[考研类试卷]GCT工程硕士(一元函数微积分)数学历年真题试卷汇编1及答案与解析.doc

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1、GCT 工程硕士(一元函数微积分)数学历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题(25 题,每小题 4 分,共 100 分)下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 (2005 年真题)设函数 f(x)的定义域是0 ,1,则函数 g(x)=.f(1+cosx)的定义域是 。(A)|x|1(B) 0x1(C) |x|0 5(D)05x12 (2009 年真题)若 ,则函数 f(x)的最小值等于 。(A)0(B)(C) 1(D)23 (2007 年真题)若 =4,则必定有 。(A)f(1)=4(B) f(x)在 x=1 处无定义(C)在 x=1 的某邻域(x1)中,f(x) 2(D

2、)在 x=1 的某邻域(x1)中,f(x)44 (2010 年真题) = 。(A)0(B) 2(C) 4(D)5 (2007 年真题)若函数 在 x=0 点连续,则a= 。(A)-9(B) -3(C) 0(D)16 (2005 年真题)设 f(x)在 x=0 处可导,且 (n=1,2,3,),则 f(0)= 。(A)0(B) 1(C) 2(D)37 (2008 年真题)若函数 f(x)可导,且 f(0)=f(0)= = 。(A)0(B) 1(C)(D)48 (2011 年真题)若 f(x)在 x 处可导,且 f(x0)=a,f(x 0)=b,而|f(x)|在 x0 处不可导,则 。(A)a=0

3、 ,b=0(B) a=0,b0(C) a0,b=0(D)a0 ,b09 (2007 年真题)设 = 。(A)-1(B) 1(C)(D)10 (2010 年真题)设 f(x)=x2,h(x)=f(1+g(x),其中 g(x)可导,且 g(1)=h(1)=2,则 g(1)= 。(A)-2(B)(C) 0(D)211 (2008 年真题)函数 f(x)在1 ,+)上具有连续导数,且 =0,则 。(A)f(x)在1,+)上有界(B) 存在(C) 存在(D)12 (2006 年真题)如图 44 所示,曲线 P=f(t)表示某工厂 10 年期间的产值变化情况,设 f(t)是可导函数,从图形上可以看出该厂产

4、值的增长速度是 。(A)前 2 年越来越慢,后 5 年越来越快(B)前 2 年越来越快,后 5 年越来越慢(C)前 2 年越来越快,后 5 年越来越快(D)前 2 年越来越慢,后 5 年越来越慢13 (2006 年真题)设正圆锥母线长为 5,高为 h,底面圆半径为 r,在正圆锥的体积最大时, 。(A)(B) 1(C)(D)14 (2008 年真题)已知 f(x)=3x2+kx3(k0)当 x0 时,总有 f(x)20 成立,则参数 k 的最小取值是 。(A)32(B) 64(C) 72(D)9615 (2004 年真题)如下不等式成立的是 。(A)在(-3, 0)区间上, ln3-xln(3+

5、x)(B)在 (-3,0) 区间上,ln3-x ln(3+x)(C)在 0,+)区间上,ln3-xln(3+x)(D)在0 ,+)区间上, ln3-xln(3+x)16 (2010 年真题)若 a, b,c ,d 成等比数列,则函数 ax3+bx2+cx+d 。(A)有极大值,而无极小值(B)无极大值,而有极小值(C)有极大值,也有极小值(D)无极大值,也无极小值17 (2005 年真题)设 x2lnx 是 f(x)的一个原函数,则不定积分 xf(x)dx= 。(A)(B) 2x-x2lnx+C(C) x2lnx+x2+C(D)3x 2lnx+x2+C18 (2003 年真题)甲、乙两人百米赛

6、跑成绩一样,那么 。(A)甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样(B)甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定不一样(C)甲、乙两人至少某时刻的瞬时速度一样(D)甲、乙两人到达终点的瞬时速度必定一样19 (2007 年真题)图 48 中的三条曲线分别是f(x), x+1xf(t)dt, 的图形,按此排序,它们与图中所标示 y1(x),y 2(x),y 3(x)的对应关系是 。(A)y 1(x), y2(x),y 3(x)(B) y1(x),y 3(x),y 2(x)(C) y3(x),y 1(x),y 2(x)(D)y 3(x), y2(x),y 1(x)20 (2011 年真题)若 是 xf(x)的一个原

