1、GCT 工程硕士（一元函数微积分）数学历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （2005 年真题）设函数 f(x)的定义域是0 ，1，则函数 g(x)=.f(1+cosx)的定义域是 。（A）|x|1（B） 0x1（C） |x|0 5（D）05x12 （2009 年真题）若 ，则函数 f(x)的最小值等于 。（A）0（B）（C） 1（D）23 （2007 年真题）若 =4，则必定有 。（A）f(1)=4（B） f(x)在 x=1 处无定义（C）在 x=1 的某邻域(x1)中，f(x) 2（D
2、）在 x=1 的某邻域(x1)中，f(x)44 （2010 年真题） = 。（A）0（B） 2（C） 4（D）5 （2007 年真题）若函数 在 x=0 点连续，则a= 。（A）-9（B） -3（C） 0（D）16 （2005 年真题）设 f(x)在 x=0 处可导，且 (n=1，2，3，)，则 f(0)= 。（A）0（B） 1（C） 2（D）37 （2008 年真题）若函数 f(x)可导，且 f(0)=f(0)= = 。（A）0（B） 1（C）（D）48 （2011 年真题）若 f(x)在 x 处可导，且 f(x0)=a，f(x 0)=b，而|f(x)|在 x0 处不可导，则 。（A）a=0
3、 ，b=0（B） a=0，b0（C） a0，b=0（D）a0 ，b09 （2007 年真题）设 = 。（A）-1（B） 1（C）（D）10 （2010 年真题）设 f(x)=x2，h(x)=f(1+g(x)，其中 g(x)可导，且 g(1)=h(1)=2，则 g(1)= 。（A）-2（B）（C） 0（D）211 （2008 年真题）函数 f(x)在1 ，+)上具有连续导数，且 =0，则 。（A）f(x)在1，+)上有界（B） 存在（C） 存在（D）12 （2006 年真题）如图 44 所示，曲线 P=f(t)表示某工厂 10 年期间的产值变化情况，设 f(t)是可导函数，从图形上可以看出该厂产
4、值的增长速度是 。（A）前 2 年越来越慢，后 5 年越来越快（B）前 2 年越来越快，后 5 年越来越慢（C）前 2 年越来越快，后 5 年越来越快（D）前 2 年越来越慢，后 5 年越来越慢13 （2006 年真题）设正圆锥母线长为 5，高为 h，底面圆半径为 r，在正圆锥的体积最大时， 。（A）（B） 1（C）（D）14 （2008 年真题）已知 f(x)=3x2+kx3(k0)当 x0 时，总有 f(x)20 成立，则参数 k 的最小取值是 。（A）32（B） 64（C） 72（D）9615 （2004 年真题）如下不等式成立的是 。（A）在(-3， 0)区间上， ln3-xln(3+
5、x)（B）在 (-3，0) 区间上，ln3-x ln(3+x)（C）在 0，+)区间上，ln3-xln(3+x)（D）在0 ，+)区间上， ln3-xln(3+x)16 （2010 年真题）若 a， b，c ，d 成等比数列，则函数 ax3+bx2+cx+d 。（A）有极大值，而无极小值（B）无极大值，而有极小值（C）有极大值，也有极小值（D）无极大值，也无极小值17 （2005 年真题）设 x2lnx 是 f(x)的一个原函数，则不定积分 xf(x)dx= 。（A）（B） 2x-x2lnx+C（C） x2lnx+x2+C（D）3x 2lnx+x2+C18 （2003 年真题）甲、乙两人百米赛
6、跑成绩一样，那么 。（A）甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样（B）甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定不一样（C）甲、乙两人至少某时刻的瞬时速度一样（D）甲、乙两人到达终点的瞬时速度必定一样19 （2007 年真题）图 48 中的三条曲线分别是f(x)， x+1xf(t)dt， 的图形，按此排序，它们与图中所标示 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)的对应关系是 。（A）y 1(x)， y2(x)，y 3(x)（B） y1(x)，y 3(x)，y 2(x)（C） y3(x)，y 1(x)，y 2(x)（D）y 3(x)， y2(x)，y 1(x)20 （2011 年真题）若 是 xf(x)的一个原
7、函数，则 = 。（A）-1（B）（C）（D）121 （2003 年真题）设 I=0sin(cosx)dx，则 。（A）I=1（B） I0（C） 011（D）I=022 （2006 年真题）设 a 0，则在0，a 上方程 根的个数为 。（A）0（B） 1（C） 2（D）323 （2008 年真题）当 x0 时，函数 f(x)可导，有非负的反函数 g(x)，且恒等式 1f(x)g(t)dt=x2-1 成立，则函数 f(x)= 。（A）2x+1（B） 2x-1（C） x2+1（D）x 224 （2009 年真题）若连续函数 f(x)满足|uf(x-u)du= +ln2，则 01f(x)dx= 。（A
