1、第二章 行列式,行列式的定义与性质,行列式的计算,Cramer 法则,解线性方程组的消元法,消去法的应用,第一节 行列式的定义与性质,问题的引出 n阶行列式的定义 行列式的性质,首先来看行列式概念的形成,问题的提出：,求解二、三元线性方程组,二阶、三阶行列式,引出,一.问题的引出,（回顾高中时的二阶与三阶行列式）,从而方程组有为唯一解,注：,(1) 记忆方法：对角线法则,主对角线上两元素之积 副对角线上两元素之积,二阶行列式算出来是一个数。,2. 三阶行列式,三阶行列式,注： （1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式 算出来也是一个数。,（2）三阶行列式 也是矩
2、阵上定义的一种运算。,二. n阶行列式的定义,仍然记作,定义：,注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。,再如,从而,注：称上面两式为行列式 按第一行的展开式,例2.1,例2.2,特别地,三. 行列式的性质,性质1：,行列式与它的转置行列式相等。,称为D的转置行列式;,（2） 行列式中行与列地位相同，对行成立的性质对列也成立，反之亦然。,说明,（1）设,，则,例2.3,例如,例2.4,记法,例如,性质4：,即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行 列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的 对应的行一样。,对于列也有类似的结论,性质5：,行列式的某一行
3、（列）的所有元素乘以同一 数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。,记法,数k乘第 t 行加到第 s 行上：,证明：,作,得,利用行列式性质计算：,目标,化为三角形行列式,例2.5：,计算,注：,上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法，要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次运算是作用在前一次运算结果上。,例如：,课堂练习:,1. 计算行列式,2. 一个n阶行列式，它的元素满足,证明：当 n 为奇数时，此行列式为零。,4,1,1、n阶行列式的定义,2、行列式的性质,小 结,注：将各种性质综合使用可以简化行列式的计算,返回,第二节 行列式的计算,行列式按行（列）展开 行列式
4、的乘法法则,一. 行列式按行（列）展开,对于三阶行列式：,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。,问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式来计算？,证明,由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，,得，,证毕。,证明：,由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。,在,中，如果令第 i 行的元素等于 另外一行，譬如第 k 行的元素,则，,第i行,右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。,综上，得公式,（2）利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按
5、此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。,（1）在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。,注：,例2.6: 计算行列式,例2.7,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,证明：,用数学归纳法,(1) 当n=2时,结论成立。,(2) 设n1阶范德蒙德行列式成立，现证n阶也成立。,n-1阶范德蒙德行列式,证毕。,练习：用降阶法（按行按列展开）计算行列式的值。,=57,解:,第一行
6、各元素的代数余子式之和可以表示成,二.行列式的乘法法则,引理：,推论：若 方阵，则,例2.8,例2.9,行列式的计算方法大致可归纳为：,（1）利用定义直接计算，即按行（列）展开；,（2）利用行列式性质将行列式三角化，或使某行（列）出现更多个零元素，然后按行（列）展开；,（3）利用行列式乘积定理及推论。,小 结,返回,证明：,将以上对 和 的三角化过程分别施用于行列式,（列变换）,的前 列和后 列，有,得证。,返回,证明,构造如下矩阵,对列施行计算,和,仅就 给出证明。,由引理，上式左端,上式右端,由此定理得证。,一般情形类似可证。,返回,第三节 Cramer 法则,矩阵可逆的判别定理及其求法
7、Cramer法则,一. 矩阵可逆的判别定理及求法,证明：,奇异矩阵：,非奇异矩阵：,（退化矩阵）,（非退化矩阵）,推论：,证明：,注：,解,同理可得,故,二. Cramer 法则,Cramer法则：,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,证明：,再把 个方程依次相加，得,于是,当 时,方程组(2)有唯一的一个解,由于方程组(2)与方程组(1)等价,所以,也是方程组的(1)解。,例2.13： 用Cramer法则解线性方程组。,解：,注:,1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。,理论意
8、义：给出了解与系数的明显关系。但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。,3. 撇开求解公式,Cramer法则可叙述为下面定理：,定理2：,定理1：,有非零解。,系数行列式,注：,例2.14 问 取何值时，齐次线性方程组有非零解？,解：,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解。,注：对于n元齐次线性方程组的Cramer法则的推论，常被用来解决解析几何的问题。,解：,四个平面相交于一点，即线性方程组,有唯一解。,从另一角度看，形式上可以把,看作是四元,线性方程组,的一组非零解。,因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是,所以，四平面相交于一点的条件为,解：,若用Cramer法则求此
9、方程组的解，有,（考虑范德蒙德行列式）,课堂练习：,小 结,2、 Cramer 法则及其应用,1、矩阵可逆的判别定理及求法,返回,第四节 解线性方程组的消元法,问题的引出 高斯消元法 高斯若当消元法,由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克兰姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该方法是行不通的.,1.问题的引出,例2.13 解线性方程组,解,消元过程总共作了三种变换： （1）交换方程次序; （2）以不等于零的数乘某个方程; （3）一个方程加上另一个方程的倍.,注：由于三种变换都是可逆的，所
10、以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行3种初等运算：,(1) 对调矩阵的两行。,(2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。,(3)将矩阵的某一行所有 元素乘以非零常数k后 加到另一行对应元素上。,统称为矩阵的初等行变换,通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换,逆变换,逆变换,逆变换,2）初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同。,1）矩阵的初等变换:矩阵的行变换;矩阵的列变换。,注：,注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵。,2.高斯消元法,设,若系数行列式 ，即方程组有唯一解，则其消元过程
11、如下：,第一步，,设,作,主元,照此消元，直至第 步得到三角形方程组,接下来的回代过程首先由最后方程求出 ，依次向上代入求出 即可。,回代过程,和 的计算公式,回代公式,高斯消元法用矩阵初等变换的方法表示就是,高斯消元法中， 绝对值太小时，会带来较 大的舍入误差。此时可按 选取主元。,高斯消元法的改进,例2.14,解,回代可得解,注：这种方法也可用来讨论一般线性方程组的求解问题。,3.高斯若当消元法,将方程组,化为对角形方程组,即可得解,。,注：高斯若当消元法与高斯消元法的区别：,选主元后用它消去该列主元素上下的元素，而不仅仅是主元素以下的元素；,高斯若当消元法无需回代过程也称回代消元法。,小
12、 结,返回,第五节 消去法的应用,化矩阵为行阶梯矩阵 初等变换法求矩阵的逆,一.化矩阵为行阶梯形矩阵：,例如：,特点：,(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,例2.17 对矩阵,作行初等变换,使成为行阶梯矩阵。,解:,二. 用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵,由定理，知 ,即存在初等矩阵,使得,又因为初等矩阵可逆，所以等号两边左乘,初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，定理得证。,证明：,等号两边右乘,即，,即，,解：,例2.18,若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的行列式 等于0。结论：矩阵不可逆!,求逆时,若用初等行变换必须坚持始 终,不能夹杂 任何列变换.,注：,即,另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵,练习 ：用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵,小 结,2、用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵。,1、化矩阵为行阶梯形矩阵。,返回,
