1、工程硕士（ GCT）数学模拟试卷 81及答案与解析 一、选择题（ 25题，每小题 4分，共 100分） 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 若 2a2+3a-b=4，则 =( ) （ A） 2 （ B） 4 （ C） 8 （ D） 16 2 若 (4x2-8xy+3y-9)2+|5x+3|=0，则 25(8xy-3y)+190的值是 ( ) （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） -1 3 一批零件共 1100个，如果甲先做 5天后，乙加入合做，再做 8天正好完成，如果乙先做 5天后，甲加入合做，再做 9天也恰好完成，则甲、乙两人每天各做的零件数分别是 ( )
2、 （ A） 60,40 （ B） 60,60 （ C） 40,40 （ D） 40,60 4 在 500m长的大街两侧从起点到终点每隔 25m栽一棵树现有 A、 B两种树苗，若要求 A、 B两种树苗相间且 A树苗要在大街两端，则需要 A、 B两种树苗的棵数分别为 ( ) （ A） 22,20 （ B） 20,22 （ C） 11,10 （ D） 10,11 5 已知二次函数 y=ax2-2ax+b的图像与 x轴的一个交点是 A(3,0)点，直线 y=-x+b经过点 A该二 次函数的表达式为 ( ) （ A） y=-x2+2x+3 （ B） y=x2-2x+3 （ C） y=-x2+2x-3 （
3、 D） y=x2-2x-3 6 某种考试要在指定的三门课程中随机选取两门，两门都及格者为考试通过若某人对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5,0.6和 0.9，则此人考试通过的概率是( ) （ A） 0.3 （ B） 0.45 （ C） 0.54 （ D） 0.43 7 i是虚数单位， 6 R，已知 Re(b+i)=0， Im(b+i)2 0，则b=( ) 8 如果 a1,a2,a n为正数的等差数列，且公差 d0，则 ( ) （ A） a1a8 a4a5 （ B） a1a8 a4a5 （ C） a1+a8 a4+a5 （ D） a1a8=a4a5 9 设 0 a 1，函数 f(x)=lo
4、ga(a2x-2ax-2)，则 f(x) 0的充分必要条件是 x ( ) （ A） (-,0) （ B） (0,+) （ C） (-,loga3) （ D） (loga3,+) 10 不等式 的解集是 ( ) （ A） (-1,0) (1,+) （ B） (-,-1) (0,1) （ C） (-1,0) (0,1) （ D） (-,-1) (1,+) 11 函数 的最大值是( ) 12 过点 A(7,2)作圆 x2+y2+2x-4y-95=0的弦，其中弦长为整数的共有 ( ) （ A） 8条 （ B） 9条 （ C） 16条 （ D） 18条 13 已知双曲线 (a 0,b 0)右焦点为 F，
5、右准线 l与两条渐近线分别交于P和 Q点若 PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e=( ) 14 如图，矩形 ABCD中，由 8个面积均为 1的小正方形组成的 L型模板如图放置，则矩形 ABCD的周长为( ) 15 一个圆柱 形的饮料瓶如题 15图所示，其容积为 300mL现瓶内装有一些饮料该瓶正放时，饮料高度为 20cm，若该瓶倒放时，空余部分的高度为 5cm，瓶内现有饮料的体积为 ( )cm3 （ A） 160 （ B） 200 （ C） 240 （ D） 280 16 设 f(x)在 (-,+)内有定义，且则 g(0)= ( ) （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 17
6、曲线 有公切线，则a=( ) 18 设函数 f(x)为可导函数，且 f(x)严格单调递增，则 在 (a,b内 ( ) （ A）有极大值 （ B）有极小值 （ C）单调增加 （ D）单调减少 19 20 设 (a是大于零的常数 )，则 ( )。 （ A） I=a （ B） I=0 （ C） I=+ （ D）无法确定 I的值 21 设在 a,b上 f(x) 0，且在 (a,b)内 f(x) 0， f(x) 0，记 I1=(b-a)f(b)，I2= ，则 ( ) （ A） I1 I3 I2 （ B） I1 I2 I3 （ C） I1 I3 I2 （ D） I3 I1 I2 22 23 对于齐次线性方
7、程组 (1) 若 =0，则方程组有非零解； (2) 若 =1，则方程组有非零解； (3) 若 =-1，则方程组有非零解； (4) 若 0且1，则方程组只有零解； 以上命题正确的个数为 ( )个 （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 24 设向量组 1,2,3线性无关，且 1能被 1,2,3线性表出，而 2不能被 1,2,3线性表出则 ( ) （ A） 1,2,1线性相关 （ B） 1,2,2线性相关 （ C） 1,2,1,2线性相关 （ D） 1,2,3,1+2线性无关 25 设三阶矩阵 且已知 A B，则， |A|=( ) （ A） 6 （ B） 18 （ C） -6 （