7、函数,则 = 。(A)-1(B)(C)(D)121 (2003 年真题)设 I=0sin(cosx)dx,则 。(A)I=1(B) I0(C) 011(D)I=022 (2006 年真题)设 a 0,则在0,a 上方程 根的个数为 。(A)0(B) 1(C) 2(D)323 (2008 年真题)当 x0 时,函数 f(x)可导,有非负的反函数 g(x),且恒等式 1f(x)g(t)dt=x2-1 成立,则函数 f(x)= 。(A)2x+1(B) 2x-1(C) x2+1(D)x 224 (2009 年真题)若连续函数 f(x)满足|uf(x-u)du= +ln2,则 01f(x)dx= 。(A

8、)(B) 0(C)(D)125 (2011 年真题)若函数 y(x)=2x2 dt 则 = 。(A)0(B) 1(C) 4e-1(D)4e26 (2004 年真题)如图 413 所示,抛物线 把 y=x(b-x)(b0) 与 x 轴所构成的区域面积分为 SA 与 SB 两部分,则 。(A)S AS B(B) SA=SB(C) SAS B(D)S A 与 SB 大小关系与 6 的数值有关GCT 工程硕士(一元函数微积分)数学历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题(25 题,每小题 4 分,共 100 分)下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本

9、题主要考查函数定义域的概念和求法。为使 有意义,则得 因函数 f(x)的定义域是0,1,对于 f(sinx)有0sinx1;又 -1x1,故可得 0x x1,同理,对于 f(1+cosx)有01+cosx1,即-1cosx0;而 0x1,故可得 x1,从而05x1。故正确选项为 D。【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了用分段函数表示绝对值函数、简单函数的图形及求函数的交点。 由 知 f(x)的定义域为 x0当 x0 时|x-2|与的草图如图 41 所示, 显然,f(x)的最小值点是y=2-x 与 y= 在0,2上交点的横坐标。 x2-5x+4=0,即(x-

10、4)(x-1)=0,因此有 x=10,2,f(1)= =1 是 f(x)的最小值。故正确选项为 C。注:(1)因 y=是单调递增函数,f(x)的最小值点一定是 x=1,而不是 x=4。(2)f(x)的分段表达式为【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查函数极限的保号性质。解法 1 因为 =42,由极限的保号性质,在 x=1 的某邻域(x1)中,f(x)2,故正确选项为 C。解法 2 特殊值代入法。取 则 f(x)满足题设条件,它只满足 C。【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查重要极限 =1、x时有理函数的极限以及极限的四则运算

11、法则。解法 1解法 2 利用无穷小量等价代换定理。故正确选项为C。【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 A【试题解析】 本题是一道综合题,考查函数在一点连续的定义,计算函数的极限及变上限积分的导数。故正确选项为 A。注:当 x0 时,e x-1x,从而,当 x0 时,e -9x2-1-9x 2。【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查导数定义及可导与连续之间的关系。解法 1=0,因为 f(x)在 x=0 处可导,所以 f(x)在 x=0 处连续,从而 f(0)=0。由导数定义得 故正确选项为 C。解法 2 特殊值代入法。设 f(x)=2x,则 f(x)

12、满足题设条件,这时f(0)=2,立即可得正确选项为 C。【知识模块】 导数与微分的概念与运算7 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查连续函数的概念和导数定义。解法 1故正确选项为 D。解法 2 特殊值代入法。【知识模块】 导数与微分的概念与运算8 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查导数的概念,复合函数的求导法则及可导的充分必要条件。如果 f(x)在 x0 处可导且 f(x0)0,根据复合函数的求导法则有因此,当f(x)在 x0 可导,而|f(x)|在 x0 不可导时,一定有 f(x0)=0,所以 a=0。又当 f(x0)=0 时,设 g(x)=|f(x)|,则 函数在一点可导的充分必要条

