1、2013届北京市西城区高三二模理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ， ，那么= （ ） A B C D 答案： C 试题分析： , ,选 C. 考点：集合的交集和补集运算 . 已知函数 ，其中 表示不超过实数 的最大整数若关于 的方程 有三个不同的实根，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：关于 的方程 有三个不同的实根，转化为两 个函数图像有三个不同的交点，函数 的图像（如图），函数恒过定点为 ， 观察图像易得 考点：函数图象交点个数 . 已知正六边形 的边长是 ，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A B
2、 C D 答案： B 试题分析：如图所示，抛物线过 A,B两点， 设抛物线方程为 则考点：抛物线及正六边形的对称性 . 对于直线 ， 和平面 ， ，使 成立的一个充分条件是（ ） A ， B ， C ， ， D ， ， 答案： C 试题分析：由 ， ，选 C. 考点：线面垂直的条件 . 设 ， ， ，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由已知 ， ，且 ， ,， 而 1，所以 cab 考点：指数的幂运算 . 如图所示的程序框图表示求算式 “ ” 之值，则判断框内可以填入（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由程序图可得 ， 当 k34时，输出 ，选 C. 考点：程序结构为当
3、型循环结构 . 在极坐标系中，圆心为 ，且过极点的圆的方程是 （ ） A B C （ D 答案： A 试题分析：设 为圆上任意点，则 ，选 A. 考点：点的极坐标；圆的极坐标方程 . 在复平面内，复数 的对应点是 ， 的对应点是 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ，选 B. 考点：复数与点的对应关系；复数的乘法运算 . 填空题 已知正数 满足 ， ，则 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：由 ， , 又 ，得 ，所以 ，故 . 考点：不等式性质，基本不等式的应用 . 在等差数列 中， ， ，则 _；设，则数列 的前 项和 _ 答案： ； 试题分析：由已知 ，所以 ， ， .
4、 考点：等差数列通项公式，裂项法求数列和 . 如图， 是半圆 的直径， 在 的延长线上， 与半圆 相切于点， 若 ， ，则 _ 答案： 试题分析：由切割线定理得 ，即 ，得 连OC，则 ， 则 . 考点：切割线定理，切线的性质 . 在 中， ， ， ，则 _； 的面积是 _ 答案：； 的展开式中 项的系数是 _（用数字作答） 答案： 试题分析： ，故系数为 80. 考点：二项式通项，二项展开式某项系数 . 右图是甲，乙两组各 名同学身高（单位： ）数据的茎叶图记甲，乙两组数据的平均数 依次为 和 ，则 _ （填入： “ ”， “ ”，或 “ ”） 答案： 试题分析： ；,所以 . 考点：茎叶图
5、，平均数 . 解答题 如图，在直角坐标系 中，角 的顶点是原点，始边与 轴正半轴重合，终边交单位圆于点 ，且 将角 的终边按逆时针方向旋转 ，交单位圆于点 记 （ ）若 ，求 ； （ ）分别过 作 轴的垂线，垂足依次为 记 的面积为 ， 的面积为 若 ，求角 的值 答案：（ ） ；（ ） 试题分析：（ I）根据三角函数定义写出 ，再利用和角公式求解； (II)根据已知三角形的面积关系列等式，再利用三角变换求解 . 试题：（ ）解：由三角函数定义，得 ， 2分 因为 ， ， 所以 3分 所以 5分 （ ）解：依题意得 ， 所以 ， 7分 9分 依题意得 ， 整理得 11分 因为 ， 所以 ， 所
6、以 ， 即 13分 考点： 1.三角函数定义 ;2.两角和的正弦余弦公式 ;3.三角形面积公式 . 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满 300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的 1个红球， 1个黄球， 1个白球和 1个黑球顾客不放回的每次摸出 1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止规定摸到红球奖励 10元，摸到白球或黄球奖励 5元，摸到黑球不奖励 （ ）求 1名顾客摸球 3次停止摸奖的概率； （ ）记 为 1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量 的分布列和数学期望 答案： (I) ；（ ） 10 试题分析： (I)类似抽签
7、，概率公式 ； (II)求得 ，写出分布列，求期望 . 试题：（ ）解：设 “1名顾客摸球 3次停止摸奖 ”为事件 ， 1分 则 ，故 1名顾客摸球 3次停止摸奖的概 率为 4分 （ ）解：随机变量 的所有取值为 5分 ， ， ， ， 10分 所以，随机变量 的分布列为 : 11分 13分 考点： 1.抽签中奖概率公式 ;2.随机变量分布列，期望 . 如图 1，四棱锥 中， 底面 ，面 是直角梯形，为侧棱 上一点该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图 2所示 （ ）证明： 平面 ； （ ）证明： 平面 ； （ ）线段 上是否存在点 ，使 与 所成角的余弦值为 ？若存在，找到所有符合要求的点 ，并求
