1、第2章 平面体系的几何构造分析 2-1 概述几何构造分析：按几何学原理对体系发生运动的可能性进行分析：将体系的杆件均视为刚体或刚性链杆进行分析，用于评定结构是几何不变体系还是几何可变体系。既属于系统的稳定性分析，也是后续结构内力、变形计算的基础。几何不变体系：稳定的系统，可以作为结构。有稳定性强或弱之分有多余约束或无多余约束。几何可变体系：不稳定的系统，不能作为结构。有常变体系和瞬变体系之分。,三个刚片（或连杆）由三铰联成，这样的三角形是最基本的内部无多余约束的几何不变体系。, 2-2 平面体系几何不变的必要条件平面体系几何不变的必要条件即平面体系几何不变必须满足的条件。该条件不能确保体系是几
2、何不变的，但不满足该条件的体系一定是几何可变的。是一个排除性条件，可由体系的计算自由度定量表征。,体系的自由度 指完全确定体系位置所需的独立坐标数。可以使用直角坐标， 也可是其它任意可独立变化的几何参量体系。,以直角坐标系为例。平面内一个点相对于坐标系可用两个相互独立的坐标确定有2个自由度。,两个点则有4个自由度。,（左图）加一个刚性链杆，则AB段只有3个自由度了一个刚性链杆可减少体系（A和B）的1个自由度相当于对体系（A和B）施加了1个约束。上述刚性链杆也可被视为如右图的一个刚片（约束可转化为被约束对象，但反过来要慎重），同样有3个自由度。,两个刚片和相对于坐标系共有6个自由度，其间施加了1
3、个刚性链杆BC，则自由度减少为 6-1=5个。,如上两图，再增加1个刚性链杆，则刚片和相对于坐标系共有6-2=4个自由度。它们分别形成1个虚铰和实铰。,当2个刚性链杆形成1个 实铰时，等同于：,两个平行的刚性链杆形成的虚铰在无限远处。,三个不全平行也不全相交于一点的刚性链杆，可同时为体系提供3个约束相当于1个刚结点，体系减少3个自由度。此时，刚片和形成一个整体，且无多余约束,三个全部平行或全部相交于一点的刚性链杆，仅为体系提供2个约束其中一个是多余约束。,将上述坐标系固定于地面。成为一个整体的刚片和在3个由地面发出且不全平行也不全相交于一点的刚性链杆支撑下，与坐标系（地面）形成整体几何不变体系
4、（且无多余约束）。,单铰与复铰,一个单铰减少体系2个自由度 一个复铰相当于（n-1）单铰n 为复铰联结的刚片数减少体系2（n-1）个自由度,单刚结点与复刚结点,一个单刚结点减少 体系3个自由度,一个复刚结点相当于（n-1）单铰刚结点,n为复铰联结的刚片数 减少体系3（n-1）个自由度,必要约束与多余约束 使体系成为几何不变而所必须的约束，称为必要约束；把必要约束之外的约束，称为多余约束。,体系的计算自由度体系的计算自由度W体系各组成部分总的自由度数减去体系中总的约束数。对于几何不变体系，应满足：W0 或 W=0, 2-3 平面几何不变体系的基本组成规则 本节着重说明平面体系几何不变的充分条件构
5、成几何不变且无多余约束体系所需的最少约束数最基本的两刚片和三刚片的组成规则。,两刚片组成规则,几何不变且无多余约束: 三链杆（一铰一链杆）不交于一点,常变体系,瞬变体系,瞬变体系,常变体系，有一个多余约束,三刚片组成规则,几何不变且无多余约束: 三铰不共于一直线,瞬变体系,瞬变体系,基本组成规则的应用技巧,一元体：一个刚片与一个体系之间仅用三根不相交于一点（也不相互平行）的链杆联结； 二元体：两个刚片与一个体系之间仅用三个在一条直线的铰两两联结。增加或删去一元体和二元体不改变体系的几何构造特征。,链杆与刚片之间的互换几何构造分析中的重要技巧, 2-4 平面体系几何构造分析举例,几何不变且无多余
6、约束,几何不变且无多余约束,(b),(c) 两种解法：瞬变体系,几何不变且无多余约束,瞬变体系, 2-5 体系的几何构造与静定性几何构造分析的主要目的是将结构进行分类，然后区别对待：静定结构还是超静定结构？ 几何常变体系还是瞬变体系？静定结构：几何不变且无多余约束体系，可以作为结构且内力仅有静力平衡条件确定； 超静定结构：几何不变但有多余约束体系，可以作为结构但确定内力除了静力平衡条件外还需附加变形协调条件。又称静不定结构。 几何常变体系：至少缺少一个必要约束（可以有多余约束）的体系，不能作为结构。 瞬变体系：瞬间小变形后可以成为几何不变体系，但不能作为结构部分杆件可能受力过大。,静定结构,超