8、D） -8 工程硕士（ GCT）数学模拟试卷 81答案与解析 一、选择题（ 25题，每小题 4分，共 100分） 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 【正确答案】 C 【试题解析】 故选 C 另解：特殊值代入法取 a=1， b=1，则 2a2+3a-b=4，且 2 【正确答案】 B 【试题解析】 由 (4x2-8xy+3y-9)2+|5x+3|=0，可知 3 【正确答案】 A 【试题解析】 设甲、乙每天各做的零件数分别为 x,y，则 求得 x=60,y=40 故应选 A 4 【正确答案】 A 【试题解析】 每侧共需栽树 +1=21(棵 )， A树比 B树多 1棵故每侧需
9、11棵 A树， 10棵 B树，两侧共需 22棵 A树， 20棵 B树 故应选 A 5 【正确答案】 A 【试题解析】 因为直线 y=-x+b过点 A(3,0)，所以 b=3将点 A(3,0)的坐标代入y=ax2-2ax+6得 9a-6a+3=0，解得 a=-1 所以二次函数解析式为 y=-x2+2x+3 故选 (A) 6 【 正确答案】 D 【试题解析】 记考试及格率为 0.5,0.6和 0.9的课程分别为 A、 B、 C 该考生选定A、 B课程考试通过的概率为 0.50.6=0.3， 选定 B、 C课程考试通过的概率为0.60.9=0.54， 选定 A、 C课程考试通过的概率为 0.50.9
10、=0.45， 该考生选取 A、B或 A、 C或 B、 C课程的概率均为 故该考生考试通过的概率为 故应选 D 7 【正确答案】 B 【试题解析】 b是实数 (b+i)2=b2-1+2bi，由 Re(b+i)2=0，即得 b2-1=0，解出 b=1或 b=-1，再 由 Im(b+i)2 0，即得 2b 0，所以 b=1故应选 B 8 【正确答案】 B 【试题解析】 an为正数的等差数列，所以 a1 0，且d0 所以 a4a5a1a8故应选 B 9 【正确答案】 C 【试题解析】 因为 0 a 1，所以 右边的不等式可写成 a2x-2ax-30，即 (ax-3)(ax+1) 0因对一切 x R有
11、ax+1 0，所以有 ax 3，即 xloga3 故选 C 10 【正确答案】 A 【试题解析】 将原不等式写成 图上可见双曲线在直线上方时，自变量 x的 变化范围是 (-1, 0) (1,+)故选 A 11 【正确答案】 B 【试题解析】 12 【正确答案】 C 【试题解析】 圆方程写成 (x+1)2+(y-2)2=100圆心为 (-1,2)，半径 r=10 (7,2)代入方程左边得 (7+1)2+(2-2)2=64 100 所以 A在圆内过 A最长的弦为过 A的直径，弦长为 20，最短的弦为过 A与最长弦 (直径 )垂直的弦，其弦长为，所以弦长 L满足： 12L20 L可以取的整数值为12
12、,13,19,20 共 9个整数其中过 A弦长为 12和 20各有 1条弦，由对称性，弦为 13,19 的弦各有 2条所以弦长为整数的弦共有 16条故选 C 13 【正确答案】 A 【试题解析】 14 【正确答案】 D 【试题解析】 设 BAE=，则 AB=4cos，BC=4sin+4cos 15 【正确答案】 C 【试题解析】 设圆柱形瓶的底面积为 S(cm2)如题 15图 (1)瓶内现有饮料的体积为 20S(cm3)由图 (2)瓶内空余部分的体积为5S(cm3) 16 【正确答案】 C 【试题解析】 故应选 C 17 【正确 答案】 C 【试题解析】 18 【正确答案】 C 【试题解析】
13、19 【正确答案】 C 【试题解析】 故正确选项为 C 20 【正确答案】 A 【试题解析】 利用积分中值定理和重要极限可得 故正确选项为 A 21 【正确答案】 C 【试题解析】 22 【正确答案】 B 【试题解析】 23 【正确答案】 C 【试题解析】 这是一个三个方程三个未知数的齐次方程组，由系数矩阵的行列式来判断它的解比较方便设Ax=0 即=0或 =-1或 =1时， Ax=0有非零解 |A|0时，即 0且 1时， Ax=0只有零解 由此得到题中 (1)(2)(3)均正确， (4)不正确 故正确的选择应为 C 24 【正确答案】 D 【试题解析】 因 1,2,3线性无关，而 1能被 1,
14、2,3线性表出设1=k11+k22+k33对下面的矩阵施行初等列变换 则有 r(A)=r(B)(初等变换不改变矩阵的秩 ) 因已知 1,2,3线性无关， 2不能被 1,2,3线性表出，故1,2,3,2线性无关，即 r(B)=4，从而 r(A)=r(1,2,3,1+2)=4即 1,2,3,1+2线性无关 正确的选择应为 D 25 【正确答案】 C 【试题解析】 由于已知 A B，故 A与召有相同的特征值。由 |E-A|= 知矩阵 A至少有一个特征值1=2 知矩阵 B的特征值为 1=t,2=-1,3=3 这样可知 t=2即 B的特征值与 A的特征值相等它们的三个特征值均为 1=21,2=-1,3=3这样得到 |A|=|B|=123=2(-1)3=-6 故应选 C
