1、注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷 12 及答案与解析一、单项选择题共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意。1 级数 an 收敛是 an 0 的什么条件？（A）充分条件，但非必要条件（B）必要条件，但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件，又非必要条件2 正项级数 an 收敛是级数 an2 收敛的什么条件？（A）充分条件，但非必要条件（B）必要条件，但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件，又非必要条件3 下列级数中，发散的级数是哪一个？4 若级数 an(x2)n 在 x2 处收敛，则此级数在 x5 处的敛散性是怎样的？（A）发散（B）条
2、件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性不能确定5 幂级数 xn 一 （1x1）的和函数是：（A）xsinx（B）（C） xln(1x) （D）xln(1+x)6 级数 （1） nxn 在|x|1 内收敛于函数：7 微分方程 y“+2y0 的通解是：（A）yAsin2x（B） yAcosx（C）（D）8 微分方程 ydx+(xy)dy0 的通解是：（C 为任意常数）9 微分方程(3+2y)xdx+(1+x 2)dy0 的通解为：（C 为任意常数）（A）1+x 2Cy（B） (1+x2)(3+2y)C（C） (3+2y)2（D）(1+x 2)2(3+2y)C10 微分方程 y“+ay20 满足条件 y|
3、x0 0，y |x0 1 的特解是：11 微分方程(1+2y) xdx+(1+x2)dy 的通解为：（以上各式中，C 为任意常数）（A）（B） (1+x2)(1+2y)C（C） (1+2y)2（D）(1+x 2)2(1+2y)C12 微分方程 y“(y) 2 的通解是：（以上各式中，C 1、C 2 为任意常数）（A）lnx+C（B） ln(x+C)（C） C2+ln|x+C1|（D）C 2ln|x+C1|13 下列函数中不是方程 y“2y+y0 的解的函数是：（A）x 2ex（B） ex（C） xex（D）(x+2)e x14 微分方程 cos ydx+（1+e x）sinydy0 满足初始条
4、件 y|x0 的特解是：（A）cosy （4+e x）（B） cosy1+e x（C） cosy4(1+e x)（D）cos 2y1+e x15 微分方程 y“x+sinx 的通解是：（C 1、C 2 为任意常数）16 微分方程 y“4y4 的通解是：（ C1、C 2 为任意常数）（A）C 1e2xC2e2x+1（B） C1e2x+C2e2x1（C） e2xe2x+1（D）C 1e2x+C2e2x217 微分方程(1+y) dx（ 1x）dy0 的通解是：（C 为任意常数）（A）（B） 1+yC（1 一 x） 2（C）（ 1 一 x）(1+y)C（D）18 微分方程 y+ 2 满足初始条件 y
5、|x1 0 的特解是：19 微分方程 y“+2y0 的通解是：（A，B 为任意常数）20 方程 yp(x)y 的通解是：（A）ye p(x)dx+C（B） ye p(x)dx+C（C） yCe p(x)dx（D）yCe p(x)dx21 已知一阶微分方程 ，问该方程的通解是下列函数中的哪个？22 微分方程 y“6y+9y0，在初始条件 y|x0 2，y| x0 0 下的特解为：（A） xe2x+C（B） xe3x+C（C） 2x （D）2xe 3x23 函数 yC 1 （其中 C1、C 2 是任意常数）是微分方程 2y0 的哪一种解？（A）通解（B）特解（C）不是解（D）是解，但不是通解也不是
6、特解24 微分方程 ydx+（y 2x ey）dy0 是下述哪种方程？（A）可分离变量方程（B）一阶线性的微分方程（C）全微分方程（D）齐次方程25 下列一阶微分方程中，哪一个是一阶线性方程？（A）(xe y2y)dy+eydx0（B） xy+ye x+y（C）（D）26 若 y2(x)是线性非齐次方程 y+P(x)yQ(x)的解，y 1(x)是对应的齐次方程 y+P(x)y0 的解，则下列函数中哪一个是 y+P(x)yQ(x)的解？（A）yCy 1(x)+y2(x)（B） yy 1(x) +C2y2(x)（C） yCy 1(x)+y2(x)（D）yC 1y(x)y1(x)27 若 y1(x)
7、是线性非齐次方程 y+P(x)yQ(x)的一个特解，则该方程的通解是下列中哪一个方程？（A）yy 1(x)+eP(x)dx（B） yy 1(x)+CeP(x)dx（C） yy 1(x)+eP(x)dx+C（D）yy 1(x)+CeP(x)dx28 满足方程 F(x)+20xf(x)dxx 2 的解 f(x)是：29 设 f(x)、f(x)为已知的连续函数，则微分方程 y+f(x)yf(x)f(x)的通解是：（A）yf(x)+Ce f(x)（B） yf(x)e f(x)ef(x)+C（C） yf(x) 1+Cef(x)（D）yf(x)1+Ce f(x)注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模
