1、2012-2013学年江苏省无锡一中高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数是 答案： 试题分析： ， ，复数 的共轭复数是 考点：本题考查了复数的概念及运算 点评：熟练掌握共轭复数的概念及运算法则是解决此类问题的关键，属基础题 我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式可得，左边 的系数为 ， 而右边 ， 的系数为 ， 由 恒成立，可得 利用上述方法，化简 答案： 试题分析：构造等式（ x-1） 2n （ x+1） 2n=（ x2-1） 2n，由左式可得 x2n的系数为C2n2n （ -1） 2nC2n0+C2n
2、2n-1 （ -1） 2n-1C2n1+C2n2n-2 （ -1） 2n-2C2n2+C 2n0 （ -1） 0C2n2n，即（ C2n0） 2-（ C2n1） 2+（ C2n2） 2-（ C2n3） 2+ （ C2n2n） 2，由右式可得得 x2n的系数为（ -1） nC2nn，故有（ C2n0） 2-（ C2n1） 2+（ C2n2） 2-（ C2n3） 2+ （ C2n2n） 2=（ -1）nC2nn， 考点：本题考查了组合数的运用 点评：对于此类组合数的应用问题，常常涉及二项式定理的应用，关键要根据题意，充分利用组合数的性质 数列 满足 ，其中 ，设，则 等于 答案： 试题分析： ，
3、，底数部分从 到一共 个数，奇偶数各有 个，奇数部分等于，对于偶数部分， ，其和为 3（ ，故 =3（ = = 考点：本题考查了数列的求和 点评：弄清数列的周期及常见数列的求和是解决此类问题的关键 若 ，则 的值为 . 答案： 试题分析：令 x=1得 ，令 x=-1得， =考点：本题考查了赋值法的运用 点评：赋值法是解决二项式中二项式系数和（局部和）的常用方法 从红桃 2、 3、 4、 5和梅花 2、 3、 4、 5这 8张扑克牌中取出 4张排成一排，如果取出的 4张扑克牌所标的数字之和等于 14，则不同的排法共有 种（用数字作答） 答案： 试题分析：抽出的扑克牌中有两张 2两张 5时，有 ，
4、抽出的扑克牌中有两张 3两张 4时，有 ，抽出的扑克牌中有 2、 3、 4、 5各一张时，有，故不同的排法有 24+24+384=432种 考点：本题考查了排列组合的综合运用 点评：熟练运用分类、分步原理及排列组合的运用是解决此类问题的关键 已知扇形 ，点 为弧 上异于 的任意一点，当 为弧 的中点时， 的值最大现有半径为 的半圆 ，在圆弧 上依次取点（异于 ），则 的最大值为 答案： 试题分析： 在扇形 中，当 为弧 的中点时， 的值最大，此时射线 OP均分 AOB,类比到半圆 O中，点 均分圆弧 MN， 的最大值为 考点：本题考查了类比推理的运用 点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性
5、，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去一般步骤： 找出两类事物之间的相似性或者一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想） 已知复数 满足 ，则 （ 为虚数单位）的最大值是 答案： 试题分析：设 z=x+yi， ， ，令 ，考点：本题考查了复数的几何意义 点评：熟练掌握复数的几何意义及三角换元思想是解决此类问题的关键，属基础题 已知一个关于正整数 的命题 满足 “若 时命题 成立，则 时命题 也成 立 ”有下列判断： （ 1）当 时命题 不成立，则 时命题 不成立； （ 2）当 时命题 不成立，则 时命题 不成立； （ 3）当 时命题 成立，则
