1、2014届四川省成都石室中学高三上学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ，集合 ，则集合 =（ ） A B C D 答案： C 试题分析： . 考点：集合的基本运算 . 已知函数 则函数 的零点个数（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 答案： C 试题分析：由 得： .由 得： .所以 ；此时，每一段都是单调递增的，且， ， .由此可作出其简图如下图所示（实线部分）： 由图可知，该函数有 4个零点 . 考点： 1、分段函数； 2、函数的零点 . 已知向量 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为（ ） A 3 B C D 答案： B 试题分析：因为 ，所以. 考点：向量的相关
2、概念及运算 . 袋中共有 个除了颜色外完全相同的球，其中有 个红球， 个白球和 个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：概率 . 考点：古典概型 . 设实数 和 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：作出 表示的平面区域如图所示： 由图可知，当直线 过点 时， 取最大值，最大值为. 考点：线性规划 . 如图程序运行后 ,输出的值是（ ） A -4 B 5 C 9 D 14 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ，应输出 -4. 考点：程序框图 . 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 次，两人成绩的条形统
3、计图如图所示，则说法正确的是（ ） A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 答案： C 试题分析：由图可得，平均数都为 6，所以 A错；甲的成绩的中位数为 6，乙的成绩的中位数为 5，所以 B错；甲的方差为 2，乙的方差为 ，所以 C正确 . 考点：统计及样本数据的基本数字特征 . 已知数列 是等差数列，且 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，所以考点： 1、等差数列； 2、三角函数求值 . 已知复数 为纯虚数，其中 i虚数单位，则实数 x的值为（ ） A
4、- B C 2 D 1 答案： B 试题分析： .因为复数为纯虚数，所以 . 考点：复数的概念及基本运算 . 函数 的最小正周期是（ ） A B C 2 D 4 答案： B 试题分析： ，所以周期 . 考点：三角变换及三角函数的周期 . 填空题 已知正数 满足 则 的取值范围是 . 答案： 试题分析： .由 得： . 所以 ，当 时取等号 . 又当 时， ，所以 . 考点：不等式的应用 . 已知函数 若存在 ，当 时，则 的取值范围是 . 答案： 试题分析：作出函数 的图象如图所示，由图可知： .选 . 考点： 1、分段函数； 2、不等关系 . 若某几何体的三视图 (单位： cm)如图所示，则
5、此几何体的体积是 cm 答案： 试题分析：由三视图可知，该几何体是半个圆锥 .其体积为. 考点： 1、三视图； 2、几何体的体积 . 已知等差数列 中， 为其前 n项和，若 ， ，则当 取到最小值时 n的值为 _. 答案：或 8 试题分析：因为 是等差数列，所以.又 所以公差 .所以数列 ，是一个递增数列，且前 7项均为负数，第八项为 0，从第 9项起为正数，所以 且最小，即 n的值为 7或 8. 考点： 1、等差数列； 2、数列前 n项和的最值 . 某工厂生产 三种不同型号的产品，三种产品数量之比依次为 ，现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为 的样本，样本中 型号的产品有件，那么此样本容量
6、 答案： 试题分析： . 考点：分层抽样 . 解答题 已知数列 的各项均是正数，其前 项和为 ，满足 . （ I）求数列 的通项公式； （ II）设 数列 的前 项和为 ，求证： . 答案：（ ） . （ ）详见 . 试题分析：（ ）首先令 求出首项 ， . 由 两式相减，得 即 .所以， 数列 是首项为 2，公比为 的等比数列 .由等比数列的通项公式便可得数列的通项公式 . （ ）证明有关数列前 项和的不等式，一般有以下两种思路：一种是先求和后放缩，一种是先放缩后求和 .在本题中，由（ ）可得：， .这显然用裂项法求和，然后用放缩法即可证明 . 试题：（ ）由题设知 ， 2分 由 两式相减，
7、得 . 所以 . 4分 可见，数列 是首项为 2，公比为 的等比数列。 所以 6分 （ ） ， 8分 . 10分 = . 12分 考点： 1、等比数列； 2、裂项法； 3、不等式的证明 . 已知 中，角 的对边分别为 ，且有. （ 1）求角 的大小； （ 2）设向量 ，且 ，求 的值 . 答案： (1) ； (2) . 试题分析：（ 1） 这个等式中既有边又有角，这种等式一般有两种考虑：要么只留边，要么只留角 .在本题中这两种方法都行 . 思路一、由正弦定理得： ，然后用三角函数公式可求出 . 思路二、由余弦定理得： ，化简得.再由余弦定理可得 . (2)由 得； 解这个方程，可求出 的值，再