7、静定结构,几何常变体系,瞬变体系，杆件受过大,练习与简解,2-3,2-2,2-4,提交：,2-2:求W,2-8,第3章 静定结构 3-1 概述 1. 线弹性的静定结构和超静定结构的内力解答都是唯一的：静定结构的内力仅有静力平衡条件确定；而确定超静定结构的内力除了静力平衡条件外还需附加变形协调条件。本章研究静定结构内力的求解方法，它也是确定超静定结构内力的必要基础之一。,2平面杆系的静力平衡条件为,组合II,每个组合由三个相互独立的条件，可求得三个未知数。,组合I,3一个静力平衡体系的任何部分都是平衡的。即：任意选取平衡体系中的一部分均能写出组合I或组合II。但一次应选取不多于三个未知数。从求解
8、方便的角度，最好逐次选择每个方程仅有一个未知数的单元组合常首先求解支座反力。4静定结构中有两种类型的杆件：二力杆（桁架）和受弯杆（刚架）。二力杆只有截面上的轴力N；受弯杆除轴力外，截面上还有剪力Q和弯矩M。轴力沿杆件轴线方向；剪力垂直于杆件轴线方向；弯矩中轴相同的各个正、斜截面上的弯矩相同。,静定桁架,静定梁,静定平面刚架,5轴力，以拉为正，以压为负；剪力，当剪力对作用面临近小段产生的力矩为顺时针方向时，剪力为正，逆时针方向时为负；而弯矩，一般对于梁以下面受拉为正，对于其他构件，则把弯矩图画在受拉边表示。,6结构分析时计算支座反力的次序一般与结构的几何组成次序相反。有些结构可分为基本部分和附属
9、部分。计算内力时，应先求解附属部分，后求解基本部分。7计算内力时，重视采用叠加原理。8三铰结构的反力计算必须要利用中间的铰链取一半结构。9内力与荷载的关系有助于内力结果的获得。, 3-2 静定梁和静定平面刚架1. 刚架式杆件的内力以及与荷载的关系,（3-1）,（3-2）,（3-3）,（3-4）,注：,内力图形状特征,无何载区段,均布荷载区段,集中力作用处,平行轴线,斜直线,Q=0区段M图平行于轴线,Q图,M图,备注,二次抛物线 凸向即q指向,Q=0处，M 达到极值,发生突变,P,出现尖点 尖点指向即P的指向,集中力作用截面剪力无定义,集中力偶作用处,无变化,发生突变,两直线平行,m,集中力偶作
10、用面弯矩无定义,零、平、斜、抛,q、Q、M,q、Q、M,q、Q、M,q、Q、M,在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用时，截面弯矩 等于零；有集中力偶作用时，截面弯矩等于集中力偶的值。,2. 静定梁,1）简支梁,(由基本部分及附属部分组成),将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分, 不能独立平衡,其上外力的称为附属部分，,附属部分支承在基本部分上，要分清构造层次图。,ABC，DEFG是基本部 分，CD，GH是附属部分。,2）多跨静定梁,多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基本部 分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都受力。,多跨静定梁可由平衡条件
11、求出全部反力和内力，但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。,qa,a,a,a,2a,a,a,a,q,qa,qa,qa,qa,qa/4,7qa/4,qa/2,qa/2,qa/2,qa2,qa2,qa2/2,qa2/2,Q图（kN）,M图（kN.m）,1）简支梁情况,几点注意： 弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合，竖 标M ，如同M、M一样垂 直杆轴AB，而不是垂直虚线。 利用叠加法绘制弯矩图可以 少求一些控制截面的弯矩值， 少求甚至不求支座反力。而且 对以后利用图乘法求位移，也 提供了把复杂图形分解为简单图形的方法。,3. 叠加法作弯矩图,2）直杆情况,1、首先求出两杆
12、端弯矩，连一虚线；2、然后以该虚线为基 线，叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。,对于任意直杆段，不论 其内力是静定的还是超静 定的；不论是等截面杆或 是变截面杆；不论该杆段 内各相邻截面间是连续的 还是定向联结还是铰联结 弯矩叠加法均适用。,4kNm,4kNm,4kNm,2kNm,4kNm,4kNm,6kNm,4kNm,2kNm,（1）集中荷载作用下,（2）集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,（1）悬臂段分布荷载作用下,（2）跨中集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,ql2/2,ql2/4,ql2/8,qL,qL,M图,Q图,ql2/4,4. 简支斜梁计算,斜梁：,由整体平衡：,由分离体平衡
