1、2014届湖北省天门市高中毕业生四月调研考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ，集合 ，则集合 B中元素的个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析：若 ,则 ,故 只可能是 2,0， -1， -3，当 时，, ,当 时， , ,当 时，, ,当 时， , ,所以集合 中有 3个元素 .故选 C. 考点：元素与集合的关系 已知函数 是定义在 R上的可导函数，其导函数记为 ，若对于任意实数 x，有 ，且 为奇函数，则不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：令 ，所以 在 R上是减函数，又 为奇函数，所以 ，所以 ，所以原不等式可化为 ，所
2、以 ，故选 B. 考点：导数的综合应用问题 设平面向量 ， ，其中 记 “使得 成立的 ”为事件 A，则事件 A发生的概率为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由 得 ,即 ,由于 ,故事件 A包含的基本事件为 和 ，共 2个，又基本事件的总数为 9，故所求的概率为 ,故选 B. 考点：古典概型的概率问题 已知函数 ，在 时取得极值，则函数 是（ ） A偶函数且图象关于点（ ， 0）对称 B偶函数且图象关于点（ ， 0）对称 C奇函数且图象关于点（ ， 0）对称 D奇函数且图象关于点（ ， 0）对称 答案： D 试题分析： 的图像关于 对称， , , ，显然是奇函数且关于点 对称，
3、故选 D. 考点：三角函数的性质 . 已知平面直角坐标系 xOy上的区域 D由不等式组 来 给定 . 若为 D上的动点，点 A的坐标为 ，则 的最大值为（ ） A 3 B 4 C D 答案： B 试题分析：画出区域 D如图所示，则 为图中阴影部分对应四边形 OABC上的动点，又 ， 当目标线过点 时， . 考点：线性规划 执行如图所示的程序框图，则输出的 a的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， 故周期为 4，跳出循环 . 故输出的 a值为 . 考点：程序框图的识别及应用 已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由
4、导数图象可知，当 时，函数 递减，排除 A,B.当时， 函数 递增，因此，当 时， 取得极小值，故选 D. 考点：函数的图象 函数 的零点所在区间为（ ） A（ 0， ） B（ ， ） C（ ， 1） D（ 1， 2） 答案： B 试题分析： , ,所以函数的零点在 ，故选 B. 考点：函数的零点 若 “p q”为真命题，则 p、 q均为真命题（ ）； “若 ”的否命题为 “若 ，则 ”； “ ”的否定是 “ ”； “ ”是 “ ”的充要条件 . 其中不正确的命题是 A B C D 答案： C 试题分析： 若 为真命题，则 不一定都是真命题，所以 不正确， 若 ,则 的否命题为若 ,则 ，所以
5、 正确， ,的否定是 , ,所以 不正确， 是 的充要条件，所以 正确 . 考点：命题的真假判定 下图是根据变量 x， y的观测数据 得到的散点图，由这些散点图可以判断变量 x， y具有相关关系的图是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据散点图中点的分布情况，可判断 中的变量 x， y具有相关的关系 . 考点：变量的相关关系 填空题 观察如图三角形数阵，则 （ 1）若记第 n行的第 m个数为 ，则 （ 2）第 行的第 2个数是 答案： 试题分析：（ 1）列出三角数阵到第 7行，可知 ；（ 2）设 行的第2个数构成数列 ， 因 所以，又 ，所以. 考点：求数列中的项 已知函数 . 若
