1、2013届广东省新兴县惠能中学高三第四次月考理科数学试题（带解析） 选择题 设集合 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ，所以 . 考点：本小题主要考查集合的运算 . 点评：集合的运算是高考常考的内容，应该借助数轴辅助解题 . 设 是 内一点，且 ， ，定义，其中 、 、 分别是 、 、 的面积，若 ， 则 的最小值是 ( ) A 8 B 9 C 16 D 18 答案： D 试题分析：因为 ， ，所以 , 所以 ,因为 ，所以 所以 即 的最小值为考点：本小题主要考查向量的数量积运算、三角形面积公式的应用和利用 “1”的整体代换和基本不等式求最值，考查了学生综合运算所学知识解
2、决问题的能力和逻辑思维能力和运算求解能力 . 点评：求解本题的关键是根据题意得出 ，然后利用 “1”的整体代换和基本不等式求最值， “1”的整体代换可以简化计算，这种方法经常用到，要多加注意，多多练习 . 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为 ，其三视图中的俯视图如图所示，则其侧（左）视图的面积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：设正六棱柱的底面边长和 侧棱长均为 ，则 ，解得 根据俯视图可知侧视图为长和宽分别为 和 的矩形，所以面积为考点：本小题主要考查的空间几何体的三视图和棱柱的体积的计算，考查学生的空间想象能力 . 点评：空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面
3、上的正投影，同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能不同，这一点不可忽略 . 设 和 为双曲线 的两个焦点 , 若 ， ，是正三角形的三个顶点 ,则双曲线的离心率为 （ ） A B C D 3 答案： C 试题分析：因为 ， ， 是正三角形的三个顶点，所以， 所以 ，解得 考点：本小题主要考查双曲线中的数量关系和双曲线离心率飞求法，考查学生的运算求解能力 . 点评：求双曲线的离心率，关键是想办法求出 ，而不必求 若整数 满足 则 的最大值是 （ ） A 1 B 5 C 2 D 3 答案： B 试题分析：画出如右图所示的可行域，再画出目标函数，可知在 处取得最大值，所以最大值为 5. 考点：本小题
4、主要考查利用线性规划知识求线性目标函数的最值，考查学生的画图能力和数形结合思想的应用 . 点评：求目标函数的最值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于 0，将其对应的直线 平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解 . 在空间，异面直线 ， 所成的角为 ，且 =( ) A B C 或 D 答案： A 试题分析：因为 是异面直线 ， 所成的角，所以 ，所以考点：本小题主要考查异面直线所成角的范围和同角三角函数关系的应用 . 点评：应用 时，一定要注意 的取值范围，注意是一个解还是两个解 . 将 的图像向右平移 个单位后所得的图像的一个对称轴是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：将
5、的图像向右平移 个单位后得到，由于对称轴过函数的最值点，所以把选项代入验证即可得到 A适合 . 考点：本小题主要考查三角函数的图象变换和性质，考查学生数形结合思想的应用 . 点评：三角函数图象变换涉及到振幅变换、周期变换和平移变换三种，其中平移变换时一定要注意 “左加右减 ”是相对于 来说的，一定要把 的系数提出来再计算 . 设向量 与 的夹角为 ， =（ 2， 1）， 3 + =（ 5， 4），则 =（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 =（ 2， 1）， 3 + =（ 5， 4），所以 ，所以考点：本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查学生的运算求解能力 . 点评：平面向量
6、的基本运算都比较简单，直接套用公式仔细计算即可 . 填空题 (几何证明选讲 )如图，在半径为 的 中， ， 为 的中点，的延长线交 于点 ，则线段 的长为 答案： 试题分析：在 中，因为 所以 , 由余弦定理知 .连接 ,在 中再次利用余弦定理可求出 ，所以 考点：本小题主要考查三角形的勾股定理、余弦定理的应用，考查学生的运算能力 . 点评：解决本题的关键是两次利用余弦定理 .正弦定理和余弦定理是考试的热点，要灵活应用 . (坐标系与参数方程 )在极坐标系中，定点 ，动点 在直线上运动，则线段 的最短长度为 答案： 试题分析：因为在极坐标系中，定点 ，所以在平面直角坐标系下的坐标为 ，即 ，同
7、理可知动点 在直线 上运动，所以线段 的最短长度即为点 到直线 的距离，所以最短距离为考点：本小题主要考查极坐标与平面直角坐标之间的互化，和点到直线的距离公式的应用 . 点评：要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，把极坐标问题转化为直角坐标问题解决 . 设 是定义在 上且周期为 2的函数，在区间 上， 其中 若 ，则 的值 为 答案： -10 试题分析：因为 是定义在 上且周期为 2的函数，所以所以 ，整理得： 又因为，代入整理得： ，两式联立可得 ，所以考点：本小题主要考查周期函数的求值和周期函数的性质，考查学生转化问题的能力和运算求解能力 . 点评：解决本题的关键是由题设得出 然后与
8、联立求解 . 已知函数 对应关系如表 1所示，数列 满足 ， ，则 . 1 2 3 3 2 1 答案： 试题分析： , , , 所以数列 是周期数列，周期为 2，所以 考点：本小题主要以函数为载体，考查数列的周期性 . 点评：解决此类问题的关键是找出数列的周期，而周期往往不是求的，而是写出数列的几项找出的规律 . 曲线 与坐标轴所围成的面积是 _. 答案： 试题分析：根据余弦函数图象的对称性可知曲线 与坐标轴所围成的面积是 考点：本小题主要考查利用定积分求曲边图象的面积 . 点评：利用定积分求面积，要特别注意分清被积函数的上下位置 . 阅读下列程序框图（图 2），该程序输出的结果是 答案： 试