8、用正切和角公式可求出 . 试题： (1)法一、 6分 法二、由余弦定理得： ，化简得： ， 即 . 所以 ， 6分 (2) 或者 . 当 时， （舍去）； 当 时， . 12分 考点： 1、三角变换； 2、正弦定理与余弦定理； 3、向量 . 如图，四棱锥 的底面是正方形， ，点 在棱上 . （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）当 ，且 时，确定点 的位置，即求出 的值 . 答案：（ 1）详见； (2) ； (3) . 试题分析：（ 1）证面面垂直，先证明线面垂直 .那么证哪条线垂直哪个面？因为 ABCD是正方形， .又由 平面 可得 ，所以可证 平面 ，从而使问题得证 . (2)设 AC 交
9、 BD=O.由（ 1）可得 平面 ，所以 即为三棱锥的高 .由条件易得 . 因为 ，所以可求出底面 的面积 .又因为 PD=2，所以可求出点 E到边 PD的距离，从而可确定点 E的位置 . 试题：（ 1）证明： 四边形 ABCD是正方形 ABCD， . 平面 , 平面 ，所以 . ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 . (2) 设 . , . 在直角三角形 ADB中， DB=PD=2，则 PB= 中斜边 PB的高 h= 即 E为 PB的中点 . 考点： 1、平面与平面的垂直； 2、几何体的体积 . （本题满分 12 分）成都市为 “市中学生知识竞赛 ”进行选拔性测试，且规定：成绩大
10、于或等于 90分的有参赛资格， 90分以下（不包括 90分）的则被淘汰。若现有 500人参加 测试，学生成绩的频率分布直方图如下： （ I）求获得参赛资格的人数； （ II）根据频率直方图，估算这 500名学生测试的平均成绩； （ III）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有 3次选题答题的机会，累计答对 2题或答错 2题即终止，答对 2题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为 ，求甲通过初赛的概率 . 答案：（ I） 125；（ II） 78.48；（ III） . 试题分析：（ I）将频率分布直方图中 90150的小矩
11、形的面积相加，便得获得参赛资格的人数的频率 .频率乘以测试总人数 500，便得获得参赛资格的人数 . （ II）在频率分布直方图中，平均值等于每小组的频率乘以每小组中点的值的和 . （ III）已知连续两次答错的概率为 ，由此可得答对每一道题的概率 .甲通过初赛包括以下两种情况：连续答对 2个或前 2题中恰好答对 1个且第 43个题答对，根据独立事件及互斥事件的概率公式可得甲通过初赛的概率 . 试题：（ I）获得参赛资格的人数 2分 （ II）平均成绩： 5分 （ III）设甲答对每一道题的概率为 .P 则 甲通过初赛 的概率为： . 12分 考点： 1、频率分布直方图及样本数据的平均数； 2
12、、独立事件与互斥事件的概率 . 已知函数 . ( )若 时，求 的值域； ( )若存在实数 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ I） 的值域为： .（ II） . 试题分析：（ I）将二次函数 配方，结合抛物线的图象便可得的值域 . （ II）由 恒成立得： 恒成立， 令 ， 则只需 的最大值小于等于 0. 由此得： ，令 则原题可转化为：存在 ，使得 .这又需要 时 .接下来又对二次函数 分情况讨论，从而求出实数的取值范围 . 试题：（ I）将二次函数 配方得： 2分 该函数的图象是一条开口向上的抛物线，顶点为 ， . 因为 ，所以 最大值为 ， 的值域为： 6分 （ II
13、）由 恒成立得： 恒成立， 令 ， 因为抛物线的开口向上，所以，由 恒成立知： 8分 化简得： 令 则原题可转化为：存在 ，使得 即：当 ， 10分 ， 的对称轴： 即： 时， 解得： 当 即： 时， 解得： 综上： 的取值范围为： 13分 法二：也可 ， 化简得： 有解 . ，则 . 考点： 1、二次函数； 2、函数的最值； 3、解不等式 . 设 和 是函数 的两个极值点，其中 ， ( ) 求 的取值范围； ( ) 若 ，求 的最大值（ e是自然对数的底数） 答案： ( ) 的取值范围是 ( ) 的最大值是 试题分析： ( )函数 的定义域为 ，因为 和 是函数的两个极值点，所以 、 就是方
14、程有两个不等的正根（其中 ）由此可求得 的范围故，并且可找到 、与 之间的关系，从而 可以用 表示出来，这样根据 的范围便可求出 的范围 . ( )首先 是怎样的一个式子？ . .这个式子中的 都是变量，能否变成一个？ 由题设可得 ，这样 ，由此可 令，从而 .接下来就根据 的范围求出 的范围，进而求出的范围 试题： ( )函数 的定义域为 ， 1分 依题意，方程 有两个不等的正根 ， （其中 ）故 ， 3分 并且 所以， 故 的取值范围是 6分 ( )解 :当 时， 若设 ，则 于是有 构造函数 （其中 ），则 所以 在 上单调递减， 故 的最大值是 14分 考点： 1、导数的应用； 2、不等关系 .
