1、2014届北京市朝阳二模文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若全集 ， ， ，则集合 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ,所以 而所以选 A. 考点：集合运算 已知平面上点 其中 ，当 ，变化时，则满足条件的点 在平面上所组成图形的面积是（ ） A B ( C D 答案： C 试题分析：圆心 在圆 上运动一周，点 在平面上所组成图形为以坐标原点为圆心， 6为半径的实心圆减去以坐标原点为圆心， 2为半径的实心圆的一个圆环，面积是 . 考点：圆的方程，动点轨迹 设等差数列 的公差为 ，前 项和为 .若 ，则 的最小值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意得：
2、 ，所以当且仅当 时取等号 .因此 的最小值为 . 考点：基本不等式求最值 在区间 上随机取一个实数 ，则事件： “ ”的概率为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 ， 得： ，所以事件： “ ”的概率为 考点：几何概型概率 由直线 ， 和 所围成的三角形区域 (包括边界 )用不等式组可表 示为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意得：所围成的三角形区域在直线 的上方，直线的下方，及直线 的右侧，所以 ， ，考点：不等式组表示平面区域 执行如图所示的程序框图若输入 ,则输出 的值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 答案： C 试题分析：第一次循环， 第二次循环，
3、 第三次循环，第四次循环， 结束循环，输出 考点：循环结构流程图 已知抛物线 ,则它的焦点坐标是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为抛物线 的焦点坐标为 所以抛物线 的焦点坐标是 . 考点：抛物线焦点 下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的函数为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 是奇函数但在区间 上不是单调函数 在区间上单调递增但不是奇函数， 既是奇函数又在区间 上单调递增的函数， 在区间 上单调递增但不是奇函数 . 考点：函数奇偶性及单调性 填空题 在如图所示的棱长为 的正方体 中，作与平面 平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是 _；截得的平面图形中
4、，面积最大的值是 _. 答案： , 试题分析：截得的三角形中，面积最大的是三角形 ，面积为截得的平面图形中，面积最大的是正六边形，如图，面积为 考点：空间想象 设一列匀速行驶的火车，通过长 860 的隧道时 ,整个车身都在隧道里的时间是 .该列车以同样的速度穿过长 790 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时 ，则这列火车的长度为 _ . 答案： 试题分析：设这列火车的长度为 ，则由题意得： . 考点：实际问题应用题 由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 答案： , 试题分析：由题意得：两个四棱锥全等，它们的高为 ，底面为边长为 2的正方形因此体积为 表
5、面积为 8个全等的边长为 2的等边三角形面积之和，即 考点：三视图 圆心在 轴上，半径长是 ，且与直线 相切的圆的方程是 答案： 和 试题分析：设圆心为 ，因为与直线 相切，所以 或因此圆的方程是 和 考点：圆的标准方程 已知两点 ， ，若 ，则 点的坐标是 . 答案： 试题分析：设 点的坐标是 ，则由 得即 点的坐标是 . 考点：向量坐标运算 计算 . 答案： 试题分析： 考点：复数运算 解答题 在 中， ， ， 分别是角 的对边 .已知 ， . （ 1）若 ，求角 的大小； （ 2）若 ，求边 的长 . 答案：（ 1） （ 2） . 试题分析：（ 1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边
6、角转化 . 由正弦定理 ，得 ，解得 .由于 为三角形内角， ，则 ，所以 .（ 2）由余弦定理 得整理得 ，又 ，所以 .本题也可由正弦定理得 ，解得 .由于 ,所以 .由 ，得. 由勾股定理 ，解得 . （ 1）解：由正弦定理 ， 得 ，解得 . 由于 为三角形内角， ，则 ，所以 . 6分 （ 2）依题意， ，即 .整理得 ， 又 ，所以 . 13分 另解： 由于 ，所以 ，解得 . 由于 ,所以 . 由 ，得 . 由勾股定理 ，解得 . 13分 考点：正余弦定理 某市规定，高中学生在校期间须参加不少于 80小时的社区服务才合格某校随机抽取 20位学生参加社区服务的数据，按时间段（单位：
7、小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示 （ ）求抽取的 20人中，参加社区服务时间不少于 90小时的学生人数； （ ）从参加社区服务时间不少于 90小时的学生中任意选取 2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率 答案：（ ） 6,（ ） 试题分析：（ ）根据频率分布直方图中小长方形面积为频 率，而频数为总数与频率之积 . 因此参加社区服务在时间段 的学生人数为（人），参加社区服务在时间段 的学生人数为（人）所以参加社区服务时间不少于 90小时的学生人数为（人）（ ）解概率应用题，要注意 “设、列、解、答 ”. 设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件 由（ ）可知，参加社区
