1、2012-2013学年福建省福州文博中学高一上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 若一个球的表面积为 4 ，则这个球的体积是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 的 考点：球的表面积体积公式 点评：表面积 ，体积 已知两圆相交于 A（ -1， 3）、 B（ -6， m）两点，且这两圆的圆心均在直线上，则点（ m， c）不满足下列哪个方程（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由圆与圆的位置关系可知：两圆的连心线是线段 AB的中垂线不满足 考点：两圆的位置关系 点评：两圆相交时，两圆心的连心线是公共弦的中垂线 如图，三棱柱 A1B1C1ABC 中，侧棱 AA1 底面
2、A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形， E是 BC 中点，则下列叙述正确的是 ( ) A AE、 B1C1为异面直线，且 AE B1C1 B AC 平面 A1B1BA C CC1与 B1E是异面直线 D A1C1 平面 AB1E 答案： A 试题分析：底面是正三角形， E为中点 ， ,A项正确 考点：空间线面的位置关系 点评：题目较简单学生易得分 已知 Rt ABC的两条直角边长分别为 a、 b，斜边长为 c，则直线ax+by+c=0与圆 x2+y2=1的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D相切或相交 答案： B 试题分析：由题意得 ，圆心 到直线 的距离，所以直线与圆相切
3、考点：直线与圆的位置关系 点评：判定直线与圆的位置关系需比较圆心到直线的距离与半径的大小 圆 x2+y2-4x+4y+6=0截直线 x-y-5=0所得的弦长等于（ ） A B C 1 D 5 答案： A 试题分析：圆心 半径 ，设弦长为 x，则考点：直线与圆的位置关系 点评：直线与圆相交，弦长一半，圆心到直线距离，圆的半径构成的直角三角形是常考知识点 利用斜二侧画法，作出直线 AB的直观图如图所示，若 OA=OB=1，则直线 AB在直角坐标系中的方程为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：在直角坐标系下 ，所以直线方程为 考点：斜二测画法 点评：在应用斜二测画法时 x轴与平行于 x轴的
4、线段长度不变， y轴与平行于 y轴的线段长度减半 下列命题中，错误的命题是（ ） A平行于同一直线的两个平面平行。 B一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交。 C平行于同一平面的两个平面平行。 D一条直线与两个平行平面所成的角相等。 答案： A 试题分析： A项中平行于同一直线的两个平面可能平行还可能相交 考点：空间线面的位置关系 点评：基本知识点的考查，要求学生熟记掌握 两条平行线 l1： 3x-4y-1=0与 l2： 6x-8y-7=0间的距离为（ ） A B C D 1 答案： A 试题分析：直线 变形为 考点：平行线间的距离公式 点评： , 间的距离 如图，
5、长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB= ， BC=CC1=1，则异面直线 AC1与 BB1所成的角的大小为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 答案： C 试题分析：连接 ，则异面直线 AC1与 BB1所成的角即 , , 考点：异面直线所成角 点评：将异面直线平移为相交直线，找到所求角求解 直线 l1： x+4y-2=0与直线 l2： 2x-y+5=0的交点坐标为（ ） A（ -6， 2） B（ -2， 1） C（ 2， 0） D（ 2， 9） 答案： B 试题分析：由 得 所以交点为 考点：两直线交点 点评：交点坐标即方程组的解 图甲所表示的简单组合体可由下面某个图形绕对称
