1、2012-2013学年福建省安溪一中高一上学期期中考试数学试题（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ，集合 ，则等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据题意可知，全集中共有 7个连续的自然数元素，而要求解交集和补集，则根据补集的概念求解 ，再根据交集的含义可知，故答案：为 A. 考点：本题主要考查集合的交集和补集的运算问题 ,属于基础题型。 点评：解决对于给定的有限集合补集的运算，准确理解全集，结合概念求解补集，同时对于交集和补集的复合运算，一般可以分为两步来完成。 函数 其中 P， M为实数集 R的两个非空子集，又规定f(P)=y|y=f(x),x P， f(M)=y|y=f(
2、x),x M.给出下列四个判断： 若 PM= ，则 f(P)f(M)= ； 若 PM ，则 f(P)f(M) ； 若 P M=R，则 f(P) f(M)=R； 若 P MR，则 f(P) f(M)R. 其中正确判断有 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 4个 答案： A 试题分析：函数的表达式知，可借助两个函数 y=x与 y=-x图象来研究，分析可得答案： 由题意知函数 f（ P）、 f（ M）的图 象如图所示 设 故 错误 同理可知当 , 不正确 设 ，故 错误 若 则 这是不对的 若 P=非负实数 ， M=正实数 则 f（ P） =非负实数 ， f（ M） =负实数 则 f（ P）
3、f（ M） =R故 错 ,故选 A 考点：本试题主要是考查了同学们对于与集合，函数相关的创新试题的分析，和解决问题能力的运用，是中档题。 点评：考查对题设条件的理解与转化能力，本题中题设条件颇多，审题费时，需仔细审题才能把握其脉络，故研究时借用两个函数的图象，借助图形的直观来来帮助判断命题的正误，以形助数，是解决数学问题常用的一种思路。 如图，直角梯形 OABC 中 AB/OC， AB=1， OC=BC=2，直线 截该梯形所得位于 左边图形面积为 ，则函数 的图像大致为（ ） 答案： C 试题分析：本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题在解答的过程当中，首先应该直线 l的运动位置分析面积
4、的表达形式，当 ，则阴影部分是三角形面积，直线 OA的方程： y=2x,则根据三角形的面积公式得到， 当 ，则阴影部分的面积为梯形面积减去了矩形的面积即可，则可知，进而得到分段函数： 结合不同段上函数的性质，可知第一段是二次曲线，第二段是直线，排除法可知选项 C符合故选 C 考点：本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题。通过求解函数的式来表示图形的面积，进而分析面积的变化情况。是中档题。 点评：在解答的过程当中充分体现了分段函数的知识、分类讨论的思想以及函数图象的知识值得同学们体会和反思。 函数 零点的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案 ： C 试题分析：先求出函数的定义
5、域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数 y1=|x+1|， y2= 的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数那么结合图像法 可知，由于它们公共点为（ 0， 1），在 y轴左侧必然有一个交点，在 y轴上一个交点，而在 y轴右侧，指数函数图像始终在直线的上方，因此可知必然有两个交点，从而说明函数的零点个数为 2，选 C. 考点：本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数，属于基础题。 点评：解决该试题的关键是对于当 x=0时，它们有个公共点 (0,1)，这是问题的细节，也是一个易错点地方。注意特殊点的表示和应用。 如图给出了函数 , 的
6、图象，则与函数 , 依次对应的图象是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：从二次函数的抛物线形状，确定了开口向下，因此可知 a-10，故 0|-2|1,因此可知 ，故选 D. 考点：本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观， 属于基础题型。 点评：解决该试题的关键是理解二次函数是一个偶函数，充分说明其对称轴为x=0，得到 b的值。然后结合单调性来分析大小关系。 函数 的单调递减区间是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为由已知可知函数 的定义域为,而外层函数 是定义域内的减函数，要求解函数的单调减区间，只要求解内层的增区间即可