13、件是其在该点左、右导数存在并相等,故 g(x)=|f(x)|在x0。处不可导,一定有|f(x 0)|-|f(x0)|,即|f(x 0)|0,从而 f(x0)0。故正确选项为B。注:特殊值代入法,例如取 f(x)=x,则 f(x)在 x0=0 处可导,但|f(x)|=|x|在 x0=0处不可导,这时 f(0)=0, f(0)=10。【知识模块】 导数与微分的概念与运算9 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查复合函数的求导法则及特殊角的三角函数值。故正确选项为 B。【知识模块】 导数与微分的概念与运算10 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查函数记号以及复合函数导数。因 f(x)=x2,所以

14、h(x)=f(1+g(x)=1+g(x)2, 故正确选项为 B。【知识模块】 导数与微分的概念与运算11 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查拉格朗日中值定理。解法 1 根据拉格朗日中值定理得f(x+1)-f(x)=f(),其中 在 x 与 x+1 之间,当 x+时,有 +,从而得故正确选项为 D。解法 2 特殊值代入法。取 f(x)= 满足题设条件。易知选项 A,B 不成立。又 即选项 C 也不成立,故正确选项为 D。【知识模块】 导数的应用12 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查导数的意义及其几何意义,同时考查函数单调性的判断。解法 1从图 44 可知,曲线 P=f(t)切线的斜率在

15、0,2内是单调减少的,在 5,10 内是单调增加的,由导数的几何意义,f(t)表示切线的斜率,因而,f(t)在0,2内单调减少,f(t)在5,10 内单调增加,又 f(t)是产值 P=f(t)的变化速度,所以该厂产值的增长速度是前 2 年越来越慢,后 5 年越来越快。故正确选项为 A。解法 2设 f(t)二阶可导,从图 4 4 可知,曲线 P=(t)在0,2内是凸的,在5,10内是凹的,这表明 f(t)在0,2 内 f“(t)0,在5,10内 f“(t)0,从而 f(t)在0,2内单调减少,在5,10 内单调增加,又 f(t)是产值 P=f(t)的变化速度,所以该厂产值的增长速度是前 2 年越

16、来越慢,后 5 年越来越快。【知识模块】 导数的应用13 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查圆锥的体积公式与函数最值的求法,由题设,圆锥体体积为 是唯一极大值点,从而是最大值点,这时 r= 故正确选项为C。【知识模块】 导数的应用14 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查求函数最大值、最小值的一般方法。f(x)20,即 3x2+kx-320,亦即 20x3-3x5k,函数 g(x)=20x3-3x5 在(0,+)内的最大值就是参数 k 的最小取值。令 g(x)=60x2-15x4=15x2(4-x2)=0,得 x=2,易知 x=2 是 g(x)在(0,+)内的唯一极大值点,因此它是

17、g(x)在(0,+) 内的最大值点,最大值为 g(2)=23(20-322)=64 故正确选项为 B。【知识模块】 导数的应用15 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查利用导数的符号判断函数的单调性,进而比较两个函数的大小。解法 1 设 f(x)=In(3+x)-ln3+x,因为 f(0)=0,在 C,D 中,所考虑的区间是0,+) ,所考查的不等式是严格的不等号,所以,不选 C,D 。考虑 A,B 中所讨论的区间,当 x(-3,0)时,f(x)= +10,所以 f(x)在(-3,0)单调增加,从而当 x(-3,0) 时,f(x) f(0)=0即与 X(-3,0)时,ln3-xln(3+x)

18、。故正确选项为 B。解法 2 设 f(x)=ln(3+x),g(x)=ln3-x,则 f(x)=ln(3+x)的定义域(-3,+),f(x)单调递增,g(x) 单调递减,f(x) 与 g(x)在(0,ln3)相交。画出 f(x)=ln(3+x)和 g(z)=ln3-x(如图 46 所示)。 故正确选项为 B。【知识模块】 导数的应用16 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查函数单调性和极值的判断方法。解法 1 因 a,b,c,d 成等比数列,可设 b=aq,c=aq 2,d=aq 3,其中 q0,于是 y=ax2+2bx+c=a(x2+2qx+q2)=a(x+q)2 即函数 y= ax3+b

19、x2+cx+d 单调递增或递减。故正确选项为D。解法 2 取 a=b=c=d=1,则 y= x3+x2+x+1,于是 y=x2+2x+1=(x+1)20,即函数y= x3+x2+x+1 单调递增或单调递减。【知识模块】 导数的应用17 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查原函数的概念和不定积分的分部积分法。由原函数的定义,f(x)=(x2lnx)=2xlnx+x,故xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)-f(x)dx=2x 2lnx+x2-x2lnx+C=x2lnx+x2+C。故正确选项为 C。【知识模块】 不定积分18 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查定积分的概念和积分中值定理(或