8、拟试卷 12 答案与解析一、单项选择题共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意。1 【正确答案】 A【试题解析】 级数收敛的必要条件 an0。须注意本题的条件和结论。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 利用正项级数比较判别法极限形式判定： 0 1，故级数a n2 收敛，反之不一定正确。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 利用级数敛散性判定法可断定 A、B、C 式收敛，D 式 un0，所以级数发散。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 设 x2z，级数化为 anzn，当 x2 收敛，即 z4 收敛，利用阿贝尔定理，z
9、 在（ 4，4）收敛且绝对收敛，当 x5 时，z 3，级数收敛且绝对收敛。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 利用 ln(1+x)的展开式，即（1x1），从已知级数中提出字母 x 和函数即可得到。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 级数 (1)nxn1 一 x+x2x3+为等比级数，公比 qx，|q|x|1，由 S 代入数据计算得本题 S。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 写出微分方程对应的特征方程 r2+20，得 r ，即0， ，写出通解【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 将微分方程化成 1，方程为一阶线性方程
10、。其中 P(y) ，Q(y) 1 代入求通解公式 xe P(y)dy(y) eP(y)dxdy+C计算如下：变形得 或将方程化为齐次方程计算。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 方程的类型为可分离变量方程，将方程分离变量得两边积分：则 ln(1+x2) +ln(3+2y)一2C，令2ClnC 1，则 ln(1+x2)+ln(3+2y)lnC 1，故(1+x 2)(3+2y)C 1。【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 本题为可降阶的高阶微分方程，按不显含变量 x 计算。设yP，y“ P，方程化为 P+aP20， aP 2，分离变量， dPadx ，积分得
11、 ax+C 1，代入初始条件 x0，Py1，得 C11，即 ax+1， P ，求出通解，代入初始条件，求出特解。即 y|a11|+C，代入初始条件 x0，y0，得 C0。故特解为【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 B【试题解析】 方程为一阶可分离变量方程，分离变量后求解。(1+2y)xdx+ (1+x 2)dy0 ln(1+x2) +ln(1+2y)2lnC 故(1+x 2)(1+2y)C 1，其中 C1C 2。【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 D【试题解析】 此题为可降阶的高阶微分方程，按方程不显含变量 y 计算。设yp，y“p，则方程为 pp 2， 得 yln|x+C1|+C
12、2【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 A【试题解析】 方法 1：方程为二阶常系数线性齐次方程，对应特征方程为 r22r+10，r 1（二重根）。 通解 y(C 1+C2x)ex （其中 C1，C 2 为任意常数） 令C1，C 2 为一些特殊值，可验证选项 B、C、D 均为方程的解。C 1，C 2 无论取何值均得不出选项 A，所以 A 不满足。 方法 2：把选项 A 设为函数，即 yx 2ex，对函数 y，求 y、y“后代入方程 y“2y+y0，不满足微分方程，因此 A 不满足。【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 A【试题解析】 本题为一阶可分离变量方程，分离变量后两边积分求解。co
13、sydx+ (1+ex)sinydy0 代入初始条件x0，y ，得 C4 因此 49 即 cosy (1+ex)【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 B【试题解析】 本题为可降阶的高阶微分方程，连续积分二次，得通解。y“ x+sinx，y(x+ sinx) dx x2cosx+C1，y( x2cosx+C1)dx x3sinx+C1x+C2【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 B【试题解析】 本题为二阶常系数线性非齐次方程。 非齐次通解 y齐次的通解 y+非齐次一个特解 y*，y“4y0，特征方程 r240，r2。齐次通解为yC 1e2x+C2e2x。 将 y* 1 代入非齐次方程，满
