1、2013-2014学年内蒙古包头市三十三中高二下学期期中 文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等。在以上三段论的推理中（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论错误 答案： A 试题分析：大前提， “菱形的对角线相等 ”， 小前提，正方形是菱形， 结论，所以正方形的对角线相等， 大前提是错误的，因为菱形的对角线垂直平分 以上三段论推理中错误的是：大前提，故选 A . 考点：演绎推理的基本方法 . 已知三次函数 的图象如图所示，则 （ ） A -1 B 2 C -5 D -3 答案： C 试题分析：求导得： f（ x） =3a
2、x2+2bx+c，结合图象可得 x=-1， 2为导函数的零点，即 f（ -1） =f（ 2） =0， 故 ，解得 故 ，故答案：为：-5. 考点：导数的运算；函数的图象 . 是 f（ x）的导函数， 的图象如下图所示，则 f（ x）的图象只可能是（ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 答案： D 试题分析：由图可以看出函数 y=f（ x）的图象是一个二次函数的图象， 在 a与 b之间，导函数的值是先增大后减小 故在 a与 b之间，原函数图象切线的斜率是先增大后减小 因此故排除答案： A， B， C 故答案：为： D 考点：函数的单调性与导数的关系 . 函数 的最大值为（ ） A B C
3、 D 答案： A 试题分析： ，令 y=0，得 x=e， 当 x e时， y 0， f（ x）为增函数， 当 0 x e时， y 0， f（ x）为，减函数， f（ x）在 x=e处取极大值，也是最大值， y最大值为 f（ e） = ，故选 D. 考点：函数在某点取得极值的条件 . 利用独立性检验来考虑两个分类变量 与 是否有关系时，通过查阅下表来确定 “ 和 有 关系 ”的可信度。如果 ，那么就有把握认为 “ 和 有关系 ”的百分比为（ ） A 25% B 95% C 5% D 97.5% 答案： B 试题分析：解： k 5、 024， 而在观测值表中对应于 5.024的是 0.025， 有
4、 1-0.025=97.5%的把握认为 “X和 Y有关系 ”， 故选 D . 考点：独立性检验的应用 . 分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当 时且 的解集为（ ） A（ -2， 0） （ 2， +） B（ -2， 0） （ 0， 2） C（ -， -2） （ 2， +） D（ -， -2） （ 0， 2） 答案： A 试题分析：设 F（ x） =f （ x） g（ x），当 x 0时， F（ x） =f（ x） g（ x） +f （ x） g（ x） 0 F（ x）在当 x 0时为增函数 F（ -x） =f （ -x） g （ -x） =-f （ x） g （ x） =-F（ x） 故 F
5、（ x）为（ -， 0） （ 0， +）上的奇函数 F（ x）在（ 0， +）上亦为增函数 已知 g（ -3） =0，必有 F（ -3） =F（ 3） =0 构造如图的 F（ x）的图象，可知 F（ x） 0的解集为 x （ -， -3） （ 0， 3） 故选 D. 考点：利用导数研究函数的单调性 . 曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（ ） A B C 和 D 和 答案： D 试题分析：因为直线 y=4x-1的斜率为 4，且切线平行于直线 y=4x-1， 所以函数在 p0处的切线斜率 k=4，即 f（ x） =4 因为函数的导数为 f（ x） =3x2+1， 由 f（ x） =3
6、x2+1=4，解得 x=1或 -1 当 x=1时， f（ 1） =0，当 x=-1时， f（ -1） =-4 所以 p0的坐标为（ 1， 0）或（ -1， -4） . 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 . 在一次实验中，测得 的四组值分别是 ，则与 之间的回归直线方程为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， 这组数据的样本中心点是（ 2.5， 3.5），把样本中心点代入四个选项中，只有 y=x+1成立， 故选 A. 考点：线性回归方程 . 如图所示，图中有 5组数据，去掉 组数据后（填字母代号），剩下的 4组数据的线性相关性最大（ ） A B C D 答案： A 试题分析： A
