1、2013届甘肃省张掖中学高三上学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 集合 则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： ，所以 . 考点：本小题考查集合的运算 . 点评：本考点主要考查子集、交集、并集、补集的求法，题目比较简单，多为选择题、填空题，要善于利用韦恩图、数轴解决问题 . 已知 R上可导函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：导函数 ，则函数单调递增，导函数 ，则函数单调递减，而不等式 等价于 或 ，结合图象可知不等式的解集为 . 考点：本小题主要考查函数的单调性与导函数的正负之间的关系和一元二次不等式的求解，考查了学
2、生综合运算所学知识解决问题的能力和分类讨论思想的应用 . 点评：函数的单调性与导函数的正负的关系要准确掌握，灵活应用，解不等式并且取交集或并集时要借助于数轴进行 . 将函数 的图像向右平移 个单位长度，所得图像经过点 则 的最小值是 ( ) A B C 1 D 2 答案： D 试题分析：函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函数，因为图像经过点 所以 ，所以 ， 的最小值为 考点：本小题主要考查三角函数的图象和性质、三角函数图象的平移等知识的综合运用，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：三角函数图象平移运用 “左加右减 ”原则时，要明确是对 增加或减少多少个单位长度 .
3、若直线 不平行于平面 ，且 ，则 ( ) A 内的所有直线与 异面 B 内不存在与 平行的直线 C 内存在唯一的直线与 平行 D 内的直线与 都相交 答案： B 试题分析：因为直线 不平行于平面 ，且 ，所以直线 与平面 相交，所以直线 与 内的任意一条直线都不平行，如若不然，如果 内有直线与 平行，且 ，所以 与平面 平行，与题设矛盾 . 考点：本小题主要考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力 . 点评：点线面的位置关系的判定和应用是立体几何的理论基础，要熟练掌握点、线、面位置关系的判定定理和性质定理并灵活运用 . 将圆 平分的直线是 ( )
4、A B C D 答案： B 试题分析： 可以化为标准方程为 ，将圆平分的直线应该过圆的圆心 ，将 分别代入四个选项中的直线，只有 B中的直线适合，所以应该选 B. 考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系和点与直线的位置关系的判断和应用 . 点评：判断出所求直线过圆心是解决本题的关键 . 设向量 与 垂直，则 等于 ( ) A B C D -1 答案： C 试题分析：因为 与 垂直，所以 ，即即 ，所以考点：本小题主要考查向量垂直的坐标运算和二倍角的余弦公式的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：两向量平行和垂直是非常重要的两种位置关系，它们的坐标运算应该掌握并灵活运用；二倍角的正弦、余弦公式
5、在高考中出现的频率非常大，更应该记准并灵活应用 . 函数 的零点个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案： B 试题分析：在同一坐标系中，分别画出函数 和函数 的图象，可以看出两函数的图象只有一个交点，所以函数 只有一个零点 . 考点：本小题主要考查函数零点的概念和数形结合判断零点的个数 ,考查学生的转化能力 . 点评：当一个函数中含有两种以上函数类型时，直接求解往往行不通，这时需要画出函数的图象，数形 结合判断函数的零点的个数 . 下列命题正确的是（ ） A B C 是 的充分不必要条件 D若 ,则 答案： C 试题分析： ,所以 A不正确；当 时， ，所以 B不正确；由 可以得
6、出 ，但是由 可以得出 或 ，所以 是 的充分不必要条件，所以 C正确；若 但所以 D错误 . 考点：本小题主要考查全称命题、特称命题的真假的判断和充分、必要条件以及不等式的性质，考查学生的逻辑推理能力和思维的严密性 . 点评：证明一个命题为假，只要举个反例即可；考查不等式的性质时，可以取特殊值进行验证 . 函数 的图像的对称轴方程可能是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：函数 的图像的对称轴方程为当 时， 为对称轴 . 考点：本小题主要考查三角函数图像的性质 对称轴，考查学生对三角函数性质的掌握和灵活应用 . 点评：本小题也可以把选项分别代入函数，根据对称轴过函数的最值点可以判断