6、轴旋转而成，这个图形是（ ） 答案： C 试题分析：圆锥由直角三角形绕一条直角边旋转而成，圆柱由矩形绕一条边旋转而成，因此 C项正确 考点：旋转体的形成 点评：基本知识点的考查容易题 已知一直线斜率为 3，且过 A（ 3， 4）， B（ x， 7）两点，则 x的值为（ ） A 4 B 12 C -6 D 3 答案： A 试题分析：由题意可得 考点：两点坐标求斜率 点评： 则 填空题 将一幅斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD=BD= ， BAC=30，若它们的斜边 AB重合，让三角板 ABD以 AB为轴转动，则下列说法正确的是 . 当平面 ABD 平面 ABC 时， C、
7、D两点间的距离为 ； 在三角板 ABD转动过程中，总有 AB CD； 在三角板 ABD转动过程中，三棱锥 D-ABC体积的最大值为 . 答案： 试题分析： 正确：取 AB中点 E，连接 DE,CE ,当平面 ABD平面 ABC时 ； 错误：在三角板 ABD转动过程中，不会有 AB CD； 正确：体积最大时平面 ABD 平面 ABC，三棱锥的高为 1，体积为 考点：空间线面位 置关系 点评：把握好翻折过程中不变的边角 如图， AB是 O 的直径， C是圆周上不同于 A、 B的点， PA垂直于 O 所在的平面， AE PB于 E， AF PC于 F，因此， 平面 PBC.（填图中的一条直线） 答案
8、： 试题分析： PA垂直于 O 所在的平面 平面 平面 考点：空间线面垂直的判定和性质 点评：若直线垂直于平面内的两条相交直线则直线垂直于平面，反之若直线垂直于平面则直线垂直于平面内的任意直线 若点 A（ 4， -1）在直线 l1： 上，则直线 l1与直线 l2：的位置关系是 .（填 “平行 ”或 “垂直 ”） 答案：垂直 试题分析：点 A代入直线得考点：两直线的位置关系 点评：两线平行斜率相等，两线垂直斜率相乘等于 -1 坐标原点到直线 的距离为 答案： 试题分析：由点到直线的距离公式得 考点：点到直线的距离 点评：点 ，直线 ，则点线距离 解答题 （本小题满分 12分） 已知直线 l1经过
9、 A（ 1， 1）和 B（ 3， 2），直线 l2方程为 2x-4y-3=0. （ 1）求直线 l1的方程； （ 2）判断直线 l1与 l2的位置关系，并说明理由。 答案：（ 1） （ 2） 理由：斜率相等，截距不等 试题分析：（ ）法一：依题意，直线 的斜率 2 分 直线 的方程为 4 分 即 6 分 法二： 直线 经过点 和 由两点式方程可知直线 的方程为 4 分 即 .6 分 法三：设直线 方程为 1 分 将点 和 代入上式得 2 分 4 分 解得： 5 分 直线 的方程为 ，即 6 分 （ ）直线 ，下证之 7 分 直线 的方程可化为： 8 分 直线 的斜率 ，在 轴上的截距 9 分
10、直线 的方程可化为： 10 分 直线 的斜率 ，在 轴上的截距 11 分 ，故 12 分 考点：直线方程与平面两直线位置关系 点评：两直线平行要满足：斜率相等，截距不等两个条件 （本小题满分 12分） 下列三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图。右边两个是正视图和侧视图 . （ 1）请在正视图的下方，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（不要求叙述作图过程）； （ 2）求该多面体的体积（尺寸如图） . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ ）作出俯视图如下左图所示 4 分 俯视图 （若只画对外框，没有画对角线或对角线画错的 ,给 2分） （ ）依题意，该多面体是由一个正方
11、体（ ）截去一个三棱锥（ ）而得到 6 分 截去的三棱锥体积 9分 正方体体积 10 分 所求多面体的体积 12 分 考点：三视图与多面体体积 点评：多面体转化为棱柱或棱锥再求其体积 （本小题满分 12分） 正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E、 G分别是 BC、 C1D1的中点，如图所示 . （ 1）求证： BD A1C； （ 2）求证： EG 平面 BB1D1D. 答案：（ 1）证明： 平面 （ 2）证明：取 BD中点 F，连接 平面 试题分析：（ 1）连接 AC 平面 平面 , （ 2）取 BD的中点 F,连接 EF,D1F. E为 BC 的中点 , EF 为 BCD的中位线 ,
