1、2010 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B 及答案与解析1 设测量一个长方体的长、宽、高的相对误差限分别为 ，由测量的数据计算该长方体的体积 V,所得结果的相对误差限为多少?2 分析方程 sin2x+1=x 存在几个实根；用迭代法求出这些实根(要求精确至 4 位有效数字)，并说明所用迭代格式为什么是收敛的3 给定线性方程组 分别写出 Jacobi 迭代格式和 Gauss-Seidel迭代格式，并判断其收敛性4 设 f(x)=2x-x2，x0，1，求 f(x)的 1 次最佳平方逼近多项式5 作一个 3 次多项式 H(x)，使得 H(a)=0，H“(a)=b，H(b)=0，H“(b
2、)=a6 设 f(x)C2a，b 1) 写出 f(x)以 a，b 为插值节点的一次插值多项式 L1(x)及其插值余项 f(x)-L1(x)； 2)推导出计算 I(f)= 的梯形公式 T(f)及截断误差 I(f)-T(f)的表达式； 3)求梯形公式 T(f)的代数精度7 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并记 h=(ba)/n，x i=a+ih，0in 试分析下列预测-校正公式 的局部截断误差，并指出它是一个几阶的公式2010 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B 答案与解析1 【正确答案】 设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c ，则 V=abc由条件知e r(a)，e r(b
3、) ，e r(c)，dV=bcda+acdb+abdc ， er(V)er(a)十 er(b)+er(c)，e r(V) e r(a)+er(b)+er(c)2 【正确答案】 将方程 sin2x+1=x 改写为 sin2x=x-1，作函数 y1=sin2x 和 y2=x-1 的图像(如下图 )知方程有唯一实根 x* 记f(x)=sin2x+1-x，则 f(x)=2sinxcosx-1=sin2x-1，f“(x)=2cos2x考虑区间所以，Newton 迭代格式xk+1=xk3 【正确答案】 1)Jacobi 迭代格式为 迭代矩阵 J 的特征方程为展开得 1229=0，求得 因为 所以Jacob
4、i 迭代格式收敛2)Gauss-Seidel 迭代格式为 迭代矩阵G 的特征方程为 展开得 1229=0，求得 1=0， 2= 因为所以 Gauss-Seidel 迭代格式收敛4 【正确答案】 设 f(x)的 1 次最佳平方逼近多项式为 p(x)=a0+a1x取 0(x)=1,1(x)=x，则 (0,0)=01adx=1，( 0,1)=01xdx= ，( 1， 1)=05 【正确答案】 由 H(a)=0，H(b)=0，可设 H(x)=(xa)(x-b)c1(xa)+c2(bx)=(xa)f(x)=(x-b)g(x)，其中 f(x)=(x-b)c1(xa)+c2(bx)，g(x)=(xa)c 1(xa)+c2(bx)求导得 H“(x)=2f(x)+(xa)f“(x)，H“(a)=2f(a)=b，H“(x)=2g(x)+(xb)g6 【正确答案】 1) f(x)-L1(x)= f“()(xa)(x-b)，=(x)(a，b)2)T(f)= abL1(x)dx= f(a)+f(b)，I(f)-T(f)= abf(x)dxabL1(x)dx=abf(x)-L17 【正确答案】 局部截断误差 Ri+1=y(xi+1)-y(xi)- f(y(xi)+f(y(xi)+f(y(xi)=y(xi+1)-y(xi)- y(xi)- f(y(xi)+hy(xi)=y(xi)+hy(xi
