1、2014届浙江省温州八校高三 9月期初联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设复数 满足 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 可得，故选 A. 考点：复数的基本运算 . 已知函数 若存在 ，使得关于 的方程有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 ，当时画出函数图象 所以使得关于 的方程 有三个不相等的实数根，则需，即 ，又 ，所以，当 时 ，故答案：选 B. 考点：分段函数、零点、函数的图象 设 是双曲线 的两个焦点， P是 C上一点，若，且 的最小内角为 ，则 C的离心率为（ ） A B C D 答案： C 试题分析
2、：不妨设 P是双曲线右支上的一点，根据定义可得 ，又 ，所以 ，又 且 ，所以的最小内角为 ，根据余弦定理可得，又 ，即 代入化简可得. 考点：双曲线的定义、解三角形的余弦定理 . 已知 ， 满足约束条件 ，若 的最小值为 ，则（ ） A B C D 答案： B 试题分析：如图所示，当直线 通过 A点时， 最小值，于是代入，有 ，所以 . 考点：简单的线性规划 . 已知 为异面直线， 平面 ， 平面 .直线 满足，则（ ） A ，且 B ，且 C 与 相交，且交线垂直于 D 与 相交，且交线平行于 答案： D 试题分析：因为 为异面直线， 平面 ， 平面 ，所以 与 不平行是相交，则交线分别垂
3、直于异面直线 ；又直线 满足，所以交线平行于 . 考点：点、线、面的位置关系 . 某程序框图如图所示，则该程序运行后的输出结果是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据程序框图可得 ，故选 A. 考点：程序框图 已知 q是等比数列 的公比，则 “ ”是 “数列 是递减数列 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： D 试题分析：若 “ ”，则可取 ，于是等比数列 则成摆动数列而非递减数列，故不满足充分性；若 “数列 是递减数列 ”，则 ，于是，当 时可得 ；当 时可得 ，故不满足必要性 . 考点：充分必要条件、等比数列的概念 . 将函
4、数 的图像向左平移 个长度单位后，所得到的图像关于 轴对称，则 的最小值是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由函数 的图像向左平移 个长度单位得 ，该图像关于 轴对称，所以这个函数为偶函数，即 的最小值是 . 考点：三角函数的图像与性质 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 是非奇非偶函数； 是偶函数； 在其单调区间上是减函数；故 A、 B、 C都不对； D中函数可验证其是奇函数也是增函数 . 考点：基本函数的奇偶性、单调性 . 已知集合 ， ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由 可得 ，所以 ；由 可得；所以 ，故选
5、 C. 考点：集合的基本运算 . 填空题 在平面直角坐标系中， 是坐标原点，若两定点 满足，则点集 所表示的区域的面积是 . 答案： 试题分析：如图所示，由 可知,当 时， ；当 时， ,所以 ；考虑到 可取正负，所以点 所表示的区域的面积 ，故 . 考点：平面向量、数量积、面积公式 . 已知直线 交抛物线 于 两点 .若该抛物线上存在点 ，使得为直角，则 的取值范围为 . 答案： 试题分析：如图所示 ,则 又所以 ，即，因为 所以. 考点：平面向量的数量积、函数与方程的思想 . 设当 时，函数 取得最大值，则 . 答案： 试题分析：由 可得 其中 ，当时函数 取得最大值，所以. 考点：三角函
6、数的性质 . 将序号分别为 1， 2， 3， 4， 5的 5张参观券全部分给 4人，每人至少 1张，如果分给同一人的 2张参观券要连号，那么不同的分法种数是 . 答案： 试题分析：本题采用隔板法：在 1,2,3,4,5四个空隙中插入三块隔板分成四份，然后分给四个人，即 . 考点：排列组合 设常数 ，若 的二项展开式中 项的系数为 ，则 . 答案： -2 试题分析：由 ，令 ，则 ，所以,即 . 考点：二项式定理 . 已知 是等差数列， ，公差 ， 为其前 项和，若成等比数列，则 . 答案： 试题分析：由 成等比数列可得： ，即 ，解得 ，所以 . 考点：等差、等比数列 . 某几何体的三视图如图
