1、2012-2013学年辽宁省实验中学分校高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 函数 的导数是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为， ，所以， ，选 A。 考点：导数计算。 点评：简单题，应用 ，熟记导数公式。 已知函数 是定义在 R上的奇函数，且当 时 ,不等式成立，若 ， ，则 的大小关系是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：构造函数 h（ x） =xf（ x）， 由函数 y=f（ x）以及函数 y=x是 R上的奇函数可得 h（ x） =xf（ x）是 R上的偶函数， 又当 x （ -， 0）时 h（ x） =f（ x） +xf（ x） 0， 所以函
2、数 h（ x）在 x （ -， 0）时的单调性为单调递减函数； 所以 h（ x）在 x （ 0， +）时的单调性为单调递增函数 又因为函数 y=f（ x）是定义在 R上的奇函数，所以 f（ 0） =0，从而 h（ 0） =0 因为 log3 =-2，所以 f（ log3 ） =f（ -2） =-f（ 2）， 由 0 log3 1 30.3 30.5 2 所以 h（ log3） h（ 30.3） h（ 2） =f（ log3 ），即： b a c，故选 C。 考点：函数的奇偶性、单调性，指数函数、对数函数的性质，导数的运算法则。 点评：中档题，本题综合性较强，结合已知构造出 h（ x）是正确解答
3、的关键所在。 已知函数 的图象在点 处的切线的斜率为 3，数列的前 项和为 ,则 的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为函数 f（ x） =x2+bx的图象在点 A（ 1， f（ 1）处切线的斜率为3， 所以有 f（ 1） =21+b=3 b=1 f（ n） =n2+n， s2013=1- + - + = 故选 B. 考点：导数的几何意义，直线方程，裂项相消法。 点评：小综合题，本题综合性较强，综合考查导数的几何意义，直线方程，裂项相消法，难度不大，思路清晰，注意正确求得切线方程是关键。 若函数 的导函数 则函数 的单调递减区间是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：
4、由 0,则 =3， f(x)=sin(3x+ )-1，因为， sinx的对称轴在 x= 处，则 f(x)的对称轴满足 ，选项 A符合要求，选 A。 考点：导数的计算，正弦型函数的图象和性质。 点评：小综合题，本题思路比较清晰 ，注意结合选项加以验证。对正弦型函数的图象和性质要做到熟练掌握。 直线 与抛物线 所围成的图形面积是（ ） A 20 BC D 答案： C 试题分析：由定积分的几何意义，直线 与抛物线 所围成的图形面积是 ，故选 C。 考点：定积分的计算，定积分的几何意义。 点评：简单题，利用定积分的几何意义，将面积计算问题转化成定积分计算。 已知 是可导函数， “ ”是 “ 为函数 极
5、值点 ”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：因为， 是可导函数，所以， “ ”是 “ 为函数极值点 ”的必要不充分条件，选 B。 考点：函数存在极值的条件。 点评：简单题， 是可导函数， “ ”是 “ 为函数 极值点 ”的必要不充分条件。 三次函数当 是有极大值 4，当 是有极小值 0，且函数过原点，则此函数是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为，三次函数当 是有极大值 4，当 是有极小值 0，且函数过原点，所以，当 ， 时，导函数值为 0，所以，选 B。 考点：利用导数研究函数的极值。 点评：简单题，解答思路
6、比较明确，遵循 “求导数、求驻点、研究单调性、确定极值 ”，也可以利用 “表解法 ”。本题通过验证即可。 曲线 在 P点处的切线平行于直线 ，则此切线方程是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为， ，所以， ，切线在 P点的斜率为 4，即 ，故选 D。 考点：导数的几何意义，直线的平行。 点评：简单题，切线的斜率，等于在切点的导函数值。两直线平行，斜率相等（斜率均存在）。 已知函数 则 的值为 （ ） A -20 B -10 C 10 D 20 答案： D 试题分析： ，因为， 所以， =20，选 D。 考点：导数计算，导数的定义。 点评：简单题，利用导数的定义，转化成利用导数公式
7、求导函数值。 填空题 函数 在 内有极小值，则实数 的取值范围 答案： 试题分析： f（ x） =x2-2bx+3a的导数为 f（ x） =2x-2b， f（ x）极小值点是方程 2x-2b=0的根，即 x=b， 又 函数 f（ x）在区间（ 0， 1）内有极小值， 0 b 1，故答案：为 考点：利用导数研究函数的极值。 点评：简单题，由二次函数的极小值点在指定区间内，求参数的取值范围，一般可利用导数求函数极值和二次函数的性质等求解。 直线 与函数 的图像有相异的三个公共点，则 的取值范围是 答案： 试题分析：结合函数图象， a介于 f(x)的极大值和极小值之间。 因为， x3-3x ，所以，
