1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 32 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 F(x)在 x=0 处( )（A）极限存在但不连续。（B）连续但不可导。（C）可导。（D）可导性与 a 有关。2 设 f(x)=0xf(t)dt 则( )（A）F(x)在 x=0 处不连续。（B） F(x)在(一，+)内连续，但在 x=0 处不可导。（C） F(x)在(一，+)内可导，且满足 F(x)=f(x)。（D）F(x)在(一，+) 内可导，但不一定满足， F(x)=f(x)。3 设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )（A）
2、 0xf(t)一 f(一 t)dt（B） 0xtf(t)+f(一 t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf(t)2dt4 如图 1-3-1，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周。设 F(x)=0xf(t)dt，则下列结论正确的是( )（A）（B）（C）（D）5 设函数 若反常积分 0+f(x)dt 收敛，则( )（A）一 2（B） 2（C）一 20（D）026 设 m，n 均是正整数，则反常积分 的收敛性( )（A）仅与 m 的取值有关。（B）仅与 n 的取值有关。（C
3、）与 m，n 的取值都有关。（D）与 m，n 的取值都无关。7 曲线 y=e-xsinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为( )（A）一 03e-xsinxdx（B） 03e-xsindx（C） 0e-xxsinx 2e-xsinxdx+23e-xsinxdx（D） 02e-xsindx 一 23e-xsindx8 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成的平面图形的面积可表示为( )（A）一 02x(x 一 1)(2 一 x)dx。（B） 01x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 12x(x 一 1)(2 一 x)dx。（C）一 01x(x-1)(2x)dx+ 1
4、2x(x-1)(2x)dx。（D） 02x(x 一 1)(2 一 x)dx。9 如图 1-3_2，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a 上有连续的导数，则定积分 0axf(x)dx 等于( )（A）曲边梯形 ABOD 面积。（B）梯形 ABOD 面积。（C）曲边三角形 ACD 面积。（D）三角形 ACD 面积。10 由曲线 (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为( )（A）（B）（C）（D）11 由曲线 y=1 一(x 一 1)2 及直线 y=0 围成图形(如图 133)绕 y 轴旋转一周而成的立体体积 V 是( )（A）（B）（C）（D）12
5、 曲线 r=aeb的(a0，b0) 从 =0 到 =(0)的一段弧长为( )（A）（B）（C）（D）13 半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度=1。若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P 为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题14 =_。15 当 a0 时， =_。16 =_。17 已知曲线 y=f(x)过点 ，且其上任一点(x ，y) 处的切线斜率为 xln(1+x2)，则 f(x)=_。18 =_。19 =_。20 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 计算22 设 f(x)=-12e-y2dy，计算 I=13f
6、(x)dx。23 设 f(x)=arcsin(x 一 1)2，f(0)=0，求 01f(x)dx。24 已知 f(2)=0 及 02f(x)dx=1，求 02f(2x)dx。25 设 f(x)连续可导，F(x)= 0xf(t)f(2a 一 t)dt。证明：F(2a)一 2F(A)=f2(A)-f(0)f(2a)。26 设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明27 设 f(x)在( 一，+)上连续，证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意 a(一 ，+)恒有 aa+lf(x)dx=alf(x)dx。28 计算28 计算下列反常积分(广义积分)。29 30 31 设函数 f
7、(x)在0，上连续，且 0f(x)dx=0f(x)cosdx=0。试证明在(0，)内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=0。32 设 f(x)在0，+连续，且 证明至少存在(0， +)，使得 f()+=0。33 设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得34 设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 ，证明至少存在一点 (a，b) ，使得 f()=f().tan。35 证明：(I)若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得abf(x)dx=f()(b 一 a);36 若函数 (x)具有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2) 2
8、3(x)dx，则至少存在一点 (1，3)，使得 () 0。36 设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数。37 试证存在 x0(0，1)，使得在区间0，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积等于在区间x0，1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积；38 又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 证明中的 x0 是唯一的。39 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且满足 axf(t)dtaxg(t)dt，xa，b)， abf(t)dt=abg(t)dt。证明 abf(x)dxabxg(x)dx。40 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)=0,f(x)0,g(x)0
