1、2017 年考研（数学三）真题试卷及答案与解析一、一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则( )（A）ab=1 2（B） ab=-（C） ab=0（D）ab=22 二元函数 z=xy(3-x-y)的极值点是( )（A）(0 ，0)（B） (0，3)（C） (3，0)（D）(1 ，1)3 设函数 f(x)可导，且 f(x)f(x)0，则( )（A）f(1)f(-1)（B） f(1)f(-1)（C） |f(1)|f(-1)|（D）|f(1)|f(-1)|4 若函数 收敛，则 k=( )（A）1（B） 2（C） -1（D）-25 设
2、 为 n 维单位向量，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（A）E- T 不可逆（B） E+T 不可逆（C） E+2T 不可逆（D）E-2 T 不可逆6 已知矩阵 A= ，则( )（A）A 与 C 相似，B 与 C 相似（B） A 与 C 相似，B 与 C 不相似（C） A 与 C 不相似，B 与 C 相似（D）A 与 C 不相似，B 与 C 不相似7 设 A，B，C 为三个随机事件，且 A 与 C 相互独立，B 与 C 相互独立，则 AB与 C 相互独立的充分必要条件是( )（A）A 与 B 相互独立（B） A 与 B 互不相容（C） AB 与 C 相互独立（D）AB 与 C 互不相容8 设 X
3、1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(，1)的简单随机样本，记 Xi，则下列结论不正确的是( )（A） (X1-)2 服从 2 分布（B） 2(Xn-x1)2 服从 2 分布（C） )2 服从 2 分布（D）n( -)2 服从 2 分布二、二、填空题9 -(sin3x+ )dx=_10 差分方程 yt+1-2yt=2t 通解为 yt=_11 设生产某产品的平均成本 (Q)=1+e-Q，其中产量为 Q，则边际成本为_12 设函数 f(x，y)具有一阶连续偏导数，且 (x，y)=ye ydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则 f(x， y)=_13 设矩阵 A= ， 1、 2、 3
4、为线性无关的三维向量组，则向量组A1、A 2、A 3 的秩为_ 14 设随机变量 X 的概率分布为 PX=-2=12，P=X=1=a，PX=3=b，若EX=0，则 DX=_三、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 计算积分 dxdy，其中 D 是第一象限中以曲线 y= 与 x 轴为边界的无界区域17 18 已知方程 =k 在区间(0，1) 内有实根，确定常数 k 的取值范围18 设 a0=1，a 1=0，a n+1= (nan+an-1)(n=1，2，3)，S(x) 为幂级数 anxn 的和函数19 证明 anxn 的收敛半径不小于 1：20 证明(1-x)S(x)-x
5、S(x)=0(x (-1，1)，并求 S(x)表达式20 设 3 阶矩阵 A=(1， 2， 3)有 3 个不同的特征值，且 3=1+2221 证明 r(A)=2；22 若 =1+2+3，求方程组 AX= 的通解23 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3 在正交变换 x=Qy 下的标准型为 1y12+2y22，求 a 的值及一个正交矩阵 Q23 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X 的概率分布为 P(X=0)=P(X=2)=12，Y 的概率密度为 f(y)=24 求 P(YEY)；25 求 Z=X+Y 的概率密度25 某工程师为了解
6、一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量 是已知的，设 n 次测量的结果 X1，X n 相互独立且服从正态分布N(， 2)，该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 Zi=|Xi-|(i=1，2，n)，利用Z1，Z n 估计 26 求 Zi 的概率密度；27 利用一阶矩求 的矩估计量；28 求 的最大似然估计量2017 年考研（数学三）真题试卷答案与解析一、一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 =12a，f(x)在 x=0 处连续，12a=b ab=12，选 A2 【正确答案】 D【试题解析】 =-1，从而 AC
7、-B20，从而(1，1)为极值点3 【正确答案】 C【试题解析】 举特例，设 f(x)=ex，可排除 BD；设 f(x)=-ex，可排除 A，故选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 因为原级数收敛，所以 1+k=0 k=-1选 C5 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A，由(E- T)=-=0 得(E- T)x=0 有非零解，故|E- T|=0 即 E-T 不可逆，选项 B，由 r(T)=1 得 T 的特征值为 n-1 个 0，1 故 E-T 的特征值为 n-1 个 1，2，故可逆6 【正确答案】 B【试题解析】 由(E-A)=0 可知 A 的特征值为 2，2，1 因为 2E-A= 得 r
8、(2E-A)=1，A 可相似对角化。且 A 由|E-B|=0 可知 B 特征值为 2，2，1 因为2E-B= 得 r(2E-B)=2，B 不可能相似对角化，显然 C 可相似对角化，AC，且 B 不相似于 C7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C) ，由 AB 与 C 相互独立知，P(A B)C=P(AB)P(C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)而 P(AB)C=P(ACBC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC) P(ABC)=P(AB)P(C)，即 AB 与 C 相互独立8 【正确答案】 B二、二、填空题9 【正确答案】 3