7、，而对于内层的 ,在 上递增，故利用复合函数的同增异减，得到答案：为 B. 考点：本试题主要是考查了函数单调性的判定，以及复合函数的同增异减的判定法则的应用。 点评：解决该试题的易错点就是对于定义域的忽略求解，以及复合函数的判定法则的熟练程度，是考查了分析和解决问题的能力。 已知函数 ，则函数（ ） A是奇函数，在 上是减函数 B是偶函数，在 上是减函数 C是奇函数，在 上是增函数 D是偶函数，在 上是增函数 答案： C 试题分析：由于已知中函数 ，那么可知函数定义域 , 关于原点对称，同时满足 ，因此是奇函数，排除 B,D。然后利用函数 在定义域内是递增函数，则根据单调性的性质可知，增函数加
8、上增函数为增函数，故选 C. 考点：本试题主要是考查了函数的基本性质的判定和简单的应用。属于基础题型。 点评：解决该试题可以采用排除法，先确定奇偶性，排除两个答案：，然后对于单调性质，利用单调性的性质可以判定得到。增函数 +增函数 =增函数，减函数 +减函数 =减函数。 函数 的零点所在的大致区间是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为求解函数 的零点所在的区间，只要保证端点值的函数值异号即可，那么由于 f(2)=ln2-10,可知 f(1)0,故选 B. 考点：本试题主要是考查了函数的零点的概念，以及基本初等函数的零点所在的区间问题，可以根据判定定理，也可以结合图象与图像来进行，
9、考查了分析问题和解决问题的能力。 点评：确定零点所在的区间，利用零点存在性定理可以逐一分析证明，也可以利用图像与图像的交点问题来分析。同时能注意到函数的单调性，将给判定符号带来方便之处。 下列四组函数中表示同一函数的是（ ） A ， B C ， D ， 答案： C 试题分析：因为选项 A中， ，的定义域为 R， 的定义域为，因此定义域不同，不是同一函数。 选项 B中，由于 这两个函数定义域都是 R，但是对应法则不同，因此可知不是同一函数。 选项 C中，由于 ，的定义域 R， 的定义域为 R，对应关系相同，因此符合条件。 选项 D中，由于 ，表示的为 y轴，而 的定义域为 ，故 g(x） =0,
10、（ x=1）只有一个点，故不是同一函数。选 C. 考点：本试题主要是考查了函数的概念，以及同一函数的定义的理解和运用。属于基础题型。 点评：解决该试题的关键是能 理解同一函数的概念要保证两点：定义域相同，对应法则相同即可。体现了函数概念的重要性。 填空题 设函数 的定义域为 ，若存在非零实数 ，使得对于任意，有 ，则称 为 上的 高调函数，若定义域是 的函数 为 上的 高调函数，则实数m的取值范围是 答案： 试题分析：因为定义域是 0， +）的函数 f（ x） =（ x-1） 2为 0， +）上的 m高调函数， 由 ，得当 x=0得到 f（ m） f（ 0）即（ m-1） 21， 解得 m2或
11、 m0（又因为函数的定义域为 0， +）所以舍去）， 所以 m 2， +），故答案：为 2， +） 考点：本试题主要考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及用特值法解题的能力，解一元二次不等式的能力，考查了分析问题和解决问题的能力。 点评：解决该试题的关键是理解何为高调函数，并能理解 m高调函数的意思就是使得 f（ m） f（ 0），进而通过特殊点的分析解得。 已知幂函数 在 增函数，则 的取值范围 . 答案： (0,10) 试题分析：根据已知表达式可知，幂函数 在 增函数，首先分析对数式 y=lga中真数大于零，即 a0，同时要满足在 增函数，说明了幂指数为正数，即 1-lga0，得到 l
12、ga0，可知实数 a的取值范围是 (0,10)。 考点：本试题主要是考查了幂函数的单调性与幂指数的正负之间的关系的应用，属于基础题。 点评：解决该试题关键是理解幂函数在 y轴右侧的单调性是增，说明了幂指数为正，如果在 y轴右侧为减，说明幂指数为负数。同时对数真数大于零是易忽略点。 函数 在 的值域 答案： -2,0 试题分析：因为对于对数函数 ，是定义域内的减函数，同时定义域，那么可知当 x=2时取得最大，当 x=8时，取得最小，且根据指数和对数函数的符合性质得到 ，因此可知函数 ,故答案：为 -2,0。 考点：本试题主要是考查了对数函数的单调性和值域的求解应用，属于基础题型。 点评：解决该试
13、题的关键是能根据底数小于 1大于零，判定函数的单调性，然后利用对数函数的性质得到函数的值域，进而得到函数的值域。 函数 ，则 的值为 答案： 试题分析：因为根据题意，函数 ，那么可知 f(-3)=-2 (-3)-3=3,因此可知 ，故答案：为 。 考点：本试题主要是考查了分段函数的求值的运用。注意变量的范围，确定出从内向外的函数值得到结论，属于基础题。 点评：对于抽象复合函数的值的求解，要从内向外求解函数值，这是一般规律，同时要熟练的根据指数性质得到函数的值。 解答题 已知全集 ，集合 ， ， （ 1）求 . （ 2）若集合 是集合 A的子集，求实数 k的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2）
