1、2013届四川省成都高新区高三 4月统一检测理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 是虚数单位，复数 （其中 ）是纯虚数，则( ) A -2 B 2 C D 答案： B 试题分析：因为复数 为纯虚数，所以 且，故 ,选 B. 考点：复数的概念 . 若数列 满足 ，则当 取最小值时 的值为 ( ) A 或 B C D 或 答案： A 试题分析：令 ，所以 ，累加得 ，若最小，则 ， 且 ，即 ，解得 ，即 或 时 最小 .选A. 考点：数列的综合应用 . 设集合 ，记 是 的不同值的个数，其中且 的最大值为 ， 的最小值为 ，则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由题意， 的最大
2、值为 10，最小值为 7，故 . 考点：计数原理 . 定义在 上的函数 是减函数，且函数 的图象关于成中心对称，若 满足不等式 .则当 时，的取值范围是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因函数 的图象关于 成中心对称，故函数 的图像关于原点对称，即为奇函数且单调递减，故 等价于 ，画出可行域，根据 的几何含义为原点与点 的斜率可知其范围为 . 考点： 1.函数的性质； 2.斜率 . 阅读下面程序框图，则输出结果 的值为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由题意，当 时，故输出结果为 .故选 D. 考点： 1.算法； 2.循环结构 . 在区间 内任取两个数 ，则使方程
3、的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：依题意，要使方程两根分别作为椭圆，双曲线的离心率，则有，令 ，所以 ， ，所以， ， ，故概率为 .选 C. 考点： 1.椭圆、双曲线的性质； 2.几何概型 . 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为 的圆（包括圆心），则该零件的体积是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由题意易知该几何体为一半球内部挖去一圆锥所成，故体积为. 故选 C. 考点： 1.体积； 2.三视图 . 函数 的零点的个数为 ( ) A
4、B C D 答案： B 试题分析： ，所以 ，令，得 ，故零点的个数为 1,选 B. 考点：零点的个数的判断 . 在抛物线 上，横坐标为 的点到焦点的距离为 ，则该抛物线的准线方程为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：依题意， ，所以 ，故准线方程为 . 考点：抛物线的性质 . 已知命题 p： “若直线 与直线 垂直，则 ”；命题 q： “ ”是 “ ”的充要条件，则 ( ) A p真， q假 B “ ”真 C “ ”真 D “ ”假 答案： D 试题分析：对于 ，若直线 与直线 垂直，则 ，所以 ， 对于 ，由 ，得 ，反之不成立，故命题 为假命题，命题 为假命题，故 为假 .选
5、 D. 考点： 1.命题的真假判断； 2.直线的垂直判断； 3.充要条件 . 填空题 在直角坐标系内，点 实施变换 后，对应点为 ，给出以下命题： 圆 上任意一点实施变换 后，对应点的轨迹仍是圆； 若直线 上每一点实施变换 后，对应点的轨迹方程仍是则 ； 椭圆 上每一点实施变换 后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆； 曲线 ： 上每一点实施变换 后，对应点的轨迹是曲线 ，是曲线 上的任意一点， 是曲线 上的任意一点，则 的最小值为。 以上正确命题的序号是 （写出全部正确命题的序号） . 答案： 试题分析：由题意点 实施变换 后，对应点为 ，对应曲线来说，就是求曲线关于直线 的对应曲线，对于 ，
6、因为圆 的圆心在直线 上，所以圆 上任意一点实施变换 后，对应点的轨迹仍是圆 ，所以 正确； 对于 ，直线 关于直线 对称的曲线方程为 ，而直线上每一点实施变换 后，对应点的轨迹方程仍是 ，所以，解得 ，或 ,所以 不正确； 对于 ，椭圆 上的每一点实施 后，对应的轨迹方程为 ，对应的离心率不变，故 正确；对于 ，令 ，易求得 时， 为减函数，当 时， 为增函数，所以，由对称性可知，曲线 上的点与其关于 直线 的对称曲线上的点的最小值为 ，所以 正确； 故答案：为 . 考点：命题的真假判断与应用 . 若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：由题意， ，令，令 ，则 ，
7、 ， ，所以 ，所以 . 考点： 1.不等式的性质； 2.恒成立问题 . 已知向量 的模长都为 ，且 ，若正数 满足则 的最大值为 ; 答案： 试题分析： ,所以 ， 所以 ，故 的最大值为 2. 考点： 1.向量的数量积； 2.不等式 . . 答案： 试题分析：由题意，原式 . 考点： 1.对数的运算； 2.指数运算 . 在二项式 的展开式中，常数项为 _. （用数字作答） 答案： 试题分析：通项 ，令 ，则 ，故常数项为 . 考点：二项式定理 . 解答题 已知向量 ， ， ，函数的最大值为 （ ）求 ； （ ）将函数 的图像向左平移 个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐
8、标不变，得到函数 的图像，求 在上的值域 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）先将 化简，得 ，再根据最值得 ; （ ）先根据变换得到 ，再求得 ，从而得到 在 上的值域 试题：（ ） 因为 ，由题意知 （ ）由（ ） ，将 的图象向左平移 个单位后得到 的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象 因此，又 ，所以 ，所以 ，所以 在 上的值域为 考点： 1.向量的数量积； 2.三角恒等变换； 3.三角函数值 . 一个口袋中有 个白球和 个红球 且 ，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖 . （
9、 ）试用含 的代数式表示一次摸球中奖的概率 ； （ ）若 ，求三次摸球恰有一次中奖的概率； （ ）记三次摸球恰有一次中奖的概率为 ，当 为何值时， 取最大值 . 答案：（ ） ；（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）先求出总事件为 ，两球颜色相同的事件有 ，然后得到结果； （ ）先求出一次模球中奖的概率，又三次是独立重复试验，故可求得三次摸球中恰有一次中奖的概率； （ ）先表示出三次摸球中恰有一次中奖的概率，再根据单调性就可求得的最大值 . 试题：（ ）一次摸球从 个球中任选两个，有 种选法，其中两球颜色相同有 种选法； 一次摸球中奖的概率 , 4分 （ ）若 ，则一次摸球中奖的概率是 ，三次
10、摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是 . 8分 （ ）设一次摸球中奖的概率是 ，则三次摸球中恰有一次中奖的概率 是 ， ， , 在 是增函数，在 是减函数， 当 时， 取最大值 , 10分 ， ，故 时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大 . 12分 考点： 1.古典概型； 2.独立重复试验 . 如图，边长为 a的正方形 ABCD中，点 E、 F分别在 AB、 BC上，且，将 AED、 CFD分别沿 DE、 DF折起，使 A、 C两点重合于点 ，连结 A B （ ）判断直线 EF与 A D的位置关系，并说明理由； （ ）求二面角 F-A B-D的大小 答案：（ ）异面垂直 ;（ ）
11、 . 试题分析：（ ）先证明 A D 面 A EF即可得 EF与 A D的位置关系是异面垂直； （ ）先作出并证明 DOHF是二面角 F-A B-D的平面角，再利用解三角形的方法求出 DOHF的大小 . 试题：（ ） A D EF 1分 证明如下：因为 A D A E， A D A F， 所以 A D 面 A EF，又 EF面 A EF， 所以 A D EF 直线 EF与 A D的位置关系是异面垂直 4分 （ ）方法一、设 EF、 BD相交于 O，连结 A O，作 FH A B于 H， 连结 OH， 因为 EF BD， EF A D 所以 EF 面 A BD， A B面 A BD， 所以 A
12、B EF，又 A B FH， 故 A B 面 OFH， OH面 OFH， 所以 A B OH， 故 DOHF是二面角 F-A B-D的平面角 ， A E A F ， EF ，则 ， 所以， A EF是直角三角形，则 ， 则 ， ， ， ， 则 A B ，所以 ， 所以， tanDOHF ，故 DOHF 所以二面角 F-A B-D的大小为 12分 方法二、设 EF、 BD相交于 O， 连结 A O，作 于 G，可得 A G 面BEDF， ， A E A F ， EF ，则 ， 所以， A EF是直角三角形，则 ， 则 ，则 ， ， ， 所以 ， ，则 ， 分别以 BF、 BE为空间直角坐标系的
13、x、 y轴，建立如图坐标系，则 ， ， ，故 ， ， ， 因 ， ，故面 A BD的一个法向量 ， 设面 A BF 的一法向量为 ，则 取 ， 设二面角 F-A B-D 的平面角为 ，则 ， ， 故二面角 F-A B-D的大小为 12分 考点： 1.直线与平面的位置关系； 2.二面角 . 设函数 ，数列 前 项和 ，数列 ，满足 .（ ）求数列 的通项公式 ； （ ）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，证明：。 答案：（ ） ；（ ）先放缩再求和即可得 . 试题分析：（ ）利用 代换即可得 是公比为 的等比数列，再利用通项公式求解即可得；（ ）先得到，再用错位相减法求解即可得证 .
14、试题： ( )由 得： 是以 为公比的等 比 . 4分 （ ）由 得： 6分 记 + ， 用错位相减法可求得： . 12分 考点： 1.数列的性质； 2.错位相减法求和 . 设椭圆 的离心率 ， 是其左右焦点，点是直线 （其中 ）上一点，且直线 的倾斜角为 . （ ）求椭圆 的方程； （ ）若 是椭圆 上两点，满足 ，求 （ 为坐标原点）面积的最小值 . 答案： ( ) ；（ ） . 试题分析： ( ) 根据 及 得 ;（ ）分斜率存在和不存在进行讨论，当斜率不存在，易求得 ，当斜率存在时，利用弦长公式表示出 再表示出面积 ,得,从而 的最小值为 试题：（ ） 则 ,故 （ ）当直线 的斜率不
15、存在时，可设 代入椭圆得 ，此时， , 当直线 的斜率存在时，设代入椭圆得： , 设 则 由 得： 当 时，取等号，又 ，故 的最小值为 . 考点：直线与椭圆的位置关系综合应用 . 已知函数 ， （其中 ， ），且函数 的图象在点 处的切线与函数 的图象在点 处的切线重合 （ ）求实数 a， b的值； （ ）若 ，满足 ，求实数 的取值范围； （ ）若 ，试探究 与 的大小，并说明你的理由 答案：（ ） ， ；（ ） ；（ ）.http:/ 试题分析：（ ）先求出 在点 处切线方程为 ，再求出在点 处切线方程为 ，比较两方程的系数即可得 ，；（ ）根据题意可转化成 在 上有解，令 ，只需 ，分
16、类讨论可求得实数 m的取值范围是 ； （ ）令 ，再证函数 在区间 上单调递增，当 时， 恒成立，即可得对任意 ，有，再证 即可得证 . 试题：（ ） ， ，则 在点 处切线的斜率 ，切点 ，则 在点 处切线方程为， 又 ， ，则 在点 处切线的斜率 ，切点 ，则 在点 处切线方程为 ， 由 解得 ， 4分 （ ）由 得 ，故 在 上有解， 令 ，只需 6分 当 时， ，所以 ； 7分 当 时， ， ， ， ， ， 故 ，即函数 在区间 上单调递减， 所以 ，此时 综合 得实数 m的取值范围是 9分 （ ）令 ， 令 ，则 在 上恒成立， 当 时， 成立， 在 上恒成立， 故函数 在区间 上单调递增， 当 时， 恒成立， 故对于任意http:/