13、可得：,斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同， 斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。,MB,MA,ql2/8,斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。,1)刚架的特点 刚架的内部空间大，便于使用。 刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。 刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。,几何可 变体系,桁架,5. 静定刚架内力计算及内力图绘制,常见的静定刚架类型：悬臂刚架,简支刚架,三铰刚架,主从刚架,2)刚架的反力计算（要注意刚架的几何组成）悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出。 三铰刚架 的反力计算,整体平衡,左半
14、边平衡,整体平衡,=3kN,反力校核,C,如三铰结构是由三个单铰组成的，用整体、半边、整体的思路求其反力。 如三铰结构中有虚铰时，就要具体问题具体分析。不能使用这种方法。,三铰刚架的反 力计算方法二 （双截面法）,整体X=0，XA=ql， 左半边Y=0， YA=0,右半边Y=0， YB=0 整体Y=0 ，YA=0 整体：MA0 3qaa/2XBa0，XB=1.5qa,主从刚架的反力计算 需要分析其几何组成顺序，确定基本部分和附属部分。,由附属部分ACD,由整体,校核：,练习： 1. 利用叠加法作弯矩图,2. 求三铰刚架的支座反力,M 图 (kN.m),55,5,静定刚架内力计算及内力图绘制的一
15、般步骤求支座反力。求控制截面的内力。控制截面一般选在支承点、结点、 集中荷载作用点、分布荷载不连续点。控制截面把刚架划分成 受力简单的区段。求出各控制截面的内力值，根据每区段内的荷载情况，利用“零平、平斜、斜弯”及叠加法作出内力图。求截面的Q、N图有两种方法，一是由截面一边的外力来求；另一种方法是首先作出M 图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为分离 体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。当刚架构造较复杂 （如有斜杆）或者是外力较多时，计算内力较麻烦时，采用第二种方法。 结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端 字母作为下标来表示，并把该端字母列在前
16、面。注意结点的平衡条件。,MDA、QDC,X=0 Y=0 M0,3) 静定刚架内力计算及内力图绘制,刚架内力图绘制要点： 分段。定形。求值。画图。,1、整体平衡求反力如图,2、分段 3、定形 4、求值,NCA=qa/2， QCA=qaqa=0， MCA=qa2/2（里拉）,NCB=0， QCB=qa/2， MCB=qa2/2（下拉）,a,作刚架Q、N图的第二种方法：首先作出M图；然后取杆件 为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取 结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。,a,q,A,B,C,M图,MCqa2/2+ QBCa=0 QBC=QCB=qa/2,MCqa2/2+
17、 qa2/2 QACa=0 QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a=qa MA0 Q CA=（qa2/2 qa2/2 ）/a=0,X0，NCB 0 Y0，NCAqa/2,例: 试绘制下图所示刚架的弯矩图,RB,O,可以不求反力，由自由端开始作内力图。,ql,ql2/2,4) 不求或少求反力绘制弯矩图根据结构特点和荷载特点，利用弯矩图与荷载、支承、联结之间的对应关系，可以不求或少求支座反力，迅速绘制出弯矩图。下面结合具体例子，说明快速绘制弯矩图的方法。,悬臂刚架,简支型刚架弯矩图,简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出一个与杆件垂直的反力,然后由支座作起,qa2/2,qa2/2,注意:BC杆CD杆