8、）（B） 0（C）（D）125 （2011 年真题）若函数 y(x)=2x2 dt 则 = 。（A）0（B） 1（C） 4e-1（D）4e26 （2004 年真题）如图 413 所示，抛物线 把 y=x(b-x)(b0) 与 x 轴所构成的区域面积分为 SA 与 SB 两部分，则 。（A）S AS B（B） SA=SB（C） SAS B（D）S A 与 SB 大小关系与 6 的数值有关GCT 工程硕士（一元函数微积分）数学历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本
9、题主要考查函数定义域的概念和求法。为使 有意义，则得 因函数 f(x)的定义域是0，1，对于 f(sinx)有0sinx1；又 -1x1，故可得 0x x1，同理，对于 f(1+cosx)有01+cosx1，即-1cosx0；而 0x1，故可得 x1，从而05x1。故正确选项为 D。【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了用分段函数表示绝对值函数、简单函数的图形及求函数的交点。 由 知 f(x)的定义域为 x0当 x0 时|x-2|与的草图如图 41 所示， 显然，f(x)的最小值点是y=2-x 与 y= 在0，2上交点的横坐标。 x2-5x+4=0，即(x-
10、4)(x-1)=0，因此有 x=10，2，f(1)= =1 是 f(x)的最小值。故正确选项为 C。注：(1)因 y=是单调递增函数，f(x)的最小值点一定是 x=1，而不是 x=4。(2)f(x)的分段表达式为【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查函数极限的保号性质。解法 1 因为 =42，由极限的保号性质，在 x=1 的某邻域(x1)中，f(x)2，故正确选项为 C。解法 2 特殊值代入法。取 则 f(x)满足题设条件，它只满足 C。【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查重要极限 =1、x时有理函数的极限以及极限的四则运算
11、法则。解法 1解法 2 利用无穷小量等价代换定理。故正确选项为C。【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 A【试题解析】 本题是一道综合题，考查函数在一点连续的定义，计算函数的极限及变上限积分的导数。故正确选项为 A。注：当 x0 时，e x-1x，从而，当 x0 时，e -9x2-1-9x 2。【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查导数定义及可导与连续之间的关系。解法 1=0，因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 f(x)在 x=0 处连续，从而 f(0)=0。由导数定义得 故正确选项为 C。解法 2 特殊值代入法。设 f(x)=2x，则 f(x)
12、满足题设条件，这时f(0)=2，立即可得正确选项为 C。【知识模块】 导数与微分的概念与运算7 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查连续函数的概念和导数定义。解法 1故正确选项为 D。解法 2 特殊值代入法。【知识模块】 导数与微分的概念与运算8 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查导数的概念，复合函数的求导法则及可导的充分必要条件。如果 f(x)在 x0 处可导且 f(x0)0，根据复合函数的求导法则有因此，当f(x)在 x0 可导，而|f(x)|在 x0 不可导时，一定有 f(x0)=0，所以 a=0。又当 f(x0)=0 时，设 g(x)=|f(x)|，则 函数在一点可导的充分必要条
13、件是其在该点左、右导数存在并相等，故 g(x)=|f(x)|在x0。处不可导，一定有|f(x 0)|-|f(x0)|，即|f(x 0)|0，从而 f(x0)0。故正确选项为B。注：特殊值代入法，例如取 f(x)=x，则 f(x)在 x0=0 处可导，但|f(x)|=|x|在 x0=0处不可导，这时 f(0)=0， f(0)=10。【知识模块】 导数与微分的概念与运算9 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查复合函数的求导法则及特殊角的三角函数值。故正确选项为 B。【知识模块】 导数与微分的概念与运算10 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查函数记号以及复合函数导数。因 f(x)=x2，所以