7、出谁可能是对称轴 . “ ”是 “ ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： D 试题分析：由 ，有 ，所以由 推不出；反之，由 ，可以得出 或，推不出 ，所以 “ ”是 “ ”的既不充分也不必要条件 . 考点：本小题以三角函数为载体，考查充分条件与必要条件，考查学生的逻辑推理能力 . 点评：判断充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分 . 函数 的定义域是 ( ) A B C D 答
8、案： C 试题分析：要使函数 有意义，需 ，所以，所以函数的定义域为 . 考点：本小题主要考查函数的定义域的求法，考查学生的运算求解能力 . 点评：求函数的定义域，只需要让函数的每一部分都有意义即可，还要注意函数的定义域、值域都必须写成集合或区间的形式 . 在复平面上，复数 对应的点的坐标为 ( ) A (1,3) B (3,1) C (-1,3) D (3,-1) 答案： A 试题分析： 所以对应的点的坐标为 . 考点：本小题主要考查复数的运算和复数的几何意义 . 点评：复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意把 的幂写成最简形式 . 填 空
9、题 下列 4个命题： 函数 在第一象限是增函数； 函数 的最小正周期是 函数 ,若 ，则 的图象自身关于直线 对称； 对于任意实数 ，有 且 时 ,则 时 其中正确命题的序号是 .（填上所有正确命题的序号）； 答案： 试题分析： 函数 在第一象限是增函数是错误的，因为 在上是递增的，但是落在第一象限的并不都是 上的角； 结合图象可知，函数 的最小正周期是 ，所以 是错误的； 相当于 ，所以直线 是函数 的一条对称轴，所以 正确； 由题可知， 为奇函数， 为偶函数，而奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反，所以由时 , 有 时 ，所以 考点：本小题
10、主要考查三角函数的单调性、周期性、函数的对称轴与函数的奇偶性与导函数的关系，综合考查学生分析问题、解决问题的能力和逻辑推理能力以及数形结合思想方法的应用 . 点评：此题实际上相当于一道多项选择题，要想正确解决此类问题，需要牢固掌握多个知识点并能综合运用，难度较大 . 与直线 平行且与曲线 相切的直线方程是 答案： 试题分析：与直线 平行的直线可以设为 ，即，代入 整理可得 ，令，解得 ，所以所求直线方程为，即 . 考点：本小题主要考查平行直线的设法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生用函数观点解决几何问题的能力和运算求解能力 . 点评：与直线 平行的直线可以设为 ,这种设法比较简单，而解决直线
11、与圆锥曲线的位置关系问题，往往免不了要联立方程组，计算量比较大，要耐心、细心 . 已知 ，则 的值是 _ _ 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，所以考点：本小题主要考查二倍角的正弦、余弦公式和同角三角函数的基本关系式的综合应用，考查了学生准确、灵活运用公式解决 问题的能力和运算求解能力 . 点评：当所给式子是关于 的齐次式时，可以用题中的方法比较简单 .另外三角函数中公式较多，要准确掌握并灵活运用 . 如果等差数列 中， ，那么 答案： 试题分析：因为数列 等差数列，所以 所以 考点：本小题主要考查等差数列性质的应用 . 点评：等差数列的性质是解决与等差数列有关的题目的重要依据，要注意灵活应用
12、 . 解答题 （本小题满分 12分） 设命题 , 命题 (1)如果 ，且 为真时，求实数 的取值范围； (2)若 是 的充分不必要条件时，求实数 的取值范围 . 答案： (1) (2) 试题分析：由题意得， , (1)当 ，且 为真时，则 与 都为真， 而此时 ，则 的取值范围是 ； 6 分 (2)若 是 的充分不必要条件， 是 的充分不必要条件，即 ， 所以 ，所以 . 12 分 考点：本小题主要考查一元二次不等式的解法、复合命题的真假的判断及应用和利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，考查学生的运算求解能力 . 点评：遇到复合命题问题，首先把组成复合命题的两个命题为真的条件求出来，再根据