9、。证明对任何a0，1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(A)g(1)。41 设 f(x)在a，b上有连续的导数，证明42 设 证明曲线 y=f(x)在区间(ln2，+)上与 x 轴围成的区域有面积存在，并求此面积。43 设 f(x)=-12ttdt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与戈轴所围封闭图形的面积。44 椭球面 S2 是椭圆 绕戈轴旋转一周而成，圆锥面 S2 是过点(4，0)且与椭圆 相切的直线绕 x 轴旋转一周而成。(I)求 S1 及 S2 的方程；()求 S1与 S2 之间的立体体积。考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 32 答案与解析一、选择题下列每题给
10、出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 即 F(x)在x=0 处的可导性与 a 有关。所以选 D。【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理： 设 f(x)在a，b上除点 c(a，b) 外的其他点都连续，且 x=c 为 f(x)的跳跃间断点。又设 F(x)=cxf(t)dt，则： F(x)在a，b上必连续； 当 xa，b且 xc 时，F(x)=f(x)； F(C)必不存在，且 F+?=f(c+)，F -(C)=f(c-)。直接利用上述结论(本题中的 c=0)，可知选项 B 正确。【知识模块】
11、一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 取 f(x)=x，则相应的 均为奇函数，故不选 A、C、D。应选 B。【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 结合定积分的几何意义，可知【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 根据反常积分的收敛性判断，将已知积分分解为【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 显然 x=0，x=1 是该积分的两个瑕点，因此有对于等价于因为 m，n 均为正整数，有收敛。对于的瑕点 x=1，当 时而积分 显然收敛，因此积分 也是收敛的。【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 当 0x
12、 或 2，x3 时 y0，当 x2 时 y0.所以 y=e-xfsinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积为 0e-xsinxdx 2e-xsinxdx+23e-xsinxdx。故选 C。【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C 正确。事实上，S= 02ydx= 02x(x 一 1)(2 一 x)dx= 01x(x 一 1)(2 一x)dx+ 12x(x 一 1)(2 一 x)ax=一 01z(x-1)(2x)dx+ 12x(x-1)(
13、2x)dx。【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 C【试题解析】 因为 0axf(x)dx=0axdf(x)=xf(x) a 0af(x)dx=af(A)一 0af(x)dx，其中af(A)是矩形 ABOC 的面积， 0af(x)dx 为曲边梯形 ABOD 的面积，所以上 0axf(x)dx 为曲边三角形 ACD 的面积。【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 B【试题解析】 由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式，得故选 B。【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 D【试题解析】 按选项，要把曲线表示成 x=x(y)，于是要分成两部分则 V 是
14、以下两个旋转体的体积之差：【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 A【试题解析】 利用极坐标表示曲线的弧长公式，故选 A。【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 C【试题解析】 如图 13 一 7 所示，任取x，x+dx0，R ，相应的小横条所受压力微元【知识模块】 一元函数积分学二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 令 x=tant，则 dx=sec2tdt，于是【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积
15、分学18 【正确答案】 一 4【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【试题解析】 令 x 一 1=sint，则【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 使用分部积分法和换元积分法。【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 f(x)=一 e-(x-1)2，由分部积分公式可得【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由题意【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学
