1、分析力学 主讲教师：王飞 学时 24 学分 1.5 性质 必修 致童鞋们 之学生虐我千百遍，我待学生如初恋 教书是一场盛大的暗恋，你费劲心思去爱一群人，最后却只感动了自己。 曾经怕自己一个人考不好，现在怕一群人考不好。 你若不离不弃 我必生死相依 你若自我放弃 我也无能无力 绪论 一 什么是分析力学？ 分析力学是理论力学的一个分支，是对经典力学的高度数学化的表达。 经典力学最初的表达形式由牛顿给出，大量运用几何方法和矢量作为研究工具，因此它又被称为 矢量力学 （有时也叫“牛顿力学”）。 拉格朗日、哈密顿、雅可比等人使用广义坐标和变分法建立了一套同矢量力学等效的力学表述方法。 同矢量力学相比，分
2、析力学的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力学中极为复杂的问题，运用分析力学可以较为简便的解决。 二 研究对象 它的研究对象是质点系。质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型，例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系。 工程上的力学问题大多数是约束的质点系，由于约束方程类型的不同，就形成了不同的力学系统。例如，完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。 三 发展历史 1788年 拉格朗日 分析力学 世界上最早的一本分析力学的著作。虚功原理和达朗贝尔原理两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力学方程。 1834年，哈密顿 正则方程 用广义坐标和广义动量
3、联合表示的动力学方程。哈密顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。 1894年 赫兹 首次将系统按约束类型分为完整约束和非完整约束两大类。 20世纪至今 分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。 四 应用 分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动力学系统中，在量子力学和非线性动力学中都有重要应用。 近 20年来，又发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论
4、力学。 五 研究意义 分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。 六 分析力学与理论力学比较 理论力学 分析力学 相同点 同属经典力学 不 同 点 对象 力 能量 方法 几何法 分析法 基础 牛顿定律 变分原理 分析力学 分析静力学 分析动力学 分析静力学 以一般质点系为力学模型，应用 达朗伯原理和虚位移原理 方法 得出平衡的普遍规律。 在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，运用 动力学普遍方程和拉格朗日方程，解决非自由质点系的动力学问题。 分析动力学 内容 第一章 虚位移原理 第二章 动力学普遍方程和拉格朗日方程 第三章 哈密顿正则方程 第四章 力学的变分原理 第五章 一个自由度系
5、统的振动 第六章 两个自由度系统的振动 第七章 狭义相对论的拉格朗日方法和 第一章 虚位移原理 1.约束及约束方程 2.自由度和广义坐标 3.虚位移 4.虚位移原理 5.虚位移原理的应用举例 6.用广义力表示的质点系平衡条件 7.在势力场中质点系的平衡条件及平衡的稳定性 1.约束及约束方程 1-1 约束的定义 质点系 分为自由质点系和非自由质点系。 若质点的运动状态（轨迹、速度等）只取决于作用力和运动的初始条件，则这种质点系称为 自由质点系 ；它的运动称为自由运动。 若质点系的运动状态受到某些预先给定的限制（运动的初始条件也要满足这些限制条件），则这种质点系称为 非自由质点系 ；它的运动称为非
6、自由运动。 实现这些约束条件的物体称为 约束体 。 受到约束条件限制的物体叫做 被约束体 。习惯 上，把约束体简称为 约束 ,将被约束体简称为 物体 。 注意：这里的约束是名词，而非动词的约束。 非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束 约束力（或约束反力） 把约束对物体的作用力称为约束力。 主动力和约束力（或约束反力 ） 主动力 作用于被约束物体上的除了约束以外的力统称为主动力，如重力，结构承受的风力和水压力、机械结构中的弹簧力以及电磁力等等。 约束反力是主动力引起的，故它是一种被动力。 1.约束反力取决于 约束本身的性质、主动力和物体的运动状态 。 约束反力的特点： 2.大小常常是未知的，
7、往往由平衡方程求得。 3.作用点在物体与约束相接触的那一点。 4.方向总是与约束限制物体的位移方向相反。 例如，光滑接触面约束：约束力沿接触面公法线方向指向物体。 在支座约束中，固定铰支座，约束反力过销中心， 方 向不能确定，通常用正交的两个分力表示。 解除约束原理 当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部分或全部约束解除，代之以相应的约束反力，则物体的平衡不受影响。 1-2 约束方程 用数学方程来表示的限制条件称为约束方程。 0),( tzyxzyxf 1-3 约束的分类 几何约束和运动约束 双面约束和单面约束 定常约束和非定常约束 几何约束和运动约束 几何约束： 只限制质点或质
8、点系在空间的位置， 这种约束称为 几何约束 (完整约束 )。 x y o l M l A B x o y r 2 2 2AAx y r0By 2 2 2( ) ( )A B A Bx x y y l 2 2 2xyl运动约束 ：当质点系运动时受到的某些运动 条件的限制称为运动约束 (非完整约束 )。 即：这种约束对质点或质点系不仅有位移方面的限制，而且有速度或角速度方面的限制。 如：车轮在直线轨道上作 纯滚动（ 轨道限制轮心作直线运动，且滚过的弧长等于轮心走过的距离。 ） C x o y 瞬心 C M M xC P vC r 轮 C在水平轨道上 纯滚动 的条件表达为 yC = r 运动约束方程
9、 vC r=0 或 yC = r 0Cxr 约束：单摆 约束分类 约束方程 刚性摆杆 双面约束 不可伸长的绳 单面约束 2 2 2xyl2 2 2x y l举例： 定常约束 ： 前面所列的单摆、曲柄连杆机构及车轮的约束； 非定常约束 ： 变摆长的单摆 。 x y o l M v 其中摆锤 M可简化为质点，软线是摆锤的约束，初始长度为 ， 穿过固定的小圆环， 在 拉拽 过程中 ,以速度 v伸长 。在任意瞬时 t， 其约束方程为 : 2 2 20()x y l v t l0),.,( 111 nnn zyxzyxf2.自由度和广义坐标 质点系由 n个质点、 s个完整约束组成， 则其自由度 N =
10、3n s 对平面问题，如 Oxy平面内， zi0， 则 N = 2n s 情形一：以 质点 作为质点系基本单元 x y o l M 例：图示的平面摆 ， 其中： n = 1， s = 1。 则 N = 2 1 1=1 2 2 2xyl情形二： 以 刚体 作为质点系基本单元 质点系由 n个刚体、 s个完整约束组成，则其自由度 N = 6n s 对平面问题，如 Oxy平面内，两个平动一个转动，则 N = 3n s 例 1：图示的 轮 C在水平轨道上纯滚动 ， 其中： n = 1， s = 2。 则 N = 3 1 2=1 C x o y xC P vC yC = r vC r=0 例 2：图示的 平面双摆由刚体 OA、 AB及铰链 O、 A组成 ， 其中： n = 2， s = 4， 则 N = 3 2 4=2 x y o A B 1 2 l1 l2 2 2 212 2 2200( ) ( )ooAAB A B Axyxylx x y y l