8、 的长；若不存在，说明理由 答案： (I)详见；（ II）详见；（ III）点 位于 点处，此时 ；或中点处，此时 . 试题分析： (I)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，线和面内两相交直线垂直，则线垂直面； (II)线与面内一直线平行，则线面平行； (III)利用数量积公式可得两直线夹角余弦 . 试题：【方法一】 （ ）证明：由俯视图可得， ， 所以 1分 又因为 平面 ， 所以 ， 3分 所以 平面 4分 （ ）证明：取 上一点 ，使 ，连结 ， 5分 由左视图知 ，所以 ， 6分 在 中，易得 ，所以 又 ， 所以 ， 又因为 ， ，所以 ， 所以四边形 为平行四边形，所以 8分 因为
9、平面 ， 平面 ， 所以 直线 平面 9分 （ ）解：线段 上存在点 ，使 与 所成角的余弦值为 证明如下： 10分 因为 平面 ， ，建立如图所示的空间直角坐标系 所以 设 ，其中 11分 所以 ， 要使 与 所成角的余弦值为 ，则有 ， 12分 所以 ，解得 或 ，均适合 13分 故点 位于 相关试题 2013届北京市西城区高三二模理科数学试卷（带） 如图，椭圆 的左顶点为 ， 是椭圆 上异于点的任意一点，点 与点 关于点 对称 （ ）若点 的坐标为 ，求 的值； （ ）若椭圆 上存在点 ，使得 ，求 的取值范围 答案： (I) ； (II) . 试题分析： (I)利用中点坐标公式，求 M
10、坐标，代入椭圆方程即可求 m；（ II）设 ，表示出 P坐标，再利用垂直条件写关系式，求 的取值范围 试题：（ ）解：依题意， 是线段 的中点， 因为 ， ， 所以 点 的坐标为 2分 由点 在椭圆 上， 所以 ， 4分 解得 5分 （ ）解：设 ，则 ，且 6分 因为 是线段 的中点， 所以 7分 因为 ， 所以 8分 由 ， 消去 ，整理得 10分 所以 ， 12分 当且仅当 时，上式等号成立 所以 的取值范围是 13分 考点： 1.中点坐标公式 ;2.基本不等式，分离常数 ;3.转化思想 . 已知函数 ，其中 （ ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （ ）求 在区间 上的最大值和最小值
11、 答案：（ I） ；（ II）详见 . 试题分析： (I)求出导数即切线斜率，代入点斜式； (II)列表，依据参数分情况讨论，求最值 . 试题：（ ）解： 的定义域为 ， 且 2分 当 时， ， ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ， 即 4分 （ ）解：方程 的判别式为 （ ）当 时， ，所以 在区间 上单调递增，所以 在区间 上的最小值是 ；最大值是 6分 （ ）当 时，令 ，得 ，或 和 的情况如下： 相关试题 2013届北京市西城区高三二模理科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路 3号启航商务大厦 5楼 邮编：518000 2004-2016 21世纪教
12、育网 粤 ICP备09188801号 粤教信息(2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 已知集合 是正整数 的一个排列，函数 对于 ，定义：， ，称 为 的满意指数排列 为排列 的生成列；排列 为排列的母列 （ ）当 时，写出排列 的生成列及排列 的母列； （ ）证明：若 和 为 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （ ）对于 中的排列 ，定义变换 ：将排列 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列证明：一定可以经过有限次变换 将排列 变换为各项满意指数均为非负数的排列 答案： (I) ， ；（ II
13、）详见；（ III）详见 . 试题分析：（ I）弄懂已知条件中生成列、母列定义即可求解；（ II）弄懂 “对于，定义： ，称 为 的满意指数 ”是解题的关键；（ III）把握第 (I)问，由特殊到一般，才能顺利求 (III). 试题：（ ）解：当 时，排列 的生成列为 ； 2分 排列 的母列为 3分 （ ）证明：设 的生成列是 ； 的生成列是与 从右往左数，设排列 与 第一个不同的项为 与 ，即：， ， ， ， 显然 ， ， ， ，下面证明： 5分 由满意指数的定义知， 的满意指数为排列 中前 项中比 小的项的个数减去比 大的项的个数 由于排列 的前 项各不相同，设这 项中有 项比 小，则有项比 大，从而 同理，设排列 中有 项比 小，则有 项比 大，从而 因为 与 是 个不同数的两个不同排列，且 ， 所以 ， 从而 所以排列 和 的生成列也不同 8分 （ ）证明：设排列 的生成列为 ，且 为 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 9分 进行一次变换 后，排列 变换为 ，设该排列的生成列为 所以 相关试题 2013届北京市西城区高三二模理科数学试卷（带）