14、h(x)=f(1+g(x)=1+g(x)2， 故正确选项为 B。【知识模块】 导数与微分的概念与运算11 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查拉格朗日中值定理。解法 1 根据拉格朗日中值定理得f(x+1)-f(x)=f()，其中 在 x 与 x+1 之间，当 x+时，有 +，从而得故正确选项为 D。解法 2 特殊值代入法。取 f(x)= 满足题设条件。易知选项 A，B 不成立。又 即选项 C 也不成立，故正确选项为 D。【知识模块】 导数的应用12 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查导数的意义及其几何意义，同时考查函数单调性的判断。解法 1从图 44 可知，曲线 P=f(t)切线的斜率在
15、0，2内是单调减少的，在 5，10 内是单调增加的，由导数的几何意义，f(t)表示切线的斜率，因而，f(t)在0，2内单调减少，f(t)在5，10 内单调增加，又 f(t)是产值 P=f(t)的变化速度，所以该厂产值的增长速度是前 2 年越来越慢，后 5 年越来越快。故正确选项为 A。解法 2设 f(t)二阶可导，从图 4 4 可知，曲线 P=(t)在0，2内是凸的，在5，10内是凹的，这表明 f(t)在0，2 内 f“(t)0，在5，10内 f“(t)0，从而 f(t)在0，2内单调减少，在5，10 内单调增加，又 f(t)是产值 P=f(t)的变化速度，所以该厂产值的增长速度是前 2 年越
16、来越慢，后 5 年越来越快。【知识模块】 导数的应用13 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查圆锥的体积公式与函数最值的求法，由题设，圆锥体体积为 是唯一极大值点，从而是最大值点，这时 r= 故正确选项为C。【知识模块】 导数的应用14 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查求函数最大值、最小值的一般方法。f(x)20，即 3x2+kx-320，亦即 20x3-3x5k，函数 g(x)=20x3-3x5 在(0，+)内的最大值就是参数 k 的最小取值。令 g(x)=60x2-15x4=15x2(4-x2)=0，得 x=2，易知 x=2 是 g(x)在(0，+)内的唯一极大值点，因此它是
17、g(x)在(0，+) 内的最大值点，最大值为 g(2)=23(20-322)=64 故正确选项为 B。【知识模块】 导数的应用15 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查利用导数的符号判断函数的单调性，进而比较两个函数的大小。解法 1 设 f(x)=In(3+x)-ln3+x，因为 f(0)=0，在 C，D 中，所考虑的区间是0，+) ，所考查的不等式是严格的不等号，所以，不选 C，D 。考虑 A，B 中所讨论的区间，当 x(-3，0)时，f(x)= +10，所以 f(x)在(-3，0)单调增加，从而当 x(-3，0) 时，f(x) f(0)=0即与 X(-3，0)时，ln3-xln(3+x)
18、。故正确选项为 B。解法 2 设 f(x)=ln(3+x)，g(x)=ln3-x，则 f(x)=ln(3+x)的定义域(-3，+)，f(x)单调递增，g(x) 单调递减，f(x) 与 g(x)在(0，ln3)相交。画出 f(x)=ln(3+x)和 g(z)=ln3-x(如图 46 所示)。 故正确选项为 B。【知识模块】 导数的应用16 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查函数单调性和极值的判断方法。解法 1 因 a，b，c，d 成等比数列，可设 b=aq，c=aq 2，d=aq 3，其中 q0，于是 y=ax2+2bx+c=a(x2+2qx+q2)=a(x+q)2 即函数 y= ax3+b
19、x2+cx+d 单调递增或递减。故正确选项为D。解法 2 取 a=b=c=d=1，则 y= x3+x2+x+1，于是 y=x2+2x+1=(x+1)20，即函数y= x3+x2+x+1 单调递增或单调递减。【知识模块】 导数的应用17 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查原函数的概念和不定积分的分部积分法。由原函数的定义，f(x)=(x2lnx)=2xlnx+x，故xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)-f(x)dx=2x 2lnx+x2-x2lnx+C=x2lnx+x2+C。故正确选项为 C。【知识模块】 不定积分18 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查定积分的概念和积分中值定理(或