14、 或 . 试题分析： 3分 ， 6分 （ 2）由题意： 或 ， 10分 解得： 或 . 12分 考点：本试题主要是考查了集合的关系的应用，以及集合的交集运算，和子集的概念的应用问题，属于中档试题。 点评：解决该试题的易错点是对于含有参数的集合边界点的取舍问题的理解和运用。能合理的运用数形结合的思想来得到参数的取值范围，是运用数轴法的一个解题思路。 计算 （ 1） （ 2） 答案： (1) (2) 16 试题分析： (1)解：原式 每个得分点各 1分，共 4分 5分 6分 (2) 16 6分 考点：本试题主要是考查了对数式和指数式的运算法则的运用，属于基础题。考查同学们的计算能力和分析问题解决问
15、题的能力。 点评：对数对数式的化简和求值问题，一般统一底数，以及能利用指数式的运算性质，化为以 2， 3， 5为底 的指数式，进行分数指数幂的运算同时求解。 已知函数 （ 1）求函数 的定义域； （ 2）求函数 的零点； （ 3）若函数 的最小值为 ，求 的值 答案： (1) (2)零点是 (3) 试题分析：解：（ 1）要使函数有意义：则有 ， 解之得： ， 所以函数的定义域为： 3分 （ 2）函数可化为 由 ，得 ， 即 ， 5分 ， 的零点是 7分 （ 3）函数可化为： 9分 ， ，即 11分 由 ，得 ， 12分 考点：本试题主要是考查了对数函数的定义域的求解，以及函数零点的概念，以及函
16、数最值问题的应用是中档试题。 点评：解决函数的性质问题，首要的是求解函数的定义域，然后分析表达式，变形化简，进而求解函数的零点，通过解方程得到。结合单调性得到最值，这是最值的一般思路。 在经济学中，函数 的边际函数 定义为某公司每月最多生产 100台报警系统装置，生产 台（ ）的收入函数为 （单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差 (1)求利润函数 及边际利润函数 的式，并指出它们的定义域； (2)利润函数 与边际利润函数 是否具有相同的最大值？说明理由； 答案： (1) = , , (2) 利润函数 与边际利润函数 不具有相同的最大值 试题分析解（ 1）由题意知： ， 2
17、分 其定义域为 ，且 ； 3分 = ， 5分 其定义域为 ，且 6分 （ 2） 当 或 时， 的最大值为 元 9分 是减函数， 当 时， 的最大值为 元 11分 利润函数 与边际利润函数 不具有相同的最大值 12分 考点：本题主考查函数模型的建立和应用，涉及了函数的最值，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言 -数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果。 点评：解决该试题的关键是理解题意，将变量的实际意义符号化然后结合二次函数的函数模型来求解最值。 对于函数 ，若存在 x0 R，使方程 成立，则称 x0为 的不动点，已知函数 （ a0） （ 1）当 时，求函数 的不动点；
18、（ 2）若对任意实数 b，函数 恒有两个相异的不动点，求 a的取值范围； 答案： (1) 1为 的不动点 (2) 试题分析：解：（ 1）由题得： ，因为 为不动点， 因此有 ，即 2分 所以 或 ，即 3和 -1为 的不动点。 5分 （ 2）因为 恒有两个不动点， ， 即 （ ）恒有两个不等实数根， 8分 由题设 恒成立， 10分 即对于任意 b R，有 恒成立， 所以有 ， 12分 13分 考点：本题考查的重点是函数与方程的综合运用，主要是考查了函数的零点的变形运用问题，属于基础题。考查同学们的等价转换能力和分析问题解决问题的能力。 点评：解题的关键是对新定义的理解，建立方程，将不动点的问题
19、，转化为结合一元二次方程中必然 有两个不等的实数根来求解参数的取值范围。 设 是定义在 R上的奇函数，且对任意 ，当 时，都有 . （ 1）求证 : 在 R上为增函数 . （ 2）若 对任意 恒成立，求实数 k的取值范围 . 答案： (1) 函数，可知 f(-x)=-f(x),则不等式 ，再结合 a,b的任意性，和函数单调性定义可得证。 (2) . 13分 试题分析：（ 1）略 4分 （ 2）由（ 1）知 为 R上的单调递增函数， 对任意 恒成立， ， 即 ， 7分 ， 对任意 恒成立， 9分 即 k小于函数 的最小值 . 11分 令 ，则 . 13分 考点：本试题主要是考查了抽象函数的奇偶性和单调性的综合运用，属于中档题。同时结合不等式的知识考查了分析问题和解决问题的能力。 点评：解决该试题的关键是对于已知中函数为奇函数，能将已知的分式不等式翻译为变量差与对应的函数值差，回归到函数的单调性定义上判定和证明，同时利用第一问的结论，去掉抽象函数的符号，转换为求解指数不等式的问题来得到。
