1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 110 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 周长相同的圆、正方形和正三角形的面积分别为 a，b 和 c，则 a，b，c 的大小关系是 （A）ab c（B） bca（C） ca 6（D）ac62 三名小孩中有一名学龄前儿童，他们的年龄都是质数，且依次相差 6 岁他们的年龄之和为 （A）21（B） 27（C） 33（D）393 已知某单位的 A 部门人数占单位总人数的 25， B 部门人数比 A 部门少 ，C部门有 156 人，比 B 部门多 ，该单位共有 人。（A）426（B）
2、 480（C） 600（D）6244 设互不相同的 3 个实数 a，b，c 在数轴上对应的点分别为 A，B，C若a cabbc，则点 B （A）在 A，C 点的左边（B）在 A，C 点的右边（C）在 A，C 两点之间（D）与点 A，C 的关系不确定5 若(1 2x)9 按二项式定理的展开式中第三项等于 288，则 （A）（B）（C） 1（D）26 把两个不同的白球和两个不同的红球任意地排成一列，结果为两个白球不相邻的概率是 （A）（B）（C）（D）7 已知 f(x)x 2bxc ，x0，)f(x)是单调函数的充分必要条件是 （A）60（B） 60（C） 60（D）608 设 a0，b 0，若
3、是 3a 与 3b 的等比中项，则 的最小值为 （A）3（B） 4（C） 1（D）29 过AOAB 的重心 G 的直线 l 分别与边 OA 和 OB 交于点 P 和 Q已知，则 （A）（B）（C）（D）10 已知a n)是等差数列，a 2a 3a 430，a 5a 640，则公差 d （A）2（B） 3（C） 4（D）511 已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于 A，B，则以 AB 为直径的圆与抛物线准线的公共点的数目为 （A）0（B） 1（C） 2（D）312 已知集合 Mxsinxcosx ，0x) ，Nxsin2xcos2X，0x)，则 MN （A）（B）（C）（D）13 直线 l：xyb
4、 与圆 C：(x1) 2(y1) 22 相交于 A，B 两点，若AB2，则 b 的值等于 （A）（B）（C）（D）14 平面上点 A，C 固定，B 点可以移动若ABC 三边 a，b，C 成等差数列，则点 B 一定在一条圆锥曲线上，此曲线是 （A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线15 如题 15 图，4BCD 是边长为 1 的正方形，ACCE AFC 的面积为 （A）（B）（C）（D）16 设当 x0 时，( 1)ln(1x 2)是比 xsinxn 高阶的无穷小量，而 xsinxn 是比(2x)tanx 2 高阶的无穷小量，则正整数 n 等于 （A）1（B） 2（C） 3（D）417 设 （
5、A）（B）（C）（D）18 方程 3xex 10 在( ，)内实根的个数为 （A）0（B） 1（C） 2（D）319 设 f(x)(x) 2，其中 (x)在(，)内恒为负值，其导数 (x)为单调减函数，且 (x0)0，则下列结论正确的是 （A）yf(x)所表示的曲线在 (x0，f(x 0)处有拐点（B） xx 0 是 yf(x)的极大值点（C）曲线 yf(x)在(，)上是凹的（D）f(x 0)是 f(x)在(，) 上的最大值20 (xx 4)(exex)dx （A）0（B）（C） 4e（D）21 当 ya 2x2(x0)与 x 轴、y 轴及 x2a(a0)围成的平面图形的面积 A 等于16 时
6、，a （A）1（B）（C） 2（D）22 设 A，B，C 均是 n 阶矩阵，则下列结论中正确的是 （A）若 AB，则AB （B）若 ABC ，则 ATB TCT（C）若 ABC ，则AB C （D）若 ABC，则ABC 23 下列矩阵中，与对角阵 相似的矩阵是 （A） （B） （C） （D） 24 设 1， 2， 3， 4 是齐次线性方程组 Ax0 的基础解系，则 Ax0 的基础解系还可以是 （A） 12， 2 3， 34， 4 1（B） 1 2， 2 3 4， 12 3（C） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1（D） 1 2， 2 3， 3 4， 4 125 设矩阵 A(a ij)mn，其