7、、 B、 C、 D四点分布在一条直线附近且贴近某一直线， E点离得远 去掉 E点剩下的 4组数据的线性相关性最大，故答案：为： A. 考点：变量间的相关关系 . 下列求导运算正确的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： A（ x+ ） =1- ， A错误 B（ x2cosx） =-2xsinx-x2sinx， B错误 C（ 3x） =3xln3， C错误 D（ log2x） = ，正确 故选： D . 考点：导数的运算 . 用反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个不大于 60度 ”时，反设正确的是（ ） A假设三内角都大于 60度； B假设三内角都不大于 60度； C假设三内角
8、至多有一个大于 60度； D假设三内角至多有两个大于 60度。 答案： A 试题分析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定， “至少有一个 ”的否定： “一个也没有 ”；即 “三内角都大于 60度 ”故选 B. 考点：反证法与放缩法 . 已知点 P(1,2)是曲线 y=2x2上一点，则 P处的瞬时变化率为 （ ） A 2 B 4 C 6 D答案： B 试题分析： y|x=1=4x|x=1=4，故答案：为 B. 考点：导数的运算 . 填空题 点 P是曲线 上任意一点，则点 P到直线 的距离的最小值是 答案： 试题分析：解：设 P（ x， y），则 y=2x- （ x 0） 令 2x- =1
9、，则（ x-1）（ 2x+1） =0， x 0， x=1 y=1，即平行于直线 y=x+2且与曲线 y=x2-lnx相切的切点坐标为（ 1， 1），由点到直线的距离公式可得 d= ，故答案：为： . 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离 . 如图，一矩形铁皮的长为 8cm，宽为 5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，则小正方形的边长为 时，盒子容积最大？。 答案： 试题分析：设小正方形的边长为 xcm，则 x （ 0， ）； 盒子容积为： y=（ 8-2x） （ 5-2x） x=4x3-26x2+40x， 对 y求导，得 y=12x2-52x+4
10、0，令 y=0，得 12x2-52x+40=0，解得： x=1， x=（舍去）， 所以，当 0 x 1时， y 0，函数 y单调递增；当 1 x 时， y 0，函数 y单调递减； 所以，当 x=1时，函数 y取得最大值 18； 所以，小正方形的边 长为 1cm，盒子容积最大，最大值为 18cm3 . 考点：函数模型的选择与应用 . 已知 ，猜想 的表达式为 答案： 试题分析：根据题意， f（ 1） =1， f（ 2） = ， f（ 3） = ， f（ 4）= ， 可以归纳 f（ x）为分数，且其分子为 2不变，分母为 x+1； 即 ，故答案：为 . 考点：归纳推理 . 过点 P（ -1， 2）
11、且与曲线 y=3x2-4x+2在点 M（ 1， 1）处的切线平行的直线方程是 _ 答案： x-y+4=0 试题分析： y=6x-4， 切线斜率为 61-4=2 所求直线方程为 y-2=2（ x+1），即 2x-y+4=0 故答案：为： 2x-y+4=0 考点：直线的点斜式方程；导数的几何意义 . 解答题 已知函数 在区间 ， 上有极大值 （ 1）求实常数 m的值 （ 2）求函数 在区间 ， 上的极小值 答案： (1) m 4;(2) . 试题分析：（ 1）先利用导数四则运算计算函数 f（ x）的导函数 f（ x），再解不等式 f（ x） =0，求出函数的极大值，即可求出 m； （ 2）根据（
12、1）的结论，即可求出答案： . 试题：解： 令 ，可解得 ， x 2 当 x变化时， ， 变化情况为： 5分； （ 1）当 x -2时， 取极大值，故 解得 m 4 （ 2）由 ， 当 时， 取极小值，为 10分； 考点：利用导数研究曲线的极值； 通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 附： 0 050 0 010 0 001 3 841 6 635 10 828 试考查大学生 “爱好该项运动是否与性别有关 ”，若有关，请说明有多少把握。 答案：有 99%以上的把握认为
13、“爱好该项运动与性别有关 ”. 试题分析：由已知中判断爱好该项运动是否与性别有关时，由列联表中的数据此算得 k27.8，且 7.8 6.635，而 P（ k26.635） 0.01，故我们有 99%的把握认为爱好该项运动与性别有关则出错的可能性为 1%. 试题：由6.635，所以有 99%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别有关 ”。 12分 考点：独立性检验 . 关于某设备的使用年限 和所支出的维修费用 （万元），有如下的统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 (1)如由资料可知 对 呈线形相关关系 .试求：线形回归方程；（ ，） (2)估计使用年限为
