 的直径， ， 由 知， ， 为等边三角形，从而 3分 点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， 平面 ，又 平面 ， ， 5分 由 得， 平面 6分 （ 2）由（ 1）可知 ， ， 7分 10分 又 ， ， 为等腰三角形，则 12分 设点 到平面 的距离为 ，由 得， ，解得 14分 考点：线面垂直的判定及点面距 点评：证明直线垂直于平面，常用的方法是直线垂直于平面内两条相交直线，求点到平面的距离一般有两条思路：做出垂线段求其长度或利用等体积法转化为求三棱锥的高 数列 的前 项和为 ，数列 是首项为 ，公差不为零的等差数列 ,且 成等比数
13、列 （ 1）求 的值； （ 2）求数列 与 的通项公式； （ 3）求证： 答案：（ 1） （ 2） （ 3）令 ，两式式相减得 又 ，故 试题分析：（ 1） ， 当 时， ，解得 ；当 时， ，解得； 当 时， ，解得 3分 （ 2）当 时， ， -5分 得 又 ， ， 数列 是以 2为首项，公比为 2的等比数列， 所以数列 的通项公式为 7分 ，设公差为 ，则由 成等比数列， 得 ， 8分 解得 （舍去）或 ， 9分 所以数列 的通项公式为 - 10分 （ 3）令 ， ， 11分 两式式相减得 ， 13分 又 ，故 14分 考点：数列求通项求和 点评：数列求通项时用到了 此公式中注意分 两种
14、情况，第三问数列求和时用到了错位相减法，这种方法一般适用于通项公式为关于 n的一次式与指数式的乘积形式的数列，是数列求和最常用的方法之一 已知 ， ， （ 1）若 ， ，求 的外接圆的方程； （ 2）若以线段 为直径的圆 过点 （异于点 ），直线 交直线于点 ，线段 的中点为 ，试判断直线 与圆 的位置关系，并证明你的结论 答案：（ 1） （ 2）直线 与圆 相切 试题分析：（ 1）法 1：设所求圆的方程为 ， 由题意可得 ，解得 ， 的外接圆方程为 ，即 6分 法 2： ，而 ， 的外接圆是以 为圆心， 为半径的圆， 的外接圆方程为 6分 2）由题意可知以线段 为直径的圆的方程为 ，设点 的
15、坐标为， 三点共线， ， 8分 而 ， ，则 ， ， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 10分 直线 的斜率为 ， 而 ， ， ， 12分 直线 的方程为 ，化简得 ， 圆心 到直线 的距离 ， 所以直线 与圆 相切 14分 考点：圆的方程及直线与圆的位置关系 点评：求圆的方程一般采用待定系数法，设出圆的方程，将条件代入求出参数得到圆的方程；判定直线与圆的位置关系需要找到圆心到直线的距离与圆的半径比较，本题主要是先由点的坐标求得直线方程 已知函数 （ 1）当 时，求 的极小值； （ 2）若直线 对任意的 都不是曲线 的切线，求 的取值范围； （ 3）设 ，求 的最大值 的式 答案：（ 1） -
16、2（ 2） （ 3） 试题分析：（ 1） 1分 当 时， 时， ， 2分 的极小值是 3分 （ 2）法 1： ，直线 即 ， 依题意，切线斜率 ，即 无解 4分 6分 法 2： ， 4分 要使直线 对任意的 都不是曲线 的切线，当且仅当时成立， 6分 （ 3）因 故只要求在 上的最大值 . 7分 当 时， 9分 当 时， （ ）当 在 上单调递增，此时 10分 （ ）当 时， 在 单调递增； 1当 时， ； 2当 （ ）当 （ ）当 13分 综上 14分 考点：导数的几何意义及函数极值最值 点评：利用函数在某一点处的导数值等于过改点的切线斜率可确定第二问中导数值不可能为 ，求函数极值最值首先求得导数，当导数等于 0 时得到极值点，确定单调区间从而确定是极大值还是极小值，第三问求最值要分情况讨论在区间 上的单调性，对于分情况讨论题是一个难点内容