8、 f(x)=3x2-3,令 f(x)=0，得： x=-1， x=1 f(-1)=2， f(1)=-2 所以， -2a2，故答案：为 (-2,2)。 考点：数形结合思想，转化与化归思想，利用导数研究函数的极值。 点评：简单题，利用数形结合法，将 问题转化成利用导数研究函数的极值。 周长为 20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 答案： 试题分析：设矩形的一边长为 xcm，则另一长为 (10-x)cm 则圆柱体积 (0x10)则 (0x10) 6分 令 得 或 （舍）易知 为函数唯一极大值点。 所以 2分 考点：函数模型，圆柱体体积公式，利用导数研究函数的最值。 点评：利用圆
9、柱的体积，其中根据已知条件，设出圆柱的长和宽，然后可以写出圆柱体积的表达式，是解答本题的关键。在求函数极值（最值）的过程中，可以应用导数，也可以利用均值定理。 函数 的单调减区间为 _ _ 答案： 试题分析：因为， ，所以， ，由可得，函数 的单调减区间为 。 考点：应用导数研究函数的单调性。 点评：简单题，在某区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。 解答题 求函数 在区间 上的最值 答案： 50 -4 试题分析： 令 -1 0 2 5 + 0 - 0 + -4 增 0 减 -4 增 50 所以 50 -4 考点：利用导数研究函数的最值。 点评：中档题，利用导数研究函数的最值，
10、一般遵循 “求导数、求驻点、研究导数的正负、确定极值、比较端点函数值 ”，利用 “表解法 ”，清晰易懂。 设 有极值， （ ）求 的取值范围； （ ）求极大值点和极小值点 . 答案： 时，极大值点为 ，极小值点为 试题分析： ，当 时 ， 单调递增无极值， 当 时 得 - 0 + 0 - 减 增 减 所以的极大值点为 ，极小值点为 考点：利用导数研究函数的极值。 点评：中档题，利用导数研究函数的极值，一般遵循 “求导数、求驻点、研究导数的正负、确定极值 ”，利用 “表解法 ”，清晰易懂。 设函数 （ ）试问函数 能否在 处取得极值，请说明理由 ; （ ）若 ，当 时，函数 的图像有两个公共点，
11、求的取值范围 . 答案： ( ) （ ） 试题分析： ( )由题设可知 : 且 ， 即 ，解得（ ） ， 又 在 上为减函数， 对 恒成立， 即 对 恒成立 . 且 ， ， 的取值范围是 考点：利用导数研究函数的极值，不等式恒成立问题。 点评：中档题，利用导数研究函数的极值，一般遵循 “求导数、求驻点、研究导数的正负、确定极值 ”，利用 “表解法 ”，清晰易懂。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，通过研究函数的最值确定参数的范围。 已知函数 ，其中 为实数 . ( ) 若 在 处取得的极值为 ，求 的值 ; （ ）若 在区间 上为减函数，且 ，求 的取值范围 . 答案：（ 1） 无极值 ;（
12、2） ，或 试题分析：（ 1）由题意 假设 得 此时所以 无极值 （ 2）设 ，则有 ， 设 ， ，令 解得 或 当 时 为增函数，当 时 为减函数 当 时， 取得极大值 ，当 时， 取得极小值，且 函数 与 有两个公共点所以，或 考点：利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性。 点评：中档题，利用导数研究函数的极值，一般遵循 “求导数、求驻点、研究导数的正负、确定极值 ”，利用 “表解法 ”，清晰易懂。研究曲线有公共点的问题，往往利用导数研究函数图象的大致形态加以解答。 已知函数 （ ）求函数 的图像在 处的切线方程； （ ）设实数 ，求函数 在 上的最小值 . 答案：（ 1） ,（
13、 2） 试题分析：（ 1） 定义域为 又 函数 的在 处的切线方程为： ，即 （ 2） 令 得 当 ， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增 （ i）当 时， 在 单调递增， ， （ ii）当 即 时， （ iii）当 即 时， 在 单调递减，考点：导数的几何意义，直线方程，利用导数研究函数的极值（最值）。 点评：典型题，切线的斜率，等于在切点的导函数值。利用导数研究函数的极值，一般遵循 “求导数、求驻点、研究导数的正负、确定极值 ”，利用 “表解法 ”，清晰易懂。为研究函数的极值，就参数的范围进行讨论，易于出错。 已知 ， ，直线 与函数 、 的图象都相切，且与函数 的图象的切点的横坐标为 .
14、 ( )求直线 的方程及 的值； ( )若 (其中 是 的导函数 )，求函数 的最大值； ( )当 时，求证： . 答案： ( )直线 的方程为 . . ( )当 时， 取最大值，其最大值为 2. ( ) 试题分析： ( ) ， . 直线 的斜率为 ，且与函数 的图象的切点坐标为 . 直线 的方程为 . 又 直线 与函数的图象相切 , 方程组 有一解 . 由上述方程消去 ，并整理得 依题意，方程 有两个相等的实数根， 解之，得 或 . ( )由 ( )可知 ， . . 当 时， ，当 时， . 当 时， 取最大值，其最大值为 2. ( ) . ， ， . 由 ( )知当 时， 当 时， ， . 考点：导数的几何意义，直线方程，利用导数研究函数的极值（最值），不等式证明问题。 点评：典型题，切线的斜率，等于在切点的导函数值。利用导数研究函数的极值，一般遵循 “求导数、求驻点、研究导数的正负、确定极值 ”，利用 “表解法 ”，清晰易懂。不等式的证明问题，往往通过构造函数，通过研究函数的最值达到目的。