20、微分中值定理)。 解法 1 设甲的速度是 1(t),乙的速度是 2(t),到达终点时所用时间为 T,则 0T1(t)dt=0T2(t)dt,由积分中值定理得 0T1(t)-2(t)dt=1()-2()T=0,0,T。 因T0,所以 1()-1()=0,即 1()=2()。 故正确选项为 C。 解法 2 设甲的速度是1(t),乙的速度是 2(t),则他们在时间 t 内所跑的距离分别是 0t1(x)dx, 0t2(x)dx,又设到达终点时所用时间为 T,且 令 g(t)=0t1(x)dx(z)dx-0t2(x)dx,则 g(0)=0, g(T)=0,由罗尔定理,存在 (0,T)使得 g()= 1(

21、)-2()=0,即 1()=2()。 故正确选项为 C。 解法 3 根据生活常识,很容易排除 A,B,D,由排除法,正确选项为 C。【知识模块】 定积分19 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查利用定积分计算连续函数在区间a,b 上的平均值。利用定积分计算函数 f(x)在区间a ,b 的平均值公式是 x+1xf(t)dx 而 g(x)=x+1xf(t)dt 表示 f(x)在x,x+1上的平均值,h(x)= f(t)dt 表示 f(x)在x,x+3上的平均值,间隔越大,平均值所表示的曲线越平坦,从图 48 可见 y3 的振幅最大,y 1 最平坦,因此 y1 是 h(x),y 3 是 f(x)。

22、故正确选项为 D。【知识模块】 定积分20 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查原函数的概念和定积分的几何意义。故正确选项为 C。注:由定积分的几何意义知 等于单位圆在第一象限的面积,如图 49 所示。【知识模块】 定积分21 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查定积分的性质与变量替换。解法 1 设 x=t+ ,则故正确选项为 D。解法 2 设 x=-t,则 I=0sin(cosx)dx=-0sin(cos(n-t)dtI=-0sin(cost)dt=-0sin(cosx)dx,移项,得 20sin(cosx)dx=0,即 0sin(cosx)dx=0,故正确选项为 D。【知识模块】 定积

23、分22 【正确答案】 B【试题解析】 本题是一道综合题,考查零点存在定理,利用导数的符号判断函数的单调性以及变上限函数的导数。设F(x)在0,a上连续,由连续函数的零点存在定理, (0,a)使得 F()=0。又 F(x)= 0,所以 F(x)在0,a 上至多有一个零点。综合上述, F(x)在0, a上只有一个零点,即方程 在0,a上只有一个根。故正确选项为 B。【知识模块】 定积分23 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查变限定积分求导、反函数概念和定积分性质。由 1f(x)g(t)dt=x2-1,得 f(x)g(f(x)=2x,又 g(f(x)=x,所以 f(x)=2,即 f(x)=2x+

24、C。又由 1f(x)g(t)=x2-1 知 1f(1)(t)dt=12-1=0,即 f(1)=1,所以 C=-1,故又由 1f(x)g(t)dt=x2-1 知 1f(x)g(t)dt=12-1=0,即 f(1)=1,所以 C=-1,故 f(x)=2x-1。故正确选项为 B。【知识模块】 定积分24 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了定积分的换元法及变上限求导法则。在 0xuf(x-u)du 中令x-u=t,则 du=-dt,且当 u=0 时,t=x;当 u=x 时,t=0 。于是 0xuf(x-u)du=0x(x-t)f(t)dt=x0xf(t)dt-0xtf(t)dt 故 x0xf(t)dt-0xtf(t)dt= +ln2。对上式再关于 x 求导,得故正确选项为A。【知识模块】 定积分25 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查变上限积分的求导法则和二阶导数的计算。由于本题是求在 x=-1 处的二阶导数值,不妨设 x0。故正确选项为 A。【知识模块】 定积分26 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查利用定积分计算平面图形的面积。先求两条曲线的交点横坐标。由 故正确选项为 B。【知识模块】 定积分

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