6、关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围为 答案： 试题分析： ，即 的最小值等于 4，所以 ，解此不等式得 或 . 故实数 的取值范围为 -3， 5. 考点：含绝对值的不等式性质 分别在区间 1， 6和 1， 4内任取一个实数，依次记为 m和 n，则 的概率为 答案： 试题分析：在区间 和 内任取一个实数，依次记为 和 ,则 表示的图形面积为 ，其中满足 ,即在直线 右侧的点表示的图形 .面积为 ，故 的概率为 . 考点：古典概型的应用 已知圆 ，当圆的面积最小时，直线 与圆相切，则 答案： 试题分析： ,设圆的半径为 ,则,故 的最小值为 1，即当圆心为 ，半径为 1 时，圆的面积
7、最小，所以 ,即 . 考点：圆的方程与性质 已知某几何体的三视图（单位 cm）如图所示，则该几何体的体积为 cm3 答案： 试题分析：此几何体为上下结构，上面是正四棱柱，底面为边长为 4 的正方形，侧棱长为 2，下面是个正棱台，下底面为边长为 8的正方形，高为 3，所以几何体的体积为正四棱柱的体积 底 高，棱台的体积 ,考点：由三视图求几何体的体积 已知某一段公路限速 60公里 /小时，现抽取 200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这 200辆汽车中在该路段没有超速的有 辆 答案： 试题分析：在该路段超速的汽车数量的频率为 ，故这 200辆汽车中在该路段超速的数量为
8、2000.6=120.200-120=80. 考点：频率分布直方图 若复数 ，其中 i是虚数单位，则 答案： 试题分析：因为 ，所以考点：复数的代数运算 解答题 设函数 . （ 1）求 的值域； （ 2）记 ABC的内角 A， B， C的对边长分别为 a， b， c，若，求 a的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析： (1)根据两角和的余弦公式展开，再根据二倍角公式中的降幂公式展开，然后合并同类项，利用进行化简；利用三角函数的有界性求出值域 . (2)若 , ,得到角 的取值，方法一：可以利用余弦定理，将已知代入，得到关于 的方程，方法二：利用正弦定理，先求 ,再求角 C,然后利用
9、特殊三角形，得到 的值 . 试题：（ 1） 4分 因此 的值域为 0， 2. 6分 （ 2）由 得 ， 即 ，又因 ，故 . 9分 解法 1：由余弦定理 ，得 ， 解得 . 12分 解法 2：由正弦定理 ，得 . 9分 当 时， ，从而 ； 10分 当 时， ，又 ，从而 . 11分 故 a的值为 1或 2. 12分 考点：两角和的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、正弦定理 . 已知数列 为等比数列，其前 n项和为 ，且满足 ，成等差数列 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）已知 ，记 ，求数列 前 n项和 . 答案： (1) ;(2) . 试题分析： (1)利用 成等差数列，所以 ，将其
10、转化为关于 的方程，再代入 求其首项，从而得到等比数列的通项公式； （ 2）将 化简得到 ,这属于等差数列 等比数列的形式，和 用错位相减法求其和，先列出 ,再列出 2，两式相减，化简得到结果 . 试题 :（ 1）设 的公比为 q， 成等差数列， 1分 ， 化简得 ， 3分 又 ， ， 6分 (2） ， ， 8分 ， 2 ， ， 11分 12分 考点： 1.等比数列的通项公式； 2.错位相减法求和 . 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， . （ 1）求证 ，并指出异面直线 PA与 CD所成角的大小； （ 2）在棱 上是否存在一点 ，使得 ？如果存在，求出此时三棱锥 与四棱锥 的体积比；如果不存