6、 时命题 成立； （ 4）当 时命题 成立，则 时命题 成立 其中正确判断的序号是 （写出所有正确判断的序号） 答案：（ 2）（ 3） 试题分析：关于正整数 的命题 满足 “若 时命题 成立，则时命题 也成立 ”， 当 时命题 成立，则 时命题 成立，当 时命题 不成立，则 时命题 不一定成立， n=2012时命题 不成立， n=2011时命题 不成立， n=1 时命题不成立，故正确的命题有（ 2），（ 3） 考点：本题考查了推理的运用 点评：正确理解推理的概念是解决此类问题的关键，属基础题 的展开式中有理项共有 项 答案： 试题分析： 展开式的通项为 ，其中r=0,1,2,3,4,5,6,7
7、,8,9,10,11,12,有理项中 x的次幂为整数，故 r=0,6,12，故的展开式中有理项共有 3项 考点：本题考查了二项式展开式的运用 点评：掌握二项式定理能正确运用二项展开式；能正确写出通项公式，并用通项公式解决有关问题 已知复数乘法 （ ， 为虚数单位）的几何意义是将复数 在复平面内对应的点 绕原点逆时针方向旋转 角，则将点绕原点逆时针方向旋转 得到的点的坐标为 答案： 试题分析：设点 P（ 6,4），设 OP与 x轴的夹角为 ，则， ，逆时针旋转 得到的点为Q（ m,n），则 m= ， 点 Q的坐标为 考点：本题考查了三角函数的变换 点评：点的旋转问题；根据要求得到旋转后的图形是解
8、决本题的关键 设 为奇数，则 除以 9的余数为 答案： 试题分析： ， 除以 9的余数为 7 考点：本题考查了二项式定理的运用 点评：对于余数问题一般是把式子拆开，然后利用二项式定理展开求余数，属基础题 由 1、 2、 3、 4、 5组成个位数字不是 3的没有重复数字的五位奇数共有 个（用数字作答） 答案： 试题分析：由题意先排个位，从 1,5两个数中随便取一个有 ，然后再用剩余的四个数字排前面四个位置有 ， 由分步原理可知由 1、 2、 3、 4、 5组成个位数字不是 3的没有重复数字的五位奇数共有 个 考点：本题考查了排列组合的综合运用 点评：熟练掌握排列组合的综合运用是解决此类问题的关键
9、，属基础题 若 ，则 答案： 试题分析： ， ， x=3或 6 考点：本题考查了组合数的运用 点评：熟练掌握组合数的概念及组合数的性质是解决此类问题的关键，属基础题 从 5名男生和 4名女生中选出 3名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有 种 （用数字作答） 答案： 试题分析：从这 9人中任选 3名代表有 ，其中代表中全是男生的情况有， 代表中必须有女生的不同选法有 84-10=74种 考点：本题考查了组合的运用 点评：此类问题常常有两类方法，一种是直接法，另一种是间接法，要体会间接法的妙用 解答题 已知 ，考查 ； ； 归纳出对 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明 答案：结论 ：
10、，用数学归纳法证明 试题分析：结论 ： 3分 证明： 当 时，显然成立； 5分 假设当 时，不等式成立， 即 ， 7分 则 时， 14分 由 ，不等式对任意正整数 成立 . 15分 考点：本题考查了数学归纳法的运用 点评：应用数学归纳法时特别注意： (1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立 ,注意 不一定为 1; (2)在第二步中 ,关键是要正确合理地运用归纳假设 ,尤其要弄清由 k到 k+1时命题的变化 已知甲盒内有大小相同的 1个红球和 3个黑球，乙盒内有大小相同的 2个红球和 4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取 2个球 （ 1）求取出的 4个球均为黑球的概率； （ 2）求取出的 4个球
11、中恰有 1个红球的概率； （ 3）设 为取出的 4个球中红球的个数，求 的分布列 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） 的分布列为 1 2 3 4 试题分析：（ 1）设 “取出的 4个球均为黑球 ”为事件 ， ； （ 2）设 “取出的 4个球恰有 1个红球 ”为事件 ， ； （ 3） 所有可能的值为 0， 1， 2， 3， 4， ， 8分 ， 10分 ， 12分 14分 所以 的分布列为 1 2 3 4 15分 考点：本题考查了概率与统计 点评：在求概率时，应注意立事件概率公式的应用，还有区分是属于什么事件求分布列时要掌握分布列的概念及性质 已知 （ 是正实数）的展开式的二项式系数之和为 2