7、秩 r(A)r，则非齐次线性方程组 Axb 有解的充分条件是 （A）rm（B） mn（C） rn（D）mn工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 110 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 周长为 l 的圆半径为 ，周长为 l 的正方形边长为 ，面积为 ，周长为 l 的正三角形边长为因为 416 ，即 abc 故选 A2 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意，有一名儿童的年龄不足 6 周岁，所以最小孩子的年龄只可能是 2，3 或 5由于 268 和 369 都是合数，所以最小孩子的年龄
8、是 5，从而三个孩子的年龄分别是 5，11，17，他们的年龄之和为 5111733故选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以 B120。 又因为 ，所以 A150从而单位总人数为 600 故选 C4 【正确答案】 D【试题解析】 因为acab6c，且“”成立与点 B 位于A，C 两点之间等价，所以当aca6 bc时，点 B 不会位于A，C 两点之间但既可以位于 A，C 点的左边，也可以位于 A，C 点的右边故正确选项为 D故选 D5 【正确答案】 D【试题解析】 (12 x)91C 912xC 91(2x)2所以 36(2x)2288，得 ，于是 故选 D6 【正确答案】 D【试题
9、解析】 总排列数为 P4424要求白球不相邻，可以先定两个位置放白球，放法有 P222两白球的左、右端和中间三处空位若选左端和中间各放一红球，有 P222 种排法同理选中间和右端各放一红球，也有 2 种排法若选中间放两个红球，也是 2 种放法。白球不相邻的排法有 P22(P22P 22P 22)一 12 种所求概率为 若考虑两个白球相邻的情况，如果把两个白球作为一个整体与两个红球作排列，则有 P33 种排法，三个位置中的一个放两个白球，又有 P22 种排法，所以两个白球相邻的概率为 白球不相邻的概率为 故选 D7 【正确答案】 A【试题解析】 函数 yf(x)的图像是开口向上的抛物线，其对称轴
10、是直线 f(x)在 x0，)上单调(单调增)，则对称轴不应在 y 轴右方，即b0注意 b0 时 yf(x)在0，)也是单调的 故选 A8 【正确答案】 B【试题解析】 由题意， ，即 3ab 3，所以有 ab 1，从而由均值不等式 所以时等号成立故选 B9 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，设 M 为 AB 的中点，则 因 P，Q，G 三点共线，有 故选 D10 【正确答案】 C【试题解析】 等差数列的通项 ana 1(n1)d，所以 a 2a 1a 4(a 1d)(a 1 2d)(a 13d)3a 16d， a 5a 6(a 14d)(a 15d)2a 19d 即得线性方程组 解出 d
11、4 故选 C11 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示，设抛物线焦点为 F，准线为 l，AB 中点为 M，过 A、B和 M 分别作 l 的垂线，垂足分别是 A、B和 M，则有 以 AB 为直径的圆，其圆心在 M，且与 l 相切，切点为 M所以此圆与 l 只有 1 个交点 故选 B 12 【正确答案】 B【试题解析】 在(0，)上分别作出 ysinx 和 y cosx，ysin2x 和 ycos2x 的图像，即可看出 故选 B13 【正确答案】 C【试题解析】 用代数方程求解，以 ybx 代入圆 C 方程得 2x22bx(b 1)210，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 1)，则有 x