18、的 剪力等于零,弯矩图 与轴线平行,M/2,M,M/2,Mo=m2aXB=0, 得 XB=M/(2a),a,a,a,M,A,B,C,三铰刚架弯矩图,80kN,20kN,120,90,120,60,180,62.5,M图 kM.m,仅绘M图,并不需要 求出全部反力.,然后先由A.B支座开始 作弯矩图.,先由ADY=0 得 YA=80kN,再由整体X=0得 XB=20kN,MEA=806206/2=120,定向支座处、定向连接处 剪力等于零，剪力等于零的杆段弯矩图平行于轴线。 注意这些特点可以简化支座反力计算和弯矩图绘制。,XA=ql， YA=0,M,A,a,a,a,q,B,4.5qa2,M图,P
19、h,Ph,Ph,2Ph,右半边Y=0YB=0YA=0 整体：MA0 3qaa/2XBa0 XB=1.5qa,求绘图示结构的弯矩图。,ql2,1.5ql2,0.9ql2,ql2,利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减少错误，提高效率。 另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查M图的轮廓是否正确。,M图与荷载情况是否相符。,M图与结点性质、约束情况是否相符。,作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶是否 满足平衡条件。,A,B,C,q,练习：绘制弯矩图,2q,2q,6q,ql2/2,ql2/2,整体对O点建立平衡方程得 MO=ql1.5l+2lXA=0 得 XA=3ql/
20、4,RB,ql2/4,1. 拱结构的型式,3. 三铰拱的几何特征参数,拱的基本概念,2. 拱结构的特点,3-3 三铰拱,静定拱三铰拱,静定拱带拉杆的拱,为了消除拱对支座的水平推力，可采用带拉杆的拱，如下图。,1. 拱结构的型式,超静定拱两铰拱,超静定拱无铰拱,拱是在竖向荷载作用下能产生水平反力的结构，水平反力产生负弯矩，可以抵消一部分正弯矩。,2. 拱结构的特点,与简支梁相比拱的优点是：弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）；应力沿截面高度分布较均匀；节省材料，减轻自重，能跨越大跨度；宜采用耐压不耐拉的材料 ，如砖石混凝土等；有较大的可利用空间。,其缺点是：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部
21、结构的材料用量和施工难度。,3. 三铰拱的几何特征参数,拱轴线：拱体各截面形心的连线；拱 趾：拱两端与支座的连接处；拱 顶：拱轴的最高点。三铰拱的中间铰一般设置在拱顶处；拱跨度：两拱趾的水平距离；拱 高：拱顶至两拱趾连线的竖向距离，也称矢高；高跨比：拱高与跨度之比，对拱的内力有重要影响。,拱趾,拱趾,拱顶,三铰拱平拱,三铰拱斜拱,三铰拱在沿水平均匀分布的竖向荷载作用下，其合理拱轴线为抛物线。,q,2. 常见荷载作用下三铰平拱的合理轴线,合理拱轴线,1. 合理拱轴线的概念,给定荷载作用下，能使拱体所有截面上的弯矩为零的拱轴线。,q0,在填土重量作用下，三铰拱的合理拱轴线是一悬链线。,在均匀水压力
22、作用下，三铰拱的合理拱轴线是圆弧线。,3-4 静定平面桁架,基本概念,结点法,截面法与结点法的联合应用,各类梁式桁架的比较,杆件替代法,截面法,1. 基本假定和理想桁架,2. 桁架的分类,基本概念,1. 基本假定和理想桁架,(1)结点都是光滑的铰结点； (2)各杆都是直杆且通过铰的中心； (3)荷载和支座反力都作用在结点上；,计算简图,各杆只受轴力,称为理想桁架；,上弦,下弦,斜杆,竖杆,上下弦杆承受 梁中的弯矩,腹杆(竖杆和斜杆) 承受剪力。由理想桁架计算得到内力是实际桁架的主内力。实际 结构还存在次内力。,2. 桁架的分类按几何组成可分为以下三种,（1）简单桁架 由基础或一个基本铰结三角形