8、服务在时间段的学生有 4人，记为 ；参加社区服务在时间段 的学生有2人，记为 .从这 6人中任意选取 2人有共 15种情况事件 包括共 7种情况所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率 解：（ ）由题意可知， 参加社区服务在时间段 的学生人数为 （人）， 参加社区服务在时间段 的学生人数为 （人） 所以参加社区服务时间不少于 90小时的学生人数为 （人） 5分 （ ）设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件 由（ ）可知， 参加社区服务在时间段 的学生有 4人，记为 ； 参加社区服务在时间段 的学生有 2人，记为 从这 6人中任意选取 2人有 共15种情况 事件 包括 共 7种情况 所以
9、所选学生的服务时间在同一时间段内的概率 13分 考点：频率分布直方图 ,古典概型概率 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 底面 （ ）若 ， 分别为 ， 中点，求证： 平面 ； （ ）求证： ； （ ）若 ，求证：平面 平面 答案：（ ）详见，（ ）详见，（ ）详见 . 试题分析：（ ）证明线面平行，关键在于找出线线平行 .本题条件含中点，故从中位线上找线线平行 . ， 分别为 ， 中点，在 中， 是中点， 是 中点，所以 又因为 平面 ， 平面，所以 平面 （ ）由面面垂直性质定理可得线面垂直，因为平面 底面 ，且平面 平面 ，又 ，平面 ，所以 面 又因为 平面 ，所以 即（ ）证明
10、面面垂直，关键找出线面垂直 . 在 中，因为，所以 由（ ）可知 ，且 ， 所以 平面 又因为 平面 ，所以平面 平面 证明：（ ）如图，连结 因为底面 是正方形， 所以 与 互相平分 又因为 是 中点， 所以 是 中点 在 中， 是 中点， 是 中点， 所以 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 4分 （ ）因为平面 底面 ，且平面 平面 ， 又 ， 已知函数 （ , ） . （ ）当 时，求曲线 在点 处切线的方程； （ ）求函数 的单调区间； （ ）当 时， 恒成立，求 的取值范围 . 答案：（ ） ,（ ） 时，函数 的单调增区间为 ；单调减区间为 ， . 时 , 函数 的单调增区间
11、为 ， ;单调减区间为 .（ ） 试题分析：（ ）利用导数的几何意义，在 处切线的斜率为 即为因为 ，所以当 时， . ，又 ，则曲线 在 处切线的方程为 . （ ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域 ，再导数值的符号确定单调区间 . （ 1）若，当 ，即 时，函数 为增函数；当 ，即 和时，函数 为减函数 . 若 ，当 ，即 和 时，函数 为增函数；当 ，即 时，函数 为减函数 .（ ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题 . 当 时，要使恒成立，即使 在 时恒成立 . 设 ，易得，从而 . （ ） , . 当 时， . 依题意 ，即在 处切线的斜率为 . 把 代入 中，得 .
12、 则曲线 在 处切线的方程为 . .4分 （ ）函数 的定义域为 . . （ 1）若 ， 当 ，即 时，函数 为增函数； 当 ，即 和 时，函数 为减函数 . （ 2）若 ， 当 ，即 和 时，函数 为增函数； 当 ，即 时，函数 为减函数 . 综上所述， 时，函数 的单调增区间为 已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，右焦点到右顶点的距离为 . （ ）求椭圆 的标准方程； （ ）若直线 与椭圆 交于 两点，是否存在实数 ，使成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 . 答案：（ ） ,（ ）不存在 . 试题分析：（ ）求椭圆标准方程，关键利用待定系数法求出 a,b. 由 .
13、及，解得 ， 所以 所以椭圆 的标准方程是（ ）存在性问题，一般从假设存在出发 ,建立等量关系，有解就存在，否则不存在 . 条件 的实质是垂直关系，即.所以 ,把 代入椭圆 C: 中，整理得 .整理得 ，矛盾 （ ）设椭圆 的方程为 ，半焦距为 . 依题意 解得 ， ，所以 . 所以椭圆 的标准方程是 . .4分 （ ）不存在实数 ，使 ，证明如下： 把 代入椭圆 C: 中，整理得 . 由于直线 恒过椭圆内定点 ，所以判别式 . 设 ，则 , . 依题意，若 ，平方得 . 即 , 整理得 ， 所以 , 整理得 ，矛盾 所以不存在实数 ，使 . .14分 考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系
14、已知函数 对任意 都满足 ，且 ，数列 满足： ， . （ ）求 及 的值 ; （ ）求数列 的通项公式 ; （ ）若 ，试问数列 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由 . 答案：（ ） , ,（ ） ,（ ）当 ，即时， 的最大项为 .当 ，即 时， 的最小项为 . 试题分析：（ ）对应抽象函数，一般方法为赋值法 . 在中，取 ，得 ，在中，取 ，得 ，（ ）在中，令 ， ，得 ，即.所以 是等差数列，公差为 2，又首项 ，所以, .（ ）研究数列 是否存在最大项和最小项，关键看通项公式的特征 .令 ，则 ，显然 ，又因为 ，所以当 ，即 时， 的最大项为 .当 ，即时， 的最小项为 解：（ ）在 中，取 ，得 ， 在 中，取 ，得 ， 2分 （ ）在 中，令 ， ， 得 ，即 . 所以 是等差数列，公差为 2，又首项 ，所以 , . 6分 （ ）数列 存在最大项和最小项 令 ，则 ， 显然 ，又因为 ， 所以当 ，即 时， 的最大项为 . 当 ，即 时， 的最小项为 . 13分 考点：等差数列，赋值法研究抽象函数
