1、2014届江苏省扬州中学高三 12月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 ， 的所有非空子集中的最小元素的和为 ，则 = 答案： 试题分析：这个问题主要是研究集合 中的每个元素在和 中分别出现多少次，事实上，以 为例，集合 中比 大的所有元素组成的集合 的所有子集共有 个，把 加进这些子集里形成新的集合，每个都是最小元素为 的集合 的子集，而最小元素为 的集合 的子集也就是这些，故在 中出现 次，同理 出现 次， ， 出现 1次，所以有，这个和用错位相减法可求得 考点：子集的个数，借位相减法求数列的和 填空题 已知集合 ， ，则 答案： 试题分析：集合 的元素都是函数的值域，这是我们在
2、解与集合有关问题时，一定要弄清的东西，一个集合元素是什么？代表元是什么？而集合的交集就是由两个集合的公共元素所组成的集合 考点：集合的交集 已知椭圆与 轴相切，左、右两个焦点分别为 ，则原点 O到其左准线的距离为 答案： 试题分析：这一题已经超过江苏高考数学要求，同学们权当闲聊观赏由于本题椭圆不是标准方程，我们只能根据椭圆的定义来解题 ，所以椭圆短轴所在直线方程为 ，即 ，原点 到短轴所在直线的距离为 由椭圆（实际上是所有圆锥曲线）的光学性质：从一焦点发出的光线经过椭圆反射后（或反射延长线）通过另一个焦点，本题中切线是 轴，设切点为 ，则 ，于是 ，解得，因此 ， ，又 ， ，所以，因此原点到
3、左准线的距离应该是 考点：椭圆的光学性质，椭圆的定义 函数 在区间 上是减函数 ,则 的最大值为 答案： 试题分析：这类问题首先是通过导数研究函数的单调性， ，显然有两不等实根 ，从题意上看 ，即， ，由此求 的最大值，可归结为线性规划问题，也可用不等式知识解决，两式直接相加，即， （ 时等号成立） 考点：函数的单调性 设 ， ，且 ，则 答案： 试题分析：这类问题，实际上就是寻找规律，寻找数列 有什么特征？是等差数列或等比数列还是周期数列？可以先求前面几个试试看， ， ， ， ， ， ， ， ， ，可猜测 ，作为填空题，我们就大胆地填上这个答案：吧，当然考虑到数学的严密性（或解答题），我们应
4、该可加以证明 ，即数列 是公比为 的等比数列 考点：等比数列的定义 若动直线 与函数 的图象分别交于 两点，则 的最大值为 答案： 试题分析：实际上 ，因此我们只要求 的最大值，其最大值为 2 考点：三角函数的最值 已知方程 + - =0有两个不等实根 和 ，那么过点的直线与圆 的位置关系是 答案：相切 试题分析：要判断直线与圆的位置关系，一般是求出圆心到直线的距离，看这个距离是大于半径，等于半径还是小于半径，即直线与圆相离，相切，相交可求出过 两点的直线方程为 ，圆心到直线 的距离为 ，而 ，因此 ，化简后得 ，故直线与圆相切 考点：直线和圆的位置关系 设 均为正实数，且 ，则 的最小值为
5、答案： 试题分析：首先，由于 均为正实数，则 ，因此 ，同理求 的最小值，这里有两个参数，如能减少一个参数，就可把式子化为一个参数的式子，便于找到解题思路由已知解出 ，那么， 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立，故所求最小值为 16 考点：基本不等式的应用 已知 ， ， 与 的夹角为 ， ，则 与 的夹角为 答案： 试题分析：要求 与 的夹角一般可先求两向量的数量积 ，而 ，因此 ，而根据已知，这是可求的，而且其结果是 0，故 ，夹角为 考点：向量的夹角 已知命题 “若 ，则 ”，则命题 及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是 答案： 试题分析：命题的四种形式中，原命题与逆否命题同真
6、假，逆命题与否命题同真假，本题中原命题是真命题，逆命题是假命题，故有 2个是真 考点：命题的四种形式 设 是纯虚数， 是实数，且 等于 答案： 试题分析： 纯虚数，因此我们设 ，则等式为 ，即 ，因此 解得 从而 考点：复数的相等 已知 ，则 的值为 答案： 试题分析：这是分段函数，求值时一定注意自变量所在的范围，不同范围选用不同的表达式 考点：分段函数 在等差数列 中，若 ，则该数列的前 15项的和为 答案： 试题分析：对数列问题，能用性质的尽量应用性质解题可以更简捷，由等差数列的性质 ， ， 考点：等差数列的性质，等差数列 中，已知直线 平面 ，直线 m 平面 ，有下面四个命题： m； m