7、所示 , 则其体积为 . 答案： 试题分析：根据三视图可知该几何体是圆锥的一半，发现底面圆的半径为 1，高为 2，所以体积 . 考点：三视图、圆锥体积公式 . 解答题 在 中，内角 的对边分别为 ,已知 . ( )求 ； ( )若 ，求 面积的最大值 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析： ( ) 对于 通过边角互化转化为角，再通过三角恒等变换即可得； ( )利用余弦定理、基本不等式可求 . 试题： ( )由已知及正弦定理得 2分 又 ，故 4分 得 ，又 ，所以 . 7分 ( ) 的面积 由已知及余弦定理得 10分 又 .故 ，当且仅当 时，等号成立 . 因此 的面积的最大值为 . 14
8、分 考点：解三角形，正余弦定理，基本不等式 一个袋子里装有 7个球 , 其中有红球 4个 , 编号分别为 1， 2， 3， 4； 白球 3个 , 编号分别为 2， 3， 4. 从袋子中任取 4个球 (假设取到任何一 个球的可能性相同 ). ( ) 求取出的 4个球中 , 含有编号为 3的球的概率； ( ) 在取出的 4个球中 , 红球编号的最大值设为 X ，求随机变量 X的分布列和数学期望 . 答案：（ ） ；（ ） ， X 1 2 3 4 P 试题分析：（ ）利用排列组合、古典概率公式可求；（ ）按照分布列的取值情况求对应的概率即可 . 试题： ( ) 设 “取出的 4个球中，含有编号为 3
9、的球 ”为事件 A，则 所以，取出的 4个球中，含有编号为 3的球的概率为 . 5分 ( )随机变量 X的所有可能取值为 1， 2， 3， 4. 6分 ， ， ， ， 10分 所以随机变量 X的分布列是 X 1 2 3 4 P 随机变量 X的数学期望 . 14分 考点：概率，分布列，期望 . 如图，三棱锥 中， 底面 ， ， 为 的中点，点 在 上，且 . ( )求证：平面 平面 ； ( )求平面 与平面 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值 . 答案：（ ）详见；（ ） ； 试题分析：（ ）主要利用线线垂直、线面垂直可证面面垂直；（ ）通过作平行线转化到三角形内解角；当然也可建系利用空间向量
10、来解 . 试题： ( ) 底面 ，且 底面 ， 1分 由 ，可得 2分 又 ， 平面 注意到 平面 ， 3分 , 为 中点， 4分 ， 平面 5分 而 平面 ， 6分 ( )如图，以 为原点、 所在直线为 轴、 为 轴建立空间直角坐标系 . 则 8分 10分 设平面 的法向量 . 则 解得 12分 取平面 的法向量为 则 ， 故平面 与平面 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值为 . 14分 考点：立体几何面面垂直的证明；二面角 . 如图，椭圆 经过点 离心率 ，直线 的方程为 . ( )求椭圆 的方程； ( ) 是经过右焦点 的任一弦 (不经过点 )，设直线 与直线 相交于点，记 的斜率分别
11、为 问 :是否存在常数 ，使得若存在求 的值；若不存在，说明理由 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）根据椭圆的定义、几何性质可求；（ ）直线与椭圆相交，联立消元，设点代入化简可求 . 试题： ( )由 在椭圆上得 , 依题设知 ,则 代入 解得 . 故椭圆 的方程为 . 5分 ( )由题意可设 的斜率为 , 则直线 的方程为 代入椭圆方程 并整理 , 得 , 7分 设 ,则有 在方程 中令 得 , 的坐标为 . 从而 . 注意到 共线 ,则有 ,即有 . 所以 11分 代入 得 , 又 ,所以 .故存在常数 符合题意 . 15分 考点：椭圆，根与系数关系，坐标表示 . 设函数 的
12、定义域为（ 0， ） . ( )求函数 在 上的最小值； ( )设函数 ，如果 ，且 ，证明： . 答案：（ ） （ ）详见 . 试题分析： ( ) 利用导数分析单调性，进而求最值； ( )分类讨论函数的单调性 试题： ( ) ，则 时， ； 时， 。 所以，函数 在（ 0， 1）上是减函数，在（ 1， + ）上是增函数 . 2分 当 时，函数 在 m， m+1上是增函数 , 此时 ； 当 时，函数 在 m， 1上是减函数 ,在 1， m+1上是增函数， 此时 ； 6分 ( )证明：考察函数 ， 所以 g(x)在 ( )内是增函数，在 ( )内是减函数 .（结论 1） 考察函数 F(x)=g(x)-g(2-x)，即 于是 当 x1时， 2x-20,从而 (x)0, 从而函数 F（ x）在 1,+)是增函数。 又 F(1)= F(x)F(1)=0,即 g(x)g(2-x). （结论 2） 10分 若 ，由结论 1 及 ，得 ，与 矛盾； 若 ，由结论 1及 ，得 ，与 矛盾； 12分 若 不妨设 由结论 2可知， g( )g(2- )，所以 g(2- )。 因为 ，所以 ，又由结论 1可知函数 g(x)在区间（ -， 1）内是增函数， 所以 ,即 2. 15分 考点：导数，函数的单调性，分类讨论 .