23、开始，依次增加二元体所组成的桁架。,（2）联合桁架由简单桁架按几何不变体系 组成法则所组成的桁架。,（3）复杂桁架不属于以上两类的其它桁架。其几何不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加以分析，需用零荷载法等予以判别。,复杂桁架不仅分析计算麻烦，而且施工也不大方便。 工程上较少使用。,结点法,取单结点为分离体，,其受力图为一平面汇交力系。,它有两个独 立的平衡方程。,为避免解联立方程,应从未知力不超过两个的结点开始计算。,对于简单桁架,可按去除二元体的顺序截取结点，逐次用结点法求出全部内力。,A,斜杆轴力与其分量的关系,l,lx,ly,N,Nx,Ny,1. 结点法的基本思路,解： 1 、整体平
24、衡求反力,0,80kN,100kN,2、求内力,1,80kN,N12,N13,Y13,X13,Y=0 ， Y13=80， 由比例关系得 X13=80 3 /4 =60kN N13 =80 5 /4=100kN X=0 ， N12=60，,100,60,80,60,60,40,30,40,50,-90,-90,0,75,15,20,25,80,75,100,75,125,例 试求桁架各杆内力,取结点1,X=0 ， N24=60， Y=0 ， N23=40，,Y=0 ， Y34= 60 X34= 90。,Y=80+20100=0， X=907515=0。,Y=100100=0， X=7575=0。
25、,注意：这些特性仅用于桁架结点,2.特殊结点的力学特性,零杆的判定,(1) 对称荷载作用下内力呈对称分布。,对称性要求：,N1=N2,由D点的竖向平衡要求,N1=N2,所以 N1=N2=0,对称轴上的K型结点无外力作用时，其两斜杆轴力为零。,N,N,1,杆1受力反对称,=0,=0,与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零；,（注意：该特性仅用于桁架结点）,(2) 反对称荷载作用下内力呈反对称分布。,3. 对称性的利用,与对称轴重合的杆轴力为零。,截面法,取一个隔离体可求得三个未知力而无法求得多于三个的 未知力截面的选择具有技巧性；,截面法常用于求桁架中指定杆件的轴力；计算联合桁架，要先用截面法求出简单桁架
26、间联系杆件的内力。,1. 截面法的基本思路,平衡体系的任意部分均是平衡的，应满足相应的平衡条 件。取单结点为隔离体，其受力图为一平面汇交力系。它有两个独立的平衡方程结点法；取桁架中包含两个或两个以上结点部分为隔离体,其受力图为一平面任意力系,可建立三个独立的平衡方程截面法；,注意采用零杆判定和对称性等手段简化计算；,例：求指定三杆的内力,解：取截面以左为隔离体,由 MD=2aP+N1h=0,得 N1=2Pa/h,由 MC=3aPPaN3h=0,得 N3=2Pa/h,由 Y=Y2+PP=0,得 Y2=0 N2=0,对两未知力交点取矩、沿与两平行未知力垂直的方向投影 列平衡方程，可使一个方程中只含
27、一个未知力。,2. 截面法中的特殊情况,当所作截面截断三根以上的杆件时：,当所作截面截断 三根以上的杆件 时：如除了杆 1外，其余各杆均 互相平行，则由投影方程可求出 杆1轴力。,如除了杆1外，其余各杆均交于一点O 则对O点列矩方程可求出杆1轴力。,1,1,B,例： 求图示桁架中a杆的轴力,有时，单独使用结点法或截面法并不简洁；联合并灵活 应用结点法和截面法则可以获得有效的解题途径。为此： （1）选择合适的出发点，即从哪里计算最易达到计算目标； （2）选择合适的截面，巧取隔离体，使出现的未知力较少； （3）选用合适的平衡方程，即巧取矩心和投影轴，并注意所 列方程的先后顺序，力求使每个方程中只含
28、一个未知力。,截面法和结点法的联合应用,1、弦杆,M2=N16+（2PP/2）4=0N1= P,M5=N46 （2PP/2）4=0N4= P,N1= P,N4= P,2、斜杆 结点6为K型结点。N6=N5 再由Y=0 得：Y5Y6+2PP P/2=0 Y6=P/4 N6=N5=5P/12,3、竖杆 取结点7为分离体。由于对称：N3=N5,7,由Y=0 得： Y5+Y3+ P+N2=0 N2=P/2,例:求指定杆的轴力,先求出反力,解法1 由D点水平投影平衡得： N1=NGD （1） 取-截面以左为分离体：,解（1）（2）（3）得：,对称情况下，N=0，NGD=NGE，由点,解法2 将荷载分成对