11、在，请说明理由 . 答案： (1) ;(2)详见 . 试题分析： (1)要证明 ,只需证明 面 ,利用 面 ,推出 ,又因为矩形 ,得到 ,从而易证 面 ；若证得面 ，显然 与 的角为直角； （ 2）当点 为 中点时， 与 交于点 0，易证 ,使 面 ,利用体积的转化得到 ， ，最终得到三棱锥与四棱锥 的体积比 . 试题：（ 1） ， ， 2分 四边形 为矩形， ， 又 ， 4分 故 ， 5分 PA与 CD所成的角为 6分 （ 2）当点 E为棱 PD的中点时， 6分 下面证明并求体积比： 取棱 PD的中点 E，连接 BD与 AC相交于点 O，连接 EO. 四边形 为矩形， O为 BD的中点 又
12、 E为棱 PD的中点， . ， 8分 当 E为棱 PD的中点时， ， 又 ， 考点： 1.线线垂直于线面垂直的证明； 2.体积的转化 . 已知 ，函数 （ ）当 时， （ 1）若 ，求函数 的单调区间； （ 2）若关于 的不等式 在区间 上有解，求 的取值范围； （ ）已知曲线 在其图象上的两点 ， （ ）处的切线分别为 若直线 与 平行，试探究点 与点 的关系，并证明你的结论 答案：（ ） (1) 单调递增区间为 ;(2) ;( )详见 . 试题分析：（ ） (1)根据 求出 的值，然后利用,得到函数在定义域内都是单调递增的，从而写出其单调区间 ; (2)当 时，将不等式化简，整理为 在区间
13、 上有解问题，可以反解 ,利用不等式 在区间 上有解，即 大于等于其最小值，转化为求 在区间 上的最小值， （ ） 的对称中心为 ,故合情猜测，若直线 与 平行，则点与点 关于点 对称然后对猜测进行证明，首先求其两点处的导数，即两切线的斜率，利用平行及斜率相等，证明 , . 试题：（ ）（ 1）因为 ，所以 ， 1分 则 ， 而 恒成立， 所以函数 的单调递增区间为 4分 （ 2）不等式 在区间 上有解， 即不等式 在区间 上有解， 即不等式 在区间 上有解， 等价于 不小于 在区间 上的最小值 6分 因为 时， ， 所以 的取值范围是 9分 .因为 的对称中心为 ， 而 可以由 经平移得到，
14、 所以 的对称中心为 ,故合情猜测，若直线 与 平行， 则点 与点 关于点 对称 10分 对猜想证明如下： 因为 ， 所以 ， 所以 ， 的斜率分别为 ， 又直线 与 平行，所以 ，即 ， 因为 ，所以， ， 12分 从而 ， 所以 相关试题 2014届湖北省天门市高中毕业生四月调研考试文科数学试卷（带） 已知椭圆 的离心率 ，且直线 是抛物线的一条切线 . （ 1）求椭圆的方程； （ 2）点 P 为椭圆上一点，直线 ，判断 l与椭圆的位置关系并给出理由； （ 3）过椭圆上一点 P作椭圆的切线交直线 于点 A，试判断线段 AP为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 .
15、答案： (1) ;(2)直线 l与椭圆相切 ;(3) 试题分析： (1)直线 是抛物线 的一条切线 .所以将直线代入抛物线方程，即 ，得出 的值，利用 ，椭圆中 ,依次解出 ,从而解出方程； （ 2）直线 与椭圆方程联立，注意用到平方相减消 ，得到关于的方程，求其 ，利用点 在椭圆上的条件，判定直线与椭圆的位置关系 ; （ 3）首先取两种特殊情形：切点分别在短轴两端点时 ,求其切线方程，并求他们的交点，交点有可能是恒过的定点，如果是圆上恒过的定点 ，如果是则需满足， ,从而判定所求交点是否是真正的定点 .此题属于较难习 题 . 试题：（ 1）因为直线 是抛物线 的一条切线，所以， 即 2分 又 ，所以 ， 所以椭圆的方程是 . 4分 （ 2）由 得 由 2+ 得 直线 l与椭圆相切 9分 (3）首先取两种特殊情形：切点分别在短轴两端点时， 求得两圆的方程为 ， 两圆相交于点（ ， 0），（ ， 0）， 若定点为椭圆的右焦点（ . 则需证： . 设点 ，则椭圆过点 P的切线方程是 ， 所以点 ， 所以. 11分 若定点为 ， 则 ，不满足题意 . 综上，以线段 AP为直径的圆恒过定点（ ， 0） . 14分 考点： 1.椭圆的性质与方程； 2.直线与圆锥曲线相交时的综合问题 .