14、足方程，为非齐次特解。 故通解 yC 1e2x+C2e2x1【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 C【试题解析】 此题为一阶可分离变量方程，分离变量后，两边积分。微分方程(1+y)dx（1x）dy 0 ， 两边积分：ln(1x)ln(1+y)lnc，（1x）(1+y)C。【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 A【试题解析】 此题为一阶线性微分方程，直接代入公式计算，设方程为 y+p(x)yQ(x)，则通解 ye p(x)dx Q(x)ep(x)dxdx+C，本题 p(x) ，Q(x)2，代入公式： 代入初始条件，当 x1，y0，即 0 (1+C)，得 C1，故 yx【知识模块】 高等数
15、学19 【正确答案】 D【试题解析】 本题为二阶常系数线性齐次方程求通解，写出方程对应的特征方程r2+20，【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 D【试题解析】 方程 yp(x)y 为一阶可分离变量方程。分离度量， dyp(x)dx 两边积分，lny p(x)dx+Cye p(x)dx+Ce Cep(x)dx C1ep(x)dx。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 B【试题解析】 方程 是一阶齐次方程，设，化为可分离变量方程：ln(lnu 1）lnx+lnC，lnu1Cx ，lnu Cx+1，即 Cx+1。【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 D【试题解析】 先求出二阶常系数齐次
16、方程的通解，代入初始条件，求出通解中的C1，C 2 值，得特解，即 y“ 6y+ 9y0，r 2 6r+90，r 1r 23，y(C 1+C2x)e3x。 当 x0 ，y0，代入得 C10，即 yC 2xe3x。 由 yC 2(e3x+ 3xe3x)C 2e3x(1+3x)，当 x0， y2，代入得 C22，则 y2xe 3x。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 D【试题解析】 yC 1 C 3e2x 经验证是方程的解，但不是通解，也不是特解。【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 B【试题解析】 方程可化为 z+P(y)xQ(y) 的形式 ydx+(y2x 一 ey)dy0，为一阶线
17、性非齐次方程，即一阶线性方程。【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 A【试题解析】 把一阶方程化为 x+P(y)xQ（y）的形式（xe y2y）dy+e ydx0，整理得 xey2y+ey +x2ye y，方程为一阶线性方程。【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 A【试题解析】 由一阶线性非齐次方程通解的结构确定，即由对应齐次方程的通解加上非齐次的一特解组成。【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 B【试题解析】 非齐次方程的通解是由齐次方程的通解加非齐次方程的特解构成，令 Q(x)0，求对应齐次方程 y+p(x)y0 的通解。 P(x)dx，lny P(x)dx+C，ye p(x)
18、dx+ C1Ce p(x)dx，齐次方程的通解 yCe p(x)dx，非齐次方程的通解 yy t(x)+CeP(x)dx。【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 C【试题解析】 对方程两边求导，得一阶线性方程 f(x)+2f(x)2x，求通解。【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 C【试题解析】 对关于 y、y的一阶线性方程求通解。其中 P(x)f(x)、Q(x)f(x)f(x) ，利用公式 ye p(x)dxQ(x)ep(x)dxdx+C求通解，即 y p(x)dxf(x)f(x) p(x)dxdx+Ce f(x)f(x)f(x)e f(x)dx+Ce f(x)f(x)ef(x)df(x)+Ce f(x)f(x)def(x)+Ce f(x)f(x)ef(x)一e f(x)f(x)dx+Ce f(x)f(x)ef(x)一 ef(x)+Cf(x) 1+Cef(x)。【知识模块】 高等数学