7、； m ； m 其中正确命题序号是 答案： 试题分析：本题考查直线与平面垂直的判定与性质，直线 平面 ， m， 对； ， 时直线 与平面 可能平行，也可能线在面内，直线 与直线关系不确定， 错； m， ， m ， 对；由 m，不能得出 ，故也不能有 ， 错 考点：直线与平面垂直的判定与性质 解答题 设函数 , （ 1）求 的展开式中系数最大的项； （ 2）若 （ 为虚数单位） ,求 答案：（ 1）第 4项， ；（ 2） 32 试题分析：（ 1）在二项式 展开式中系数最大的项就是二项式系数最大的项，其二项式系数最大的项是：当 为偶数时，第 项，当 为奇数时，有两项第 和 项；（ 2）先由 求出
8、，直接取模运算，化为实数计算可求出 ，然后把 展开， 正好是虚部，再根据复数相等的定义求得结论 试题：（ 1）展开式中系数最大的项是第 4项 ； 5 （ 2）由已知， ，两边取模，得 ，所以 . 所以 = 而 所以 10 考点：二项展开式，复数的相等 在直角坐标系中，参数方程为 的直线 ，被以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为 的曲线 所截，求截得的弦长 答案： 试题分析：参数方程为 表示的直线 是过点 ，倾斜角为 ，极坐标方程为 表示的曲线 为圆 试题：由题意知，直线 的倾斜角为 ，并过点 （ 2， 0）；曲线 是以（ 1，0）为圆心、半径为 1的圆，且圆 也过点 （ 2， 0）；
9、设直线 与圆 的另一个交点为 ，在 中， 10 考点：参数方程与极坐标方程 已知二阶矩阵 M有特征值 及对应的一个特征向量 ，并且矩阵 M对应的变换将点 变换成 ,求矩阵 M . 答案： 试题分析：矩阵 M的特征值 及对应的一个特征向量 ，就是有等式，矩阵 M 对应的变换将点 变换成 ，相当于 试题：设 M= ，则 =8 = ，故 = ，故 联立以上两方程组解得 a=6， b=2， c=4， d=4，故 M= 10 考点：矩阵的变换。 设 ，两个函数 ， 的图像关于直线 对称 . （ 1）求实数 满足的关系式； （ 2）当 取何值时，函数 有且只有一个零点； （ 3）当 时，在 上解不等式 答
10、案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）两个函数的图象关于某条直线 对称，一般都是设 是一个函数图象上的任一点，求出这个点 关于直线 对称的点 ，而点 就在第二个函数的图象上，这样就把两个函数建立了联系；（ 2）函数 有且只有一个零点，一般是求 ，通过 讨论函数的单调性，最值，从而讨论零点的个数，当然本题中由于 与 的图象关于直线 对称，因此 的唯一零点也就是它们的的唯一交点必在直线上，这个交点是函数 图象与直线 的切点，这样我们可从切线方面来解决问题；（ 3）考虑 ， 当然要解不等式 ，还需求 ，讨论 的单调性，极值，从而确定不等式的解集 试题：（ 1）设 是函数 图像上任一
11、点，则它关于直线 对称的点 在函数 的图像上， ， . （ 2）当 时，函数 有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点， 两个函数关于直线 对称， 两个函数图像的交点就是 函数 ，的图像与直线 的切点 . 设切点为 ， ， ， ， , 当 时，函数 有且只有一个零点 ； （ 3）当 时，设 ，则 ，当 时， ， ， 当 时， ， 在 上是减函数 . 又 0， 不等式 解集是 考点：（ 1）两个函数图象的对称问题；（ 2）函数的零点与切线问题；（ 3）解函数不等式 如图所示，已知圆 为圆上一动点，点 是线段 的垂直平分线与直线 的交点 （ 1）求点 的轨迹曲线 的方程； （ 2）设点 是