29、称和反对称两组如图（a）（b） 反对称情况下，N2=0，NGD=NGE，由G点,由点,由G点,各类梁式桁架的比较,简支梁结构在图示荷载作用下的弯矩图：,梁式桁架可被视为由梁结构演化而来。包括：平行弦桁架、三角形桁架和抛物线形桁架等。其弦杆轴力为：,FN=Mo/r（上弦压,下弦拉),其中，Mo为桁架结点相应于同跨简支梁截面的弯矩；r 为弦杆内力对矩心的力臂。,梁式桁架的受力特点为：1、平行弦桁架：r =d=常数，弦杆内力两端小，中间大；腹杆内力两端大，中间小。斜杆拉，竖杆压;2、三角形桁架：r自跨中向两端按直线规律变化比Mo 减少的快，弦杆内力两端大，中间小；腹杆内力两端小中间大。斜杆拉，竖杆压
30、;3、抛物线形桁架： r、Mo都按抛物线规律变化，各上弦杆内力的水平分力相等等于各下弦杆内力；腹杆不受力。,几类简支桁架的共同特点是：上弦受压，下弦受拉， 竖杆、斜杆内力符号相反。,D,杆件替代法,X,杆件替代法的基本思想：1）通过杆件替代，以几何构造简单的静定桁架代替原有桁架；2）以替代桁架轴力为依据，最后得到原有桁架的轴力。 下以图示桁架结构为例进行说明：,在D、E结点之间增加链杆DE；,C支座处的竖向链杆以竖向未知力X 代替；,完成了原有结构向替代结构的转化。,B,F,E,A,C,X,0,0,0,分别计算替代结构在Fp和X 作用下的轴力，如下图:,DE杆实际上不存在，其轴力FNDE=0，
31、即有,注意到X 的实际取值，将上述替代结构在Fp和X 单独作用下的各杆轴力对应叠加，即得原有结构的轴力图：,组合结构由链杆和梁式杆组成。,加固工程上采用的结构形式：链杆加劲梁。混凝土梁开裂接近破坏时，下面用预应力拉杆进行加固。,3-5 组合结构,高层建筑中，通过斜撑，加强结构的抗风能力。同时也起到了跨间支撑作用。,下撑式五角形屋架,计算组合结构时应注意：,注意区分链杆（只受轴力）和梁式杆（受轴力、剪力和弯矩）； 前面关于桁架结点的一些特性对有梁式杆的结点不再适用； 一般先计算反力和链杆的轴力，然后计算梁式杆的内力； 取隔离体时，尽量不截断梁式杆。,链杆是两端是铰、中间不 受力、也无连结的直杆,
32、梁式杆,NAB=,NCD=0 （ ）, N1=N2=0 N1=N2 N1N2 N1=N20,3-7 静定结构的一般性质,静定结构的几项特性,零载法,杆件体系类别回顾,杆件体系类别回顾,几何可变体系：有常变体系和瞬变体系之分。可以有多余约束但仍是不稳定的系统，不能承载。 静定结构：是无多余约束的几何不变体系；其全部内力和反力仅由静力平衡条件就可唯一确定。 超静定结构：是有多余约束的几何不变体系；其全部的内力和反力不能仅由静力平衡条件完全确定，需要同时考虑变形协调条件后才能得到唯一的解答。,体系的计算自由度W体系各组成部分总的自由度数减去体系中总的约束数 几何可变体系： W0 或 W=0 且有多余
33、约束； 静定结构： W=0 且无多余约束； 超静定结构： W0 的几何不变体系。,1、支座位移、温度改变、材料收缩和制造误差等因素不 引起静定结构的内力和反力,静定结构的几项特性,2、静定结构的局部平衡特性 在荷载作用下，如果静定结构中的某一局部可以与荷载平 衡，则其余部分的内力必为零。,局部平衡部分也可以是几何可变的 只要在特定荷载作用下可以维持平衡,+,荷载分布不同，但合力相同,当静定结构的一个几何不变 部分上的荷载作等效变换时， 其余部分的内力不变。,3、静定结构的荷载等效特性,仅AB杆受力，其余杆内力为零,除AB杆内力不同，其 余部分的内力相同。,结论：桁架在非结点荷载 作用下的内力，
34、等于桁架在等效 荷载作用下的内力，再叠加上在 局部平衡荷载作用下所产生的局 部内力（M、Q、N）。,4、静定结构的构造变换特性,+,+,当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时,其余部分的内力不变。,零载法,1.研究杆件体系几何不变性的方法除了前述几何构造分析法外，还有静力法。零载法即为静力法的一种。,3.几何可变体系和静定结构均存在W0 的情况。因此，零载法可用于区分几何可变体系和静定结构;,4.静定结构的全部内力和反力仅由静力平衡条件就可唯一确定；而几何可变体系的静力平衡解答具有多解性。故满足静力平衡条件解的唯一性成为判定系统是否为静定结构的充分条件。,5.任意荷载作用下静定结构的全部
35、内力和反力都是唯一确定的，但未确知结构的几何不变性之前，解的唯一性不易判定；,2.零载法可用于判定计算自由度 W0 的体系的几何不变性；,6.静定结构在零荷载作用下的全部内力和反力均为零，W0且满足此条件的体系即为静定结构，否则为几何可变体系。该条件不仅简单而且明确故此称为零载法。,图示两个体系：,左为静定结构简支梁；右为瞬变体系。,图(a)(d)四个体系的计算自由度均为 W0 ，因此可用零载法判定其几何不变性。,图(a)和(b)两个体系在零荷载作用下的全部内力和反力的静力平衡解均为零，它们都是静定结构。,图(c)杆件在零荷载作用下静力平衡解为 X=X，而 X 还可取常数0之外的其它任意值解答
