1、2014届吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ，集合 ，则下列关系中正确的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， 或 ，则 ，故选考点：集合的运算。 设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有，则不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由 ， 得： ，令 ，则当 时， ，即 在 是减函数， ，由题意： 又在 是减函数， ，即 ，故选 考点： 1求导； 2用导数研究函数的单调性。 已知直线 与双曲线 交于 ， 两点 ( ， 不在同一支上 )， 为双曲线的两个焦点，则 在（ ） A以 ， 为焦点的双曲线上 B
2、以 ， 为焦点的椭圆上 C以 ， 为直径两端点的圆上 D以上说法均不正确 答案： B 试题分析：不妨设双曲线焦点在 轴上，方程为 （ 0， 0），分别为双曲线的左、右焦点，且 ， 分别在左、右支上，由双曲线定义：， ，则 ，由椭圆定义可知， 在以 、 为焦点的椭圆上 .故选 考点： 1双曲线的简单性质； 2双曲线的定义； 3椭圆的定义。 已知函数 ，则 的图象大致为（ ） 答案： A 试题分析： ，令 ，则，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现 与 共有三个交点，横坐标从小到大依次设为 ，在 区间上有 ，即 ；在区间 有 ，即；在区间 有 ，即 ；在区间 有，即 .
3、故选 考点： 1转化思想； 2函数图像。 设 ，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析：易知 ， ，又 ，所以 ， ， ，故选 考点： 1对数函数的单调性； 2对数函数的图像。 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是 1，高是 2，所以母线长为 ，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即，故选 考点： 1三视图； 2几何体的表面积。 抛物线 到焦点的距离为 ，则实数 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由抛物线方
4、程 及点 可知，抛物线 ，排除 ，又 到焦点的距离为 ，且该抛物线准线方程为 ，所以，解得 ，故选 . 考点：抛物线的定义。 以下四个命题： 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； 若两个变量的线性相关性越强，则它们的相关系数的绝对值越接近于 ； 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； 对分类变量 与 的随机变量 K2的观测值 k来说， k越小，判断 “ 与 有关系 ”的把握越大其中真命题的序号为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 应为系统（等距）抽样； 线性相关系数 的绝对值越接 近 1，
5、两变量间线性关系越强； 在残差图中 ,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄 ,其模型拟合的精度越高； 显然错误故选 考点： 1变量间的相关关系； 2独立性检验。 运行如图所示的程序框图，若输出的 是 ，则 应为（ ） A B C D 答案： c 试题分析：由程序框图算法可知， ，由于输出 ，即，解得 ，故 应为 “ ”，故选 考点：算法程序框图。 已知命题 ：函数 的图象恒过定点 ；命题 ：若函数为偶函数，则函数 的图像关于直线 对称，则下列命题为真命题的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：函数 的图象可看成把函数 的图象上每一个点的横坐标向左平移一个单位得到，而 的图象恒过 ，所以
6、的图象恒过，则 为假命题；若函数 为偶函数，即 的图象关于 轴对称， 的图象即 图象整体向左平移一个单位得到，所以的图象关于直线 对称，则 为假命题；参考四个选项可知，选考点： 1函数过定点问题； 2函数的奇偶性； 3函数图像的平移； 4复合命题真假判断。 已知向量 , , ,若 为实数， ，则 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ，又 ， ，即 ，解得 ，故选 考点：向量的数量积公式。 设 是虚数单位，则 等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，故选 考点：复数的运算和模长。 填空题 已知数列 中 , , , ,则 = . 答案： 试题分析： ， ， ，
