1、2011 年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案与解析1 给定方程 2x33x21=0 1)分析该方程存在几个实根，给出每个根所在的区间；2)用适当的迭代法求出这些实根，精确到 4 位有效数字； 3)说明所用迭代法为什么是收敛的2 用列主元 Gauss 消去法解线性方程组3 设 ARnn，A 1记 Sk=I+A+A2+Ak：其中 I 为单位矩阵证明： 1)IA可逆； 2) =(IA)-14 设 x0，x 1，x 为互不相同的(n+1)个节点记 a=minx0，x 1，x n，b=maxx0，x 1，x n设 f(x)Cna,b，证明：存在 (a，b)，使得5 设 a=x0x
2、 1x n=b，f(x) C1a，b，P(x)=c 0+c1x给定数据表记 F(c0，c 1)= f(xi)-P(xi)2+f(xi)-p(xi)2.证明：存在唯一的(c 0*,c1*)，使得 F(C0，C 1)取得最小值F(c0*， c1*)6 设 f(x)C4a,b，I(f)= abf(x)dx取正整数 n，将区间a ，b作 n 等分，并记 h=(ba) n，x i=a+ih，i=0 ，1， ，n 1)写出计算 I(f)的 Simpson 求积公式 S(f)，求出该求积公式的代数精度，并验证之； 2)写出计算 I(f)的复化 Simpson 求积公式 Sn(f)，并指出它是一个几阶公式7
3、考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记xi=a+ih，0 in ，分析求解公式 yi+1=yi-1+ f(xi+1，y i+1)+4f(xi，y i)+f(xi-1,yi-1)的局部截断误差，并指出该公式是一个几步几阶公式8 给定常微分方程两点边值问题 其中 f(x)为已知函数取正整数 M，并记 h=(ba)M，x i=a+ih，0iM 1)对上述问题建立一个差分求解格式；2) 证明差分格式的收敛性9 设抛物方程初边值问题 (A)有光滑解u(x，t)，其中 ，0c 0a(x，t)C 1取正整数 M 和 N，并记h=1M，=TN；x i=ih，0iM；t k=k，0kN 对(A) 建立如下差分
4、格式：1)给出差分格式截断误差的表达式； 2) 证明差分格式的收敛性10 设 v=vik0iM ，0kN为差分格式的解，其中另记试证明：2011 年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案与解析1 【正确答案】 1)令 f(x)=2x33x21，则 f(x)=6x26x=6x(x-1)f(x)=0 有两个根x0=0， x1=1，且 f(x1)=-1，f(x 1)=-2，f(2)=28 341=5根据下表：可以作出函数 y=f(x)的图像 (如下所示) 所以方程 f(x)=0 有唯一实根 x*1，2 2)用 Newton 格2 【正确答案】 等价三角方程组为回代得 x1=-6，x
5、2=-10，x 3=103 【正确答案】 1)设方程(IA)x=0有解 x*，则 x*=Ax*，两边取范数得x *=Ax*Ax *，即(1-A)x *0因为A1，所以x *=0，x *=0，即方程只有零解，因而 IA 可逆 2)因为A k+1Ak+1， A1，所4 【正确答案】 不失一般性可假设 x0x 1x n，考虑 f(x)的以 x0，x 1，x n为插值节点的 n 次 Newton 插值多项式 Nn(x)=f(x0)+fx0，x 1(xx0)+fx0，x 1，x n(x5 【正确答案】 因为 P(x)=c0+c1x，P(x)=c 1，所以 F(c0，c 1)= f(xi)-c0c1xi2
6、+f(xi)-c12， f(xi)-c0-c16 【正确答案】 1)计算 I(f)的 Simpson 公式为 当f(x)=1 时，有 I(f)=ba，S(f)=ba ，I(f)=S(f)；当 f(x)=x 时，有 I(f)=abxdx= (b2-a2)，s(f)= I(f)=S(f)当 f(x)=x2 时，有 I(f)=abx2dx= (b3-a37 【正确答案】 局部截断误差为 Ri+1所以该公式是一个两步 4阶公式8 【正确答案】 1)由 Taylor 展开得 u(xi+1)-2u(xi)+u(xi-1)=u“(xi)+ u(4)(i)， i(xi-1,xi+1)，代入方程得 在上式中去掉小量项 Ri= u(4)(i)，并用 ui9 【正确答案】 1)Taylor 展开得 u(xi，t k-1)=u(xi，t k)-ut(xi，t k)+ utt(xi,ik)， ik(tk-1，t k)，u t(x10 【正确答案】 1)由差分格式得 1iM-1，lkN-1用 乘上式，并对 i 求和，有 分部求和得即有1kN-1，递推得1kN-1 2)将方程 liM-1 两边同乘以 可得 1iM-1 即有上式两边同乘 h 后关于 i 求和，并利用分部求和公式得 即得3)利用等式两边平方并利用 Young 不等式得即取 =T2，有v k2(1+T2)(