9、题分析：运行过程如下： ， 不成立，所以 ； 不成立，所以 ； 不成立，所以 ； 成立，所以输出 考点：本小题主要考查程序框图的执行过程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力 . 点评：算法和程序框图是算法初步的核心，其中条件结构和循环结构是高考命题的重点，尤其是循环结构的程序框图是历年命题的热点，要注意初始值的变化，分清计数变量和累加（乘）变量，掌握循环题等关键环节 . 不等式 的解集为 _ 答案： 试题分析：当 时，原不等式可化为 ，即 ，所以 ； 当 时，原不等式可化为 ，即 ，所以 ； 当 时，原不等式可化为 ，即 ，所以 ， 综上所述，不等式 的解集为 . 考点：本小题主要考查含绝对
10、值的不等式的 求解，考查学生分类讨论思想的应用 . 点评：求解含绝对值的不等式，关键是通过讨论去掉绝对值号，讨论时要注意做到 “不重不漏 ”. 解答题 （本小题满分 12分） 甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 分，负者得 分，比赛进行到有一人比对方多 分或打满 局时停止设甲在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立若第二局比赛结束时比赛停止的概率为 （ 1）求 的值； （ 2）设 表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量 的分布列和数学期望 。 答案： (1) (2) 随机变量 的分布列为： 试题分析：（ 1）当甲连胜 2局或乙连胜 2局时，第二局比赛结束时比赛停止， 故 ，解得 或 又
11、，所以 6 分 （ 2）依题意知 的所有可能取值为 2， 4， 6 ， ， ， 所以随机变量 的分布列为： 所以 的数学期望 12 分 考点：本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率的计算和离散型随机变量的分布列和期望的计算，考查学生应用数学知识分析、解决实际问题的能力，难度一般 . 点评：求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 的取值情况，然后利用排列、组合和概率知识求出 取各个值的概率，求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算 . （本小题满分 14分） 如图，沿等腰直角三角形 的中位线 ，将平面 折起，平面 平面 ，得到四棱锥 ， ，设 、 的中
12、点分别为 、， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求证： （ 3）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。 答案： (1)见 (2)见 (3) 试题分析：（ 1）证明 : 平面 平面 ,交线为 , , 平面 . , 两两互相垂直， 以 为原点建立空间直角坐标系 , 2 分 因为 为等腰直角三角形，且 ，则 ， 则 , ， ， ， . , , , , , 平面 ,又 平面 平面 平面 . 5 分 （ 2） 分别为 的中点 , , . 设平面 的法向量 ,由于 则 即 , ,令 ，则 , . , 即 /平面 . 9 分 （ 3）由（ 2）可知平面 的法向量 相关试题 （本小题满分 14分） 已知曲线
13、 ： ，数列 的首项 ，且当 时 ,点恒在曲线 上，数列 满足 。 （ 1）试判断数列 是否是等差数列？并说明理由； （ 2）求数列 和 的通项公式； （ 3）设数列 满足 ，试比较数列 的前 项和 与 2的大小。 答案： (1)是，理由见 (2) (3) 试题分析：（ 1） 当 时 ,点 恒在曲线 上 , . 1 分 由 得 ,当 时， 5 分 数列 是公差为 的等差数列 . 6 分 （ 2） 4， 8 分 由 得 10 分 （ 3） 12 分 14 分 考点：本小题主要考查等差数列的判定、通项公式及裂项法求数列的前 项的和，考查了学生的运算求解能力 . 点评：证明一个数列是等差数列或是等比
14、数列，只能用定义法或等差（等比）中项，而且不要忘记强调 . （本小题满分 14分） 已知抛物线 的顶点为坐标原点，焦点在 轴上 . 且经过点 ， （ 1）求抛物线 的方程； （ 2）若动直线 过点 ，交抛物线 于 两点，是否存在垂直于 轴的直线 被以 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由 . 答案：（ 1） （ 2）存在， 试题分析：（ 1）设抛物线方程为 ， 将 代入方程得 ， . 4 分 （ 2）设 的中点为 ， 的方程为： ，以 为直径的圆交 于 两点， 中点为 ，设 ， 8 分 ， 12 分 . . 14 分 考点：本小题主要考查抛物线的标准方程和性质以
15、及抛物线与直线的位置关系、弦长公式、二次函数求最值等知识，考查学生的运算求解能力和推理论证能力 . 点评：圆锥曲线的题目是每年高考必考的题目，一般运算量较大，需要较强的运算能力 . （本小题满分 14分） 已知 ，函数 . ( )当 时，求使 成立的 的集合； ( )求函数 在区间 上的最小值 . 答案： ( ) ( )最小值为 试题分析：（ ）由题意， . 当 时， ，解得 或 ； 当 时， ，解得 . 综上，所求解集为 . （ ）设此最小值为 . 当 时，在区间 上， . 因为 ， ， 则 在区间 上是增函数，所以 . 当 时，在区间 上， ，由 知 . 当 时，在区间 上， . . 若 ，在区间 内 ，从而 为区间 上的增函数， 由此得 . 若 ，则 . 当 时， ，从而 为区间 上的增函数； 当 时， ，从而 为区间 上的减函数 . 因此，当 时， 或 . 当 时， ，故 ； 当 时， ，故 . 综上所述，所求函数的最小值 考点：本小题主要考查含绝对值的函数的最值的求法和利用导数求函数的最值，考查学生分类讨论思想的应用和运算求解能力 . 点评 :求解含绝对值的不等式或函数问题，关键是通过讨论去掉绝对值符号，讨论的时候要注意做到 “不重不漏 ”.