7、考点：数列求和。 如图，在长方体 中， 分别是棱 ， 上的点（点与 不重合），且 ，过 的平面与棱 ， 相交，交点分别为 设 ， ， 在长方体内随机选取一点，则该点取自于几何体 内的概率为 . 答案： 试题分析：因为 ，则 ，所以 平面 ，过的平面与平面 交于 ，则 ，所以易证明几何体和 是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，长方体内任一点取自于几何体 内的概率为 : . 考点： 1几何体的体积； 2几何概型概率。 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 . 答案： 试题分析： 作出可行域如图，令 ，则 ，作出目标直线，经过平移， 当经过 点时， 取得最大值，联立 得 ，代入得 ，
8、考点：线性规划。 在 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若，则 . 答案： 试题分析：由正弦定理， ，所以 ，即， 考点： 1正弦定理； 2余弦定理。 解答题 已知直线 的参数方程为 为参数 )，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 （ 1）求圆 的直角坐标方程； （ 2）若 是直线 与圆面 的公共点，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）根据公式 将极坐标方程转化为直角坐标方程。（ 2）法一：设 ，将圆 的一般方程化为标准方程即可得圆心的坐标和圆的半径。将直线 化为普通方程。联立方程组可得两交点坐标。根据题意可知点 即在这
9、两点连线的线段上。将两交点坐标代入 即可得其最值。 试题：（ 1）因为圆 的极坐标方程为 所以 又 所以 所以圆 的直角坐标方程为： . 5分 （ 2）解法 1： 设 由圆 的方程 所以圆 的圆心是 ，半径是 将 代入 得 8分 又直线 过 ，圆 的半径是 ，由题意有： 所以 即 的取值范围是 . 10分 解法 2： 直线 的参数方程化成普通方程为： 6分 由 解得 ， 8分 是直线 与圆面 的公共点， 点 在线段 上， 的最大值是 ， 最小值是 的取值范围是 . 10分 考点： 1极坐标和直角坐标方程的互化； 2参数方程和普通方程间的互化； 3线性规划问题。 如图， 是圆 的直径， 是 延长
10、线上的一点， 是圆 的割线，过点 作 的垂线，交直线 于点 ，交直线 于点 ，过点 作圆的切线，切点为 . （ 1）求证 : 四点共圆；（ 2）若 ,求 的长 . 答案：（ 1）详见；（ 2） 12 试题分析：（ 1）根据四边形的外角等于内角的对角时四点共圆，证问题即可得证。（ 2）由（ 1） 可知 四点共圆，则可根据切割弦定理求边长。 试题：（ 1） 证明：连结 ， 是圆 的直径， 在 和 中， 又 四点共圆 . 5分 （ 2） 四点共圆， 是圆 的切线， 又因为 . 10分 考点： 1四点共圆； 2切割弦定理。 已知函数 在 处切线为 . （ 1）求 的式； （ 2）设 ， ， ， 表示直
11、线 的斜率，求证：. 答案：（ 1） ；（ 2）见 试题分析：（ 1）将切点代入切线方程可得 。由切线方程可知切线的斜率为 1，根据导数的几何意义可得 。解方程组即可求得 的值。从而可得 的式。（ 2）可将问题转化证 ，因为 所以即证，分别去证 和。再证这两个不等式时均采用构造函数求其最值的方法证明即可。用其他方法证明也可。 试题：（ 1） ， ， 由 得 3分 把 代入 得 ，即 ， . 5分 （ 2）证法 1： 证明：由（ 1） 证明 即证 各项同除以 ，即证 8分 令 ，则 ，这样只需证明 即 设 , , ， ，即 在 上是增函数 ，即 10分 设 ， 在 也是在增函数 ，即 从而证明了
12、 成立，所以 成立 . 12分 证法 2： 证明： 等价于 即 8分 先证 ， 问题等价于 ，即 设 ，则 在 上是增函数， ， ， ， 得证 . 10分 再证 ， 问题等价于 ，即 设 ，则 在 上是减函数， 相关试题 2014届吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试文科数学试卷（带） 如图，已知点 是离心率为 的椭圆 ： 上的一点，斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，且 、 、 三点互不重合 （ 1）求椭圆 的方程；（ 2）求证：直线 ， 的斜率之和为定值 答案：（ 1） ；（ 2）详见 试题分析：（ 1）根据题意及 列方程组可得 的值。即可得此椭圆方程。（ 2）设出 的坐标及直线 的方程