36、不具唯一性几何可变体系。,图(d)支座链杆零荷载作用下的静力平衡解为 X=X1+X2 ，满足此解的 X 、X1和X2 可有无数种组合几何可变体系。,解：W=,210,200，因此可以采用零载法。,X, Xsin, Xcos, Xsin,X,Xcos,当X为任意值时， 各结点都能平衡，为 有自内力的几何可变 体系。,例：判定图示体系的几何不变性。,解:W=122240,因此可以采用零载法。,X,X,X,-X/2,A,取A点，,n=0 ，X/2X=0,初参数X必为零。,进一步得出各杆轴力全部为零，即不存在自内力，因此 该体系为几何不变体系。,例:试判定图示体系的几何不变性,练习题：绘制内力图,第5
37、章 结构位移计算,a）验算结构的刚度；b）为超静定结构的内力分析打基础；,不产生内力，产 生变形和位移,b）温度改变和材料胀缩；,c）支座沉降和制造误差,不产生内力和变形， 产生刚体移动,位移是几何量，自然可用几何法来求，,但最好的方法是虚功法，其理论基础是虚功原理。,a）荷载作用；,2、产生位移的主要原因,计算位移时，常假定：1）=E；2）小变形。即：线弹性体系：荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。,1、计算位移目的,概 述,广义力,广义位移,单个力,力作用点沿力作用方向上的线位移,单个力偶,力偶作用截面的转角,等值反向共线的一对力,两力作用点间距的改变，即两力 作用点的相对位移,一对等
38、值反向的力偶,两力偶作用截面的相对转角,T=PA+PB,=P（ A+B）,=P,T=mA+mB,=m（ A+ B）,=m ,3、位移、力和功,状态1 是满足平衡条件的力状态，状态2是满足变形连续条件的位移状态，状态1的外力在状态2的位移上作的外虚功等于状态1的各微段的内力在状态2 各微段的变形上作的内虚功之和,T12 0,即：T12=,d2=2ds,微段的变形可分为2ds，,2ds，,2ds,=N12ds+Q12ds+M12ds,变形体的虚功原理,虚拟力状态 1,需首先虚拟力状态,在欲求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力P=1.,该式是结构位移计算的一般公式,1) 适用于静定结构和超静定
39、结构；2) 适用于不同的材料、各种原因 产生的位移、各种变形类型； 3) 该式右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取正。,结构位移计算的一般公式 单位荷载法,NP QP MP,真实 位移 状态,注: （1）该公式适用于静定和超静定结构，但必须是线弹性体系。 （2）公式右边各项分别是轴向、剪切、弯曲变形产生的位移；EA、GA 、 EI是杆件相应的截面刚度； k是截面形状系数k矩=1.2， k圆=10/9。,（3）为利用此公式计算位移，须首先给出各杆的实际内力NP、QP、MP和虚设单位荷载引起的内力,静定结构在荷载作用下的位移计算,C,（5）桁架 =,（6）桁梁混合结构,（7）拱：常只考虑弯
40、曲变形的影响;,（4）梁和刚架,=,=,对扁平拱需考虑轴向变形。,积分常可用图形相乘来代替,（8）计算广义位移的灵活性沿着拟求位移的方向，虚设相应的广义单位荷载。,位移方向未知时无法直接虚拟单位荷载！,Mi=xtg,注：,表示对各杆段分别图乘再相加。 图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。 竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 面积与竖标y0在杆的同侧， y0 取正号，否则取负号。,y0=x0tg,图乘法, 常见图形的面积和形心的位置,=hl/2,二次抛物线=2hl/3,二次抛物线=hl/3,二次抛物线=2hl/3,三次抛物线=hl/4,n次抛