12、曲线 上任意一点，写出曲线 在点 处的切线的方程；（不要求证明） （ 3）直线 过切点 与直线 垂直，点 关于直线 的对称点为 ，证明：直线 恒过一定点，并求定点的坐标 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）证明见，定点为 试题分析：（ 1）本题动点 依赖于圆上中 ，本来这种问题可以用动点转移法求轨迹方程，但本题用动点转移法会很繁，考虑到圆的半径不变，垂直平分线的对称性，我们可以看出 ，是定值，而且 ，因此 点轨迹是椭圆，这样我们可以利用椭圆标准方程写出所求轨迹方程；（ 2）圆锥曲线的过其上点的切线方程，椭圆 ，切线为 ， 双曲线 ，切线为 ，抛物线 ，切线为；（ 3）这题考查同学们的计算能力
13、，现圆锥曲线切线有关的问题，由（ 2）我们知道切线斜率为 ，则直线 的斜率为 ，又过点，可以写出直线 方程，然后求出点 关于直线 的对称点 的坐标，从而求出直线 的方程，接着可从 的方程观察出是不是过定点，过哪个定点？这里一定要小心计算 试题：（ 1） 点 是线段 的垂直平分线 , 动点 N 的轨迹是以点 C（ -1， 0）， A（ 1， 0）为焦点的椭圆 . 椭圆长轴长为 焦距 2c=2. 曲线 E的方程为 5 （ 2）曲线 在点 处的切线 的方程是 . 8 （ 3）直线 的方程为 ，即 . 设点 关于直线 的对称点的坐标为 , 则 ，解得 直线 PD的斜率为 从而直线 PD的方程为： 即
14、,从而直线 PD恒过定点 . 16 考点：（ 1）椭圆的定义；（ 2）椭圆的切线方程；（ 3）垂直，对称，直线过定点问题 已知函数 ，设曲线 在点 处的切线与 轴的交点为 ，其中 为正实数 （ 1）用 表示 ； （ 2） ,若 ，试证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式； （ 3）若数列 的前 项和 ，记数列 的前 项和 ，求 答案：（ 1） ；（ 2）证明见， ；（ 3） 试题分析：（ 1）直接利用导数得出切线斜率，写出点 处切线方程，在切线方程中令 ，就可求出切线与 轴交点的横坐标即 ；（ 2）要证明数列 为等比数列，关键是找到 与 的关系，按题设，它们由 联系起来，把 用（ 1）中的
15、结论 代换，变为 的式子，它应该与是有联系的，由此就可得出结论；（ 3）按照要求，首先求出数列 的通项公式，当然要利用 （ ）， 直接等于 ，数列 实际上是一个等差数列，那么数列 就是由一个等差数列和一个等比数列的对应项相乘得到的新数列，其前 项的求法是乘公比错位相减法，即，记等比数列 的公比是 ，则有，两式相减，即 ，这个和是容易求得的 试题：（ 1）由题可得 ，所以在曲线上点 处的切线方程为，即 令 ，得 ，即 由题意得 ，所以 5 （ 2）因为 ，所以 即 ， 所以数列 为等比数列故 10 （ 3）当 时， ，当 时， 所以数列 的通项公式为 ，故数列 的通项公式为 的 得 故 16 考
16、点：（ 1）函数图象的切线；（ 2）等比数列的定义；（ 3）乘公比错位相减法求数列的和 某种商品原来每件售价为 25元，年销售 8万件 （ 1）据市场调查，若价格每提高 1元，销售量将相应减少 2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （ 2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 元公司拟投入 万元作为技改费用，投入 50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价 答案：（
17、1） 40元；（ 2） 至少应达到 10.2万件，每件定价为 30元 试题分析：（ 1）这是 函数应用题中涉及销售的问题，要清楚知道常识性的等式：销售总收入销售单价 销售量提价为 元时，销售量是（ ）万件，总收入为 ，不低于原收入，得不等式；（ 2）关键是弄懂原收入与总投入之和是多少？原收入 ，总投入 ，明年的销售收入不低于原收入与总投入之和就是不等式 ，根据问题的要求，此式变为 时，有解（注意不是恒成立），所以 的范围是 不小于 的最小值 试题：（ 1）设每件定价为 元，依题意，有 ， 整理得 ，解得 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为 40元 7 （ 2）依题意， 时， 不等式