13、复合命题的真假判断两个命题的真假，再决定是否需要取补集，而且求交集时，最好 利用数轴辅助解题，不容易出错，但是必须注意端点处的值是否能够取到 . （本小题满分 12分） 设锐角三角形 的内角 的对边分别为 （ I）求 的大小； （ II）若 ， ，求 答案：（ I） （ II） 试题分析：（ I）因为 ，所以 ， 由正弦定理 ,可得 ，所以 , 又三角形 为锐角三角形，所以 . 6 分 （ II）因为 ， ，由（ I）知 ， 所以由余弦定理得： , 所以 . 12 分 考点：本小题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的运算求解能力和思维的严谨性 . 点评：在三角形中，要恰当选
14、择正弦定理或是余弦定理，把边化成角或是把角化成边 .需要特别注意的是求出 后，要强调 的取值范围才能得出. （本小题满分 12分） 某校高三年级要从 名男生 和 名女生 中任选 名代表参加学校的演讲比赛。 （ I）求男生 被选中的概率 （ II）求男生 和女生 至少一人被选中的概率。 答案：（ I） （ II） 试题分析：（ I）所有的选择方法有 共种，而男生 被选中的情况有 ，共 种， 所以男生 被选中的概率为 ； 6 分 （ II）男生 和女生 至少一人被选中的情况有共 种，所以男生 和女生 至少一人被选中的概率为 . 12 分 考点：本小题考查了古典概型的应用以及应用概率知识解决实际问题
15、的能力 . 点评：古典概型是基本事件个数有限，每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型，其概率等于随机事件所包含的基本事件的个数与基本事件总个数的比值 . （本小题满分 12分） 已知 是首项为 ，公差为 的等差数列， 为 的前 项和 . （ I）求通项 及 ； （ II）设 是首项为 1，公比为 3的等比数列，求数列 的通项公式及其前 项和 . 答案：（ I） , （ II） , 试题分析：（ I）由题意知 : ; 3 分 . 6 分 （ II）由题意知 ,所以 ， 则 . 12 分 考点：本小题主要考查等差、等比数列的通项公式与前 项和公式的应用和分组求和，考查学生的运算求解能力 . 点评
16、：等差数列和等比数列既相互区别，又相互联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，将两类数列综合起来考查是高考的重点 .学生容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，二是不能灵活利用等差等比数列的性质，导致运算较为复杂 . （本小题满分 12分） 设函数 在 及 时取得极值 （ I）求 的值； （ II）若对于任意的 ，都有 成立，求 c的取值范围 答案：（ I） （ II） 试题分析：（ I）由题意知， , 因为函数在 及 时取得极值，所以 及 是导函数的两个根 , 由韦达定理知： ，即 . 6 分 （ II）由（ I）知 ， 所以 ， 令 得： ， 所以当 时，函数在 上单调递增，在
17、 上单调递减， 8分 又因为 所以 在 上的最大值为 ， 10分 所以 ，解得： . 12 分 考点：本小题主要考查由导数研究函数的单调性、极值、最值和恒成立问题，考查学生的转化能力和运算求解能力 . 点评：函数的极值点一定是导函数为零的点，但导函数为零的点不一定是极值点；根据函数的极值点和端点处的函数值进行比较，就能得出函数的最值，而恒成立问题一般转化为最值问题进行解决 . （本小题满分 10分）（选修 4-4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系中，直线 的参数方程为 为参数） .若以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 的极坐标方程为. （ I）求曲线 的直角坐标方程 ; （ II）求直线 被曲线 所截得的弦长 . 答案：（ I） （ II） 试题分析：（ I） 由 得： , 两边同乘以 得： , ,即 5 分 （ 2）将直线参数方程代入圆 的方程得： ， 8 分 10分 考点：本小题主要考查了极坐标和平面直角坐标之间的转化以及弦长公式，考查了学生的转化和划归意识 . 点评：抓住极坐标与平面直角坐标互化公式并准确应用是解决此类问题的关键，高考中对该部分重点考查极坐标与直角坐标的互化以及圆的极坐标问题 .