41、物线=hl/(n+1),顶点,顶点,顶点,顶点,顶点,弯矩图的顶点是剪力等零点,非标准图形直线形a）直线形直线形,各种直线形直线形，都可以用该公式处理。竖标在基线 同侧乘积取正，否则取负。,=111,b)非标准抛物线直线形,当图乘法的适用条件不满足时,ql2/2,例:求梁B端转角,例:求梁B点竖向位移,EI=3.6465 104Nm2,P=1,0.8,2,例：求C点竖向位移,ql2/2,ql2/8,P=1,l,y3,B,NP=ql/2,NP=0,求B点水平位移 EI=常数,静定结构在非荷载作用下的位移计算,1. 温度变化引起的位移,2. 支座位移引起的位移,1. 温度变化引起的位移,（1）位移
42、计算基本公式,（2）计算的前提条件, 仅有温度作用的静定结构-温度改变不产生内力，材料自由胀缩；温度变化引起轴向应变和曲率，剪应变g =0 ； 不考虑支座位移，有,其中，a 为材料的线膨胀系数； t0 为杆件中性轴处的温度变化量； t=t2-t1 为杆件两侧的温度变化差；h 为杆件截面高度。, 温度参数-假设温度沿截面高度线性变化。,t0,t0=（h1t2+h2t1）/h t=t2-t1 t0=（t2+t1）/2 （矩形截面）,微段的变形, 前述位移计算公式仅适用于静定结构；,（3）基本参数推导,（4）注, t0，t1, t2 均表示杆件温度的变化量，升温为正，降温为负；,拉力为正；,与t2同
43、侧为正；, 材料收缩、制造误差引起的位移计算原理类同。,例：求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。,1,a,静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0， g=0 ， k=0。代入,得到：,(仅用于静定结构),2. 由支座位移引起的位移,求铰C的相对转角,线弹性体系的互等定理,1. 功的互等定理,4. 反力与位移互等定理,2. 位移互等定理,3. 反力互等定理,N1 M1 Q1,N2 M2 Q2,功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状 态的位移上作的功T12等于状态的外力在状态的位移上 作的功T21。 即： T12= T21,1. 功的互等定理,2、位移互等定理,位移互等
44、定理：由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移12 。,称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。,注意:1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。,3、反力互等定理,称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。,反力互等定理： r12=r21，在任一线性变形体系中，由单位位移C1=1所引起的与位移C2相应的反力r21等于由单位位移C2=1所引起的与位移C1相应的反力r12 。,注意:1）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。2）反力互等定理多用于超静
45、定结构。,4. 反力与位移互等定理,Pi=1,i,j,j,i,j=1,状态 i,状态 j,由功的互等定理，可得,（-1）：既含负号,又含有量纲。,练习：图中各杆的EI为常数，求AB段中点C的竖向位移,第6章 力 法,超静定结构受力分析的基本方法,力法的基本概念,力法的基本结构将待分析的超静定结构撤除多余约束后得到的静定结构。,3. 力法方程反映变形协调条件，旨在求解多余约束力（力法的基本未知量）的典型方程。,2. 力法的基本未知量被撤除的多余约束中的未知力。,4. 力法求解的基本思路选择基本结构，撤除多余约束，暴露多余约束力；利用变形协调条件构建力法基本方程，求得基本未知量；基本结构在外部作用和已求得的多余约束力共同作用下的内力和位移结果即为所求。,是有多余约束的几何不变体系 内力和反力不能仅由平衡条件求出,a) 静定结构,是无多余约束的几何不变体系 内力和反力可由平衡条件求出,b) 超静定结构,任意一个超静定结构都必须同时满足：,一、超静定结构的特点,超静定次数与力法基本结构,(1) 平衡方程结构处于静止状态的必要条件；,(2) 变形协调条件受到外部作用时，结构各杆件之间应协调联系在一起，不发生撕裂或套叠；,(3) 力-位移关系在此假设服从线弹性的本构关系。,二、超静定次数确定,超静定次数=多余约束的个数,=,多余未知力的个数,把原结构变成静定结构时所需撤除的约束个数,