18、有解 ,等价于 时，有解 , （当且仅当 时，等号成立） . 当该商品明年的销售量 至少应达到 10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30元 14 考点：函数的应用题 如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ，垂直于底面 ， 分别为 的中点 （ 1）求证： ； （ 2）求点 到平面 的距离 答案：（ 1）证明见；（ 2） 试题分析：（ 1）要证两直线垂直，一般是证一条直线与过另一条直线的某个平面垂直，例如能否证明 垂直于过 的平面 ，下面就是要在平面内找两条与 垂直的直线，从题寻找垂直， 是等腰 的底边上的中线，与 是垂直的，另一条是直线 垂直于
19、平面 ，当然也垂直于直线 ，得证；（ 2）求点 到平面 距离，关键是过点 作出平面 的垂线，这一点在本题中还是委容易的，因为平面 平面 ，故只要在平面 内过 作 的垂线，这条垂线也我们要求作的平面的垂线，另外体积法在本题中也可采用 试题：（ 1）因为 N 是 PB的中点， PA=AB， 所以 AN PB,因为 AD 面 PAB，所以 AD PB,又因为 ADAN=A 从而 PB 平面 ADMN,因为 平面 ADMN， 所以 PB DM. 7 (2) 连接 AC，过 B作 BH AC，因为 底面 ， 所以平面 PAB 底面 ，所以 BH是点 B到平面 PAC的距离 . 在直角三角形 ABC 中，
20、 BH 14 考点：（ 1）空间两直线垂直；（ 2）点到平面的距离 设向量 ，函数 . （ 1）求函数 的单调递增区间； （ 2）求使不等式 成立的 的取值集合 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）本题用向量给出条件，因此首先我们把 求出来，利用向量的数量积运算，可得 ，然后我们三角函数化为 的形式，再利用正弦函数的性质解题，在变形过程中，注意使 在 都大于 0的情况下， 的单调增区间只要解不等式 即得（ 2）不等式 是一个三角不等式，因 ，同样只要利用余弦函数的性质即可 试题： (1) . 5 由 ，得 ， 的单调递增区间为 . 8 (2)由 ，得 . 由 ，得 ，则 ， 即 .
21、使不等式 成立的 的取值集合为. 14 考点：（ 1）向量的数量积与三角函数的单调性；（ 2）复合函数的导数与余弦函数的性质 电子蛙跳游戏是 :青蛙第一步从如图所示的正方体 顶点 起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点 （ 1）求跳三步跳到 的概率 ； （ 2）青蛙跳五步，用 表示跳到过 的次数，求随机变量 的概率分布及数学期望 答案： ；（ 2）期望为 ， 概率分布表 X 0 1 2 p 试题分析：我们把正方体的八个顶点分类，让每一步跳显得很明显，将 标为0，从 一步能跳到的点 标为 1，接下来 标为 2， 标为 3，从A跳到 B记为 01，从 B跳到 B1再跳到 A1记为 121， 跳三步到 就
22、是 0123，从 0到 1与 3与 2的概率都是 1，从 1到 0与 2到 3的概率都是 ，从 1到 2与 2到 1的概率都是 ，（ 1）就是求 ，（ 2）跳五步跳到过 的次数只能是 0， 1， 2三种情形，数学期望 试题：将 A标示为 0， A1、 B、 D标示为 1， B1、 C、 D1标示为 2， C1标示为 3，从 A跳到 B记为 01，从 B跳到 B1再跳到 A1记为 121，其余类推 .从 0到 1与从3到 2的概率为 1，从 1到 0与从 2到 3的概率为 ，从 1到 2与从 2到 1的概率为 . （ 1） P P（ 0123） 1 ； 4 （ 2） X 0,1， 2.P（ X 1） P（ 010123） P（ 012123） P（ 012321） 1 1 1 1 1 ， P（ X 2） P（ 012323） 1 1 ， P（ X 0） 1-P（ X 1） -P（ X 2） 或 P（ X 0） P（ 010101） P（ 010121） P（ 012101） P（ 012121） 1 1 1 1 1 1 1 1