20、微分中值定理)。 解法 1 设甲的速度是 1(t)，乙的速度是 2(t)，到达终点时所用时间为 T，则 0T1(t)dt=0T2(t)dt，由积分中值定理得 0T1(t)-2(t)dt=1()-2()T=0，0，T。 因T0，所以 1()-1()=0，即 1()=2()。 故正确选项为 C。 解法 2 设甲的速度是1(t)，乙的速度是 2(t)，则他们在时间 t 内所跑的距离分别是 0t1(x)dx， 0t2(x)dx，又设到达终点时所用时间为 T，且 令 g(t)=0t1(x)dx(z)dx-0t2(x)dx，则 g(0)=0， g(T)=0，由罗尔定理，存在 (0，T)使得 g()= 1(
21、)-2()=0，即 1()=2()。 故正确选项为 C。 解法 3 根据生活常识，很容易排除 A，B，D，由排除法，正确选项为 C。【知识模块】 定积分19 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查利用定积分计算连续函数在区间a，b 上的平均值。利用定积分计算函数 f(x)在区间a ，b 的平均值公式是 x+1xf(t)dx 而 g(x)=x+1xf(t)dt 表示 f(x)在x，x+1上的平均值，h(x)= f(t)dt 表示 f(x)在x，x+3上的平均值，间隔越大，平均值所表示的曲线越平坦，从图 48 可见 y3 的振幅最大，y 1 最平坦，因此 y1 是 h(x)，y 3 是 f(x)。
22、故正确选项为 D。【知识模块】 定积分20 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查原函数的概念和定积分的几何意义。故正确选项为 C。注：由定积分的几何意义知 等于单位圆在第一象限的面积，如图 49 所示。【知识模块】 定积分21 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查定积分的性质与变量替换。解法 1 设 x=t+ ，则故正确选项为 D。解法 2 设 x=-t，则 I=0sin(cosx)dx=-0sin(cos(n-t)dtI=-0sin(cost)dt=-0sin(cosx)dx，移项，得 20sin(cosx)dx=0，即 0sin(cosx)dx=0，故正确选项为 D。【知识模块】 定积
23、分22 【正确答案】 B【试题解析】 本题是一道综合题，考查零点存在定理，利用导数的符号判断函数的单调性以及变上限函数的导数。设F(x)在0，a上连续，由连续函数的零点存在定理， (0，a)使得 F()=0。又 F(x)= 0，所以 F(x)在0，a 上至多有一个零点。综合上述， F(x)在0， a上只有一个零点，即方程 在0，a上只有一个根。故正确选项为 B。【知识模块】 定积分23 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查变限定积分求导、反函数概念和定积分性质。由 1f(x)g(t)dt=x2-1，得 f(x)g(f(x)=2x，又 g(f(x)=x，所以 f(x)=2，即 f(x)=2x+
24、C。又由 1f(x)g(t)=x2-1 知 1f(1)(t)dt=12-1=0，即 f(1)=1，所以 C=-1，故又由 1f(x)g(t)dt=x2-1 知 1f(x)g(t)dt=12-1=0，即 f(1)=1，所以 C=-1，故 f(x)=2x-1。故正确选项为 B。【知识模块】 定积分24 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了定积分的换元法及变上限求导法则。在 0xuf(x-u)du 中令x-u=t，则 du=-dt，且当 u=0 时，t=x；当 u=x 时，t=0 。于是 0xuf(x-u)du=0x(x-t)f(t)dt=x0xf(t)dt-0xtf(t)dt 故 x0xf(t)dt-0xtf(t)dt= +ln2。对上式再关于 x 求导，得故正确选项为A。【知识模块】 定积分25 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查变上限积分的求导法则和二阶导数的计算。由于本题是求在 x=-1 处的二阶导数值，不妨设 x0。故正确选项为 A。【知识模块】 定积分26 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查利用定积分计算平面图形的面积。先求两条曲线的交点横坐标。由 故正确选项为 B。【知识模块】 定积分