14、 10年时，维修费用是多少？ 答案： (1) (2) 12.38万元 . 试题分析：（ 1）根据所给的数据，做出变量 x， y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数 b，在根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出 a的值，从而得到线性回归方程； （ 2）当自变量为 10时，代入线性回归方程，求出当年的维修费用，这是一个预报值 . 试题：解：（ 1） 6分； 于是 . 所以线形回归方程为： 8分； （ 2）当 时， ， 即估计使用 10年是维修费用是 12.38万元 . 12分； 考点：线性回归方程 . 已知某工厂生产 件产品的成本为 （元）， 问：（ 1）要使平均成本最低，应生产多少件
15、产品？ （ 2）若产品以每件 500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 答案： (1) 1000 ;(2) 6000. 试题分析：（ 1）先根据题意设生产 x件产品的平均成本为 y元，再结合平均成本的含义得出函数 y的表达式，最后利用导数求出此函数的最小值即可； （ 2）先写出利润函数的式，再利用导数求出此函数的极值，从而得出函数的最大值，即可解决问题：要使利润最大，应生产多少件产品 . 试题：解：（ 1）设平均成本为 元，则 ， ，令 得 当在 附近左侧时 ； 在 附近右侧时 ，故当 时， 取极小值，而函数只有一个点使 ，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产 100
16、0件产品 6分； （ 2）利润函数为 ， ， 令 ，得 ，当在 附近左侧时 ；在 附近右侧时，故当 时， 取极大值，而函数只有一个点使 ，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大， 应生产 6000件产品 12分； 考点：导数的应用 . 已知函数 在 与 时都取得极值 (1)求 的值与函数 的单调区间 (2)若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围 答案： (1) 递增区间是 与 ,递减区间是 ； (2). 试题分析：（ 1）求出 f（ x），因为函数在 x=- 与 x=1 时都取得极值，所以得到 f（ - ） =0 且 f（ 1） =0 联立解得 a 与 b 的值，然后把 a、 b的值代入
17、求得 f（ x）及 f（ x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间； （ 2）根据（ 1）函数的单调性，由于 x -1， 2恒成立求出函数的最大值值为 f（ 2），代入求出最大值，然后令 f（ 2） c2列出不等式，求出 c的范围即可 . 试题：解：（ 1） 1分； 由 ， 得 3分； ，函数 的单调区间如下表： - 极大值 极小值 - 所以函数 的递增区间是 与 ,递减区间是 ； 6 分； （ 2） ，当 时， 为极大值，而 ，则 为最大值， 9分； 要使 恒成立，则只需要 ， 10分； 得 12分； 考点： 1.利用导数研究函数的极值； 2.函数恒成立问题； 3.利用导数研究函数的单调
18、性 . 已知函数 R） . （ 1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值； （ 2）在（ 1）条件下，求函数 的单调区间和极值； （ 3）当 ，且 时，证明： 答案： (1) ;(2)详见 . 试题分析：（ 1）欲求 a的值，根据在点（ 1， f（ 1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在 x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率再列出一个等式，最后解方程组即可得 （ 2）先求出 f（ x）的导数，根据 f（ x） 0 求得的区间是单调增区间， f（ x） 0求得的区间是单调减区间，最后求出极值即可 （ 3）由（ 2）知，当 a=1 时，函数 f(x) ，在 1， +）上是单调减函数，且 f(1) 1，从而证得结论 . 试题：解：（ 1）函数 所以 又曲线 处的切线与直线平行，所以 4分； （ 2）令 当 x变化时， 的变化情况如下表： + 0 极大值 由表可知： 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 所以 处取得极大值， 8分； （ 3）当 由于 只需证明 令 因为 ，所以 上单调递增， 当 即 成立。 故当 时，有 12分； 考点： 1.利用导数研究函数的极值； 2.利用导数研究函数的单调性； 3.利用导数研究曲线上某点切线方程