13、与椭圆方程联立消掉 可得关于 的方程，根据题意可知判别式应大于 0，根据韦达定理可得此方程的两根之和与两根之积。即点 横坐标间的关系，代入直线方程，可得点 纵坐标之间的关系。然后根据斜率公式可得斜率之和，将其化简问题即可得证。 试题：由题意，可得 ，代入 得 ，又 ， 2分 解得 ， ， ， 所以椭圆 的方程 . 5分 (2)证明：设直线 的方程为 ，又 三点不重合， ，设 ， ， 由 得 所以 8分 设直线 ， 的斜率分别为 ， ， 则 (*) 10分 将 、 式代入 (*)， 整理得 ， 所以 ，即直线 的斜率之和为定值 . 12分 考点： 1椭圆的标准方程； 2直线和圆锥曲线的位置关系问
14、题； 3定值问题。 如图，已知四棱锥 ，底面 是等腰梯形，且 ， 是中点， 平面 ， ， 是 中点 （ 1）证明：平面 平面 ；（ 2）求点 到平面 的距离 . 答案：（ 1）详见；（ 2） 试题分析：（ 1）根据中位线可得 ，从而可证得 平面 。证四边形 为平行四边形可得 平面 ，从而可证得平面 平面。（ 2）根据已知条件可得三棱锥 的体积，根据体积转化发即可求得点 到平面 的距离。 试题： (1) 证明：由题意， ， = 四边形 为平行四边形，所以 . 又 ， 又 平面 ， 平面 平面 4分 同理， 平面 ，又 平面 平面 . 6分 （ 2）设求点 到平面 的距离为 . 因为 V 三棱锥
15、A-PCD= V 三棱锥 P-ACD即 . 12分 考点： 1线线平行、线面平行； 2点到面的距离。 对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率分布直方图如下 . （ 1）求 ，并根据图中的数据，用分层抽样的方法抽取 个元件，元件寿命落在 之间的应抽取几个？ （ 2）从（ 1）中抽出的寿命落在 之间的元件中任取 个元件，求事件“恰好有一个元件寿命落在 之间，一个元件寿命落在 之间 ”的概率 . 答案：（ 1） 5；（ 2） 试题分析：（ 1）根据频率分布直方图各矩形面积和为 1可得 ，分层抽样是按比例抽取，所以根据比值可求得件寿命落在 之间的抽取个数。（ 2）分别求出落在 之间和落在 之
16、间的元件个数。人后用例举法将寿命落在 之间的元件中任取 个元件的所有事件一一例举出来，再将“恰好有一个元件寿命落在 之间，一个元件寿命落在 之间 ”的事件一一例举，最后根据古典概型概率公式可求其概率。 试题：（ 1）根据题意： 解得 2分 设在寿命落在 之间的应抽取 个，根据分层抽样有： 4分 解得： 所以寿命落在 之间的元件应抽取 个 6分 （ 2）记 “恰好有一个寿命落在 之间，一个寿命为 之间 ”为 事件 ，易知，寿命落在 之间的元件有 个，分别记 ，落在之间的元件有 个，分别记为： ，从中任取 个元件，有如下基本事件： ， ，共有 个基本事件 . 9分 事件 “恰好有一个寿命落在 之间
17、，一个寿命为 之间 ”有： ， ，共有 个基本事件 10分 11分 事件 “恰好有一个寿命落在 之间，一个寿命为 之间 ”的概率为 12分 考点： 1频率分布直方图； 2古典概型概率公式。 已知 为锐角，且 ，函数 ，数列 的首项 ， . （ 1）求函数 的表达式；（ 2）求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）先用正切的二倍角公式可得 的正切值为 1，从而可得，从而可求得 的值，从而可得函数 的表达式。（ 2）根据等差数列的定义可得数列 是等差数列，从而根据等差的通项公式可求其通项，然后再用公式求数列的前 项和 。 试题：（ 1）由 ， 是锐角， 4分 .6分 （
18、 2） ， （常数） 8分 是首项为 ,公差 的等差数列 , ， 10分 .12分 考点： 1三角函数的化简； 2数列的通项公式和前 项和。 设函数 . （ 1）若不等式 的解集为 ，求 的值； （ 2）若存在 ，使 ，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）根据绝对值不等式公式可得 的解集，根据其解集与集合 可得 的值。（ 2）令 ，根据绝对值内式子的正负去绝对值将函数改写为分段函数，根据函数的单调性求 的最值，使其最大值小于 3即可。 试题：由题意可得 可化为 ， ，解得 . 5分 （ 2）令 ， 所以函数 最小值为 ， 根据题意可得 ，即 ，所以 的取值范围为 .10分 考点： 1绝对值不等式； 2函数最值问题。