12、56，展开式中含 项的系数为 112 （ 1）求 的值； （ 2）求展开式中奇数项的二项式系数之和； （ 3）求 的展开式中含 项的系数 （用数字作答） 答案：（ 1） ； （舍负） . （ 2） 128，（ 3） 1008 试题分析：（ 1） ， 2分 解得 ； 3分 含 项的系数为 ， 5分 解得 （舍负） . 6分 （ 2） ； 9分 （ 3） ， 11分 所以含 的系数为 . 15分 考点：本题考查了二项式展开式的运用 点评：此类问题主要考查下列四点： (1)考查二项式定理的展开式中的项及通项公式；（ 2）二项展开式系数的性质；（ 3）二项式定理的应用（如整除问题、近似值问题）；（ 4
13、）二项式和其他知识的交汇 . 4个男同学， 3个女同学站成一排 （ 1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？ （ 2） 3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ （ 3）任何两个女同学彼 此不相邻，有多少种不同的排法？ （ 4）其中甲、乙两名同学之间必须有 3人，有多少种不同的排法？ （用数字作答） 答案：（ 1） 720，（ 2） 720，（ 3） 1440，（ 4） 720 试题分析：（ 1） ； 3分 （ 2）（捆绑法） 7分 （ 3）（插空法） ； 11分 （ 4） . 15分 考点：本题考查了排列的实际运用 点评：关于排列组合应用题，从排列的角度来讲，它主要有三种题型： “
14、在 ”与“不在 ”， “邻 ”与 “不邻 ”，定序排列。 “在 ”与 “不在 ”中，要先考虑条件元素，即先考虑固定元素或特殊元素，若从位置角度分析，先考虑固定位置或特殊位置。“邻 ”是集组排列，即采用捆绑法， “不邻 ”是插空排列，而定序排列有固定公式：一般地，若 n个元素排队，其中有 m个元素顺序一定，这 m个元素不一定相邻，则不同排法 。组合中常见题型有 “至少 ”、 “至多 ”问题， “含与不含 ”问题。在 “至少 ”、 “至多 ”问题中，可直接法来解，须分类，应做到不重不漏；也可间接法来 解，即整体排除法，利用这种方法时，应把握好 “至多 ”或 “至少 ”的对立面。 “含与不含 ”是选
15、的范畴问题，同时也可利用它来理解组合数的性质。含或不含某元素，在选时不必再考虑，如在 n个不同元素中选 m个元素（ nm），若甲必选的选法有 ，若甲不选，则选法有 设实部为正数的复数 ，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上 （ 1）求复数 ； （ 2）若 为纯虚数， 求实数 的值 答案：（ 1） .（ 2） . 试题分析：（ 1）设 ， ， 1分 由题意： . 3分 ， 得 5分 联立，解得 7分 得 . 8分 （ 2） 11分 所以 且 ， 13分 解得 . 15分 考点：本题考查了复数概念及运算 点评：此类问题经常考查复数的基本概念、复数相等的条件、复数的表示法、几
16、何意义及复数的四则运算等 试用两种方法证明： （ 1） ； （ 2） 答案：方法一：用组合数的公式证明，方法二：用数学归纳法证明 试题分析：（ 1）证明：方法 1 由 令 ，得 . 3分 方法 2 数学归纳法 当 时，显然成立； 假设当 时， ， 则当 时，由 所以， 由 ，等式对于任意 恒成立 . 7分 方法 3 含 个元素的集合的子集个数按两种方式计算可证 （方法 1给 4分，其他方法 6分） （ 2）方法 1 先证 . ，（注意 ） ， 所以 。 9分 所以 11分 方法 2 由 ， 两边求导，得 ， 14分 令 ，得 . 15分 考点：本题考查了组合数的性质及数学归纳法等的运用 点评：数学归纳法是一种证明与正整数 n有关的数学命题的重要方法，另外关于组合数的等式常常利用组合数的性质证明