12、则 EF DC,且 EF= CD. G为 C1D1的中点 , D1G CD且 D1G= CD, EF D1G且 EF=D1G, 四边形 EFD1G为平行四边形 , D1F EG,而 D1F 平面 BDD1B1, EG 平面 BDD1B1, EG 平面 BB1D1D. 考点：线面平行垂直的判定 点评：本题还可用空间向量来证明 （本小题满分 12分） 已知圆 C的方程为 x2+y2=4. （ 1）求过点 P(1， 2)且与圆 C相切的直线 l的方程； （ 2）直线 l过点 P(1， 2)，且与圆 C交于 A、 B两点，若 |AB|=2 ，求直线 l的方程 . 答案：（ 1） y=2或 4x+3y-
13、10=0（ 2） 3x-4y+5=0或 x=1 试题分析： (1)显然直线 l的斜率存在 ,设切线方程为 y-2=k(x-1),则由 =2得k1=0,k2=- ,故所求的切线方程为 y=2或 4x+3y-10=0. (2)当 直线 l垂直于 x轴时 ,此时直线方程为 x=1,l与圆的两个交点的坐标为 (1, )和 (1,- ),这两点的距离为 2 ,满足题意 ; 当直线 l不垂直于 x轴时 ,设其方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为 d,则 2 =2 , d=1, 1= , k= ,此时直线方程为 3x-4y+5=0. 综上所述 ,所求直线方程为 3x
14、-4y+5=0或 x=1. 考点：直线与圆相切相交 点评：求圆的切线割线要注意考虑直线斜率不存在的情况 （本小题满分 12分） 已知直线 l： y=x，圆 C1的圆心为（ 3， 0），且经过（ 4， 1）点 . （ 1）求圆 C1的方程； （ 2）若圆 C2与圆 C1关于直线 l对称，点 A、 B分别为圆 C1、 C2上任意一点，求 |AB|的最小值； （ 3）已知直线 l上一点 M在第一象限，两质点 P、 Q 同时从原点出发，点 P以每秒 1个单位的速度沿 x轴正方向运动，点 Q 以每秒 个单位沿射线 OM方向运动，设运动时间为 t秒 .问：当 t为何值时直线 PQ与圆 C1相切？ 答案：（
15、 1） （ 2） （ 3） 试题分析：（ ）依题意，设圆 的方程为 1 分 圆 经过点 2 分 圆 的方程为 3 分 （ ）方法一：由（ ）可知，圆 的圆心 的坐标为 ，半径为 到直线 的距离 5 分 圆 到直线的最短距离为 6 分 圆 与圆 关于直线 对称 7 分 方法二： 圆 与圆 关于直线 对称 . 圆 圆心为 （ 0， 3），半径为 5 分 | |= = -2 = 7 分 （ ）当运动时间为 秒时， ， 则 8 分 由 可设点 坐标为 （ ）， 则 解得 ，即 直线 方程为 ，即 10 分 若直线 与圆 相切，则 到直线 的距离 11 分 解得 答：当 时，直线 与圆 相切 12 分
16、考点：利用点的对称求最值与圆的方程直线与圆的位置关系 点评：求与圆上的动点有关的距离最值问题通常先求出到圆心的距离 （本小题满分 14分） 如图，四棱锥 S-ABCD中， SA 平面 ABCD，底面 ABCD为直角梯形，AD BC， BAD=90 ，且 BC=2AD=2， AB=4， SA=3. （ 1）求证：平面 SBC 平面 SAB； （ 2）若 E、 F分别为线段 BC、 SB上的一点（端点除外），满足 .（ ） 求证：对于任意的 ，恒有 SC 平面 AEF； 是否存在 ，使得 AEF 为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的 值；若不存在，说明理由 . 答案：（ 1） 平面 平面 平面
17、 平面 （ 2） SC 平面 AEF 试题分析：（ ） 平面 ， 1 分 底面 为直角梯形， ， ， 2 分 平面 3 分 平面 平面 平面 4 分 （ ）（ ） ， 5 分 平面 ， 平面 ， 6 分 对于任意的 ，恒有 SC 平面 AEF7 分 （ ）存在 ，使得 为直角三角形 . 8 分 若 ，即 由（ ）知， 平面 ， 平面 ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， . 10 分 若 ，即 由 知， ， 平面 ， 平面 ， 又因 平面 ，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直相矛盾， . 12 分 若 ，即 由（ ）知， ， 又 平面 ， 平面 ， ， 平面 这与 相矛盾，故 综上，当且仅当 ，使得 为直角三角形 . 14 分 考点：线面垂直平行的判定 点评：第二小题 采用空间向量求解比较简单