12、1x 2b，x 1x2 (b22b)， (x 1x2)2(x 1 x2)24x1x2 b 22(b22b)b 24b ， AB 2(x 1x2)2(y 1y2)2 2(x1x2)22(b 24b)，由AB 24，即得b 24b2，解得 本题借助图形也很容易分析(见图)，即考查斜率为1 的直线 l 与圆 C(圆心在Q(1，1)，半径为 )交于 A，B，AB2因QAQB ，所以QAB 为等腰直角三角形，Q 到 l 距离为 1用 故选 C14 【正确答案】 B【试题解析】 因 a，b ， c 成等差数列，所以 2bac，即BCBA2b A ，C 为定点，2b 固定，据椭圆定义， B 在一个椭圆上故选
13、 B15 【正确答案】 A【试题解析】 在EAB 中 FCAB，所以 于是 AFC的面积正方形 ABCD 的面积ABC 的面积ADF 的面积 故选 A16 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时 ( 1)ln(1x 2)x 2.x2x 4，xsinx nx.x nx n1 ，(2x)tanx22x 2，由题目条件有 2n14，从而 n2 故选 B17 【正确答案】 C【试题解析】 在 ，则当 t1 时， ；当 t0 时，u0；dt ，因此 故选 C18 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)3xe x1，则 f(x)3e x3xe x3(1x)e x令 f(x)0，得x1当 x1 时，
14、f(x)0，当 x1 时 f(x)0由此可得 f(x)在(，1)内单调递减，在( 1，)内单调增加，x1 是 f(x)的唯一极小值点，因而是最小值点，最小值为 f(1)3e 110 由函数的单调性和零点存在定理可判断 f(x)在( ，1)内和(1，)内各有一个零点，因此方程 f(x)0 在(，)内恰有两个根故选 C 注 (1)(2)对本题利用零点存在定理时，可用如下方法：f(3) 10，f( 1)0，f(1) 3e 10，因此 f(x)在( 3，1) 内和(1，1)内至少各有一个零点19 【正确答案】 A【试题解析】 因 (x)在(一 ，) 内恒为负值，所以 f(x0)(x 0)20，由取得极
15、值的必要条件，x 0 一定不是 f(x)的极值点，故不选 B；又如果 f(x)的最值点 x0 在开区间(， )内取得，则 x0 一定是极值点，由上面的分析知，x 0 一定不是f(x)的极值点，故不选 D f“(x)2(x)(x)由题设 (x0)0 得，f“(x 0)2(x 0)(x0)0又因为 (x)是单调递减函数，(x) 0，所以，当 x(，x 0)时 f“(x)0；当 x(x0，)时 f“(x)0这表明(x 0，f(x 0)是曲线 yf(x)的拐点 故选A20 【正确答案】 B【试题解析】 注意到 exex 为奇函数，所以 x(exex)为偶函数，x 4(exex)为奇函数，因此 故选 B
16、21 【正确答案】 C【试题解析】 根据定积分的几何意义，有 ，由 2a316 得a2 故选 C22 【正确答案】 C【试题解析】 设 ，则 AB，但A1，B1故 A 不对ABC，则 ATC TBT，而矩阵乘积是不能交换顺序的，故 B 不对 C 是正确的D 不对，例如设 而A 1，B 0，C0，故ABC不成立 故选 C23 【正确答案】 C【试题解析】 与对角阵 相似的矩阵对应于特征值 1 应有两个线性无关的特征向量，由于 所以矩阵对应于特征值 1 有两个线性无关的特征向量，故其与对角阵相似。 故选 C24 【正确答案】 D【试题解析】 由题目条件知 Ax0 的基础解系中含有 4 个线性无关的
17、解向量，而B 中仅有 3 个解向量，个数不符合要求，故不选 B 容易观察到选项 A，C 中的向量满足 ( 12)( 2 3)(34)(4 1)0， ( 1 2)(2 3)(3 4)一( 4 1)0 这表明 A，C 中的解向量都线性相关，虽然 A，C 含有 4个解向量但 A，C 都不是 Ax0 的基础解系 由排除法，正确选项为 D 故选D25 【正确答案】 A【试题解析】 当 r(A)rm 时，矩阵 A 的 m 个行向量线性无关，因此，线性方程组 Axb 的增广矩阵 ，所以 Axb 有解 故选 A 注意 rm 仅是线性方程组 Axb 有解的充分条件，当 Axb 有解时，不一定有 r(A)rm例如，取 时，Ax b 有唯一解x11， ，显然 r(A)23(行数) 下面举例说明 B，C，D 中条件成立，均不一定有 r(A) ，从而 Axb 不一定 例如，当时，mn2，但 r(A)2， 因此，Axb 当 ，因此，Axb 无解，不选 C。当，因此，Axb 无解，不选 D。