9、2【试题解析】 -(sin3x+ )dx=20( 202 costcostdt=2 202 cos2tdt=222 =3210 【正确答案】 t=C2 t+ t2 t【试题解析】 由 yt+1-2y1=2t =2， =C2t 设 y1*=C1t21，则 y1+1*=C1(t+1)2i+1=2t t2i(CR)11 【正确答案】 1+(1-Q)e -Q【试题解析】 C= Q=Q(1+e-Q) C(Q)=1+e-Q-Qe-Q=1+(1-Q)e-Q12 【正确答案】 xye y【试题解析】 fk=ye y，f y=x(1+y)ey，f(x ，y)=ye ydx=xyey+c(y)，故fy=xey+x
10、yey+c(y)=xey+xyey，故 c(y)=0，由 f(0，0)=0，即 f(x，y)=xye y13 【正确答案】 2【试题解析】 由 a1，a 2，a 3，线性无关，可知矩阵 a1，a 2，a 3，可逆，故r(Aa1，Aa 2，Aa 3)=r(A(a1，a 2，a 3)=r(A)再由 r(A)=2 得 r(Aa1，Aa 2，Aa 3)=214 【正确答案】 92【试题解析】 由归一性得 +a+b=1，再由 EX=0 得 -1+a+3b=0 故 a=b=14，故EX2=(-2)2 =92，DX=EX 2-(EX)2=92三、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确
11、答案】 dt，令 x-t=u，则有16 【正确答案】 17 【正确答案】 =01lnx(1+x)dx= 01ln(1+x)dx2= (ln(1+x)x 2|01-01 dx)=1418 【正确答案】 令 f(x)= -k x(0，1)f(1)= -1-k由题意可知( -k)02ln2k 2-(2-ln2)k+(1-ln2)0 即 k12 得证19 【正确答案】 由 an+1= (nan+an-1) an+1-an=- (an-1-an-2)an=an+1+由=1，所以收敛半径 R120 【正确答案】 S(x)= (1-x)S(x)=(1-x) nanxn-1= nanxn-1= nanxn=
12、(n+1)an+1xn- nanxn= (n+1)an+1-nanxn+a1xxS(x)= an+1xn，所以(1-x)S(x)-xS(x)= (n+1)an+1-nan-an-1xn+a1x 由an+1= (nan+an-1)可知(n+1)a n+1-nan-an-1=0，由 a1=0，所以(1-x)S(x)-xS(x)=0 解微分方程得 S(x)= ，由 S(0)=an=121 【正确答案】 由 3=1+22 可得 1+22-3=0，即 1， 2， 3 线性相关，因此，|A|=|123|=0，即 A 的特征值必有 0又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非
13、 0且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为， 120r(A)=r(A)=222 【正确答案】 由 r(A)=2，知 3-r(A)=1，即 AX=0 的基础解系只有 1 个解向量，由 1+22-3=0 可得( 1， 2， 3) =0，则 Ax=0 的基础解系为 又=1+2+3，即 (1， 2， 3) =，则 AX= 的一个特解为 综上，AX= 的通解为 k ，kR 23 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX，其中 A= 由于 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经正交变换后，得到的标准形为 1y12+2y22，故 r(A)=2a=2，将 a=2 代入，满足 r(A)=2
14、，因此 a=2 符合题意，此时A= ，则|E-A|= 1=-3， 2=0， 3=6，由(-3E-A)x=0 ，可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为 1= 由(6E-A)x=0，可得 4 的属于特征值6 的特征向量为 2= 由(0E-A)x=0 ，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为 3=令 P=(1， 2， 3)，则 P-1AP= ，由于 1， 2， 3 彼此正交，故只需单位化即可： 1= (1，-1 ，1) T， 2= (-1，0，1) T， 3= (1，2，1) T，则 Q=(123)=，Q TAQ= f=-3y12+6y2224 【正确答案】 E(Y)= 01y2ydy=23 P
15、(YEY)=P(Y23)= 023 2ydy=4925 【正确答案】 Fz(Z)=P(Zz)=P(X+Yz)=P(X+Yz，X=0)+P(X+Yz，X=2)=P(Yz，X=0)+P(Yz-2，X=2)= P(Yz-2)(1)当 z0，z-20，而 z0，则 Fx(Z)=0(2)当 z-21，z1，即 z3 时，F z(Z)=1(3)当 0z1 时，F z(Z)= z2(4)当 1x2时，F z(Z)=12(5) 当 0z1 时，F z(Z)= (z-2)2 所以综上所以，F z(Z)=Fz(Z)=26 【正确答案】 F zi(z)=P(Ziz)=P(|Xi-|z)当 z0 ，F zi(z)=0 当 z0，F Zi(z)=P(-zXi-z)=P(-zXi+z)=P-z z=2(z)-1，f Zi(z)=FZi(z)=综上27 【正确答案】 E(Z i)=0+z dz2令 E(Zi)=|Xi-|由此可得 的矩估计量 |Xi-|28 【正确答案】 对于总体 X 的 n 个样本 X1，X 2，X n，则相交的绝对误差的样本 Z1，Z 2，Z n，Z i=|Xi-|，i=1 ，2，n，令其样本值为Z1，Z 2，Z n，Z i=|Xi-|，则对应的似然函数lnL()=nln Zi2 令i=1nZi2 所以 为所求的最大似然估计