16、26 【正确答案】 连续利用分部积分法有【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 证明： 必要性：设 (A)=aa+1f(x)dx 一 01(x)dx，由题设 (A)=f(a+l)一 f(A)=0，则 (A)=c(常数)。设 a=0，则 c=(0)=0，那么上 aa+lf(x)dx=0lf(x)dx。 充分性：在 aa+lf(x)dx=0lf(x)dx 两边对 a 求导，得 f(a+l)一 f(0)=0，故 f(x)以 l为周期。【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一
17、元函数积分学29 【正确答案】 由于 x22x=(x 一 1)21，因此为去掉被积函数中的根号，可令x 一 1=sect 则有【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 采用分解法与分部积分法，由于 ，故可将被积函数分解，并用分部积分法有【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，0x，则有 F(0)=0，F()=0。又因为 0=0f(x)cosxdx=0cosxdF(x)=F(x)cosx 0+0F(x)sinxdx=0F(x)sinxdx，所以存在 (0，)，使 F()sin=0，不然，则在(0，) 内 F(x)sinx 恒为正或恒为仍与 0F(x)
18、sinxdx=0 矛盾，但当 (0，)时，sin0，故 F()=0。由以上证得，存在满足 0 的 ，使得 F(0)=F()=F()=0，再对 F(x)在区间0， 上分别用罗尔定理知，至少存在 1(0，)， 2(，)，使得 F(1)=F(2)=0，即 f(1)=f(2)=0。【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 作函数 F(x)=f(x)+x，有所以由积分中值定理，存在a0，1，使 01F(x)dx=(1 一 0)F(A)0，即 F(A)0。又因为所以，由极限的保号性，存在 ba，使 ，即 F(B)0。因此，由介值定理，至少存在一个 a，bc(0，+)，使 F()=0，即f()+=0。
19、【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 由已知 0af(x)dx=0af(x)d(x 一 a)=(x 一 a)f(x) 0a 一 0a(x 一 a)f(x)dx=af(0)一 0a(x 一 a)f(x)dx 因为 f(x)连续，所以 f(x)在0，a上存在最小值 m 和最大值 M，则 m(a 一 x)(ax)f(x)M(a 一 x)，故 ，再由介值定理可知，至少存在一点 0，a，使得【知识模块】 一元函数积分学34 【正确答案】 由 f(x)在区间a ，b上可导，知 f(x)在区间a，b上连续，从而F(x)=f(x).cosx 在 上连续，由积分中值定理，知存在一点 使得 在c， b上
20、，由罗尔定理得至少存在一点 (c，b)c(a，b)，使 F()=f()cos 一 f()sin=0，即得 f()=f()tan，(a，b)。【知识模块】 一元函数积分学35 【正确答案】 设 M 与 m 是连续函数 f(x)在a ，b上的最大值与最小值，即mf(x)M，xa，b。根据定积分性质，有 m(b 一 a)abf(x)dxM(b 一 a)，即根据连续函数介值定理，至少存在一点 a，b，使得即 abf(x)dx=f()(b 一 a)。【知识模块】 一元函数积分学36 【正确答案】 由(I)的结论可知至少存在一点 2，3，使 23(x)dx=()(32)=()，又由 (2) 23(x)dx
21、=()，知 23。对 (x)在1，2，2，上分别应用拉格朗日中值定理，并结合 (1)(2)，() (2)可得在 1， 2上对导函数 (x)应用拉格朗日中值定理，有【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学37 【正确答案】 本题可转化为证明 x0f(x0)=01f(x)x。令 (x)=一 xx1f(t)dt，则 (x)在闭区间0 ，1 上是连续的，在开区间(0，1) 上是可导的，又因为 (0)=(1)=0，根据罗尔定理可知，存在 x0(0，1) ，使得 (x0)=0，即 (x0)=x0f(x0)一 01f(t)dt=0。也就是 x 0f(x0)=01f(x)dx。【知识模块】 一
22、元函数积分学38 【正确答案】 令 F(x)=xf(x)一 01f(t)dt，且由 有 F(x)=xf(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf(x)0，即 r(x)在(0，1)内是严格单调递增的，因此(I)中的点 x0 是唯一的。【知识模块】 一元函数积分学39 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 g(x)，G(x)= 0xF(t)dt，由题设 C(x)0，xa ，b，且G(A)=G(B)=0，G(x)=F(x) 。从而 abxF(x)dx=abxdG(x)=xG(x)ab 一 abG(x)dx=一 abG(x)dx。由于 G(x)0，xa，b，故有一 abG(x)dx0，即 abxF
23、(x)dx0。因此可得abxfdxabxg(x)dx【知识模块】 一元函数积分学40 【正确答案】 设 F(x)=0xg(t)f(t)dt+01f(t)g(t)dt 一 f(x)g(1)，则 F(x)在0，1上的导数连续，并且 F(x)=g(x)f(x)一 f(x)g(1)=f(x)g(x)一 g(1)，由于 x0，1时,f(x)0，g(x)0 ，因此 F(x)0，即 F(x)在0 ，1上单调递减。注意到 F(1)=01g(t)f(t)dt+01f(t)g(t)dt 一 f(1)g(1)，而又因为 01g(t)f(t)dt=01g(t)df(t)=g(t)01f(t)g(t)dt=f(1)g(
24、1)一 01f(t)g(t)dt，故 F(1)=0。因此 x0，1时，F(x)F(1)=0，由此可得对任何a0，1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(A)g(1)。【知识模块】 一元函数积分学41 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学42 【正确答案】 考虑广义积分 的收敛性。因此广义积分收敛，即所围成区域的面积存在。取变换 ex=sect，则 x=ln(sect)，e xdx=secttantdt，【知识模块】 一元函数积分学43 【正确答案】 因为 tt为奇函数，可知其原函数 f(x)=-10tt dt= -10ttdt+ 0xttdt 为偶函数，由 f(一 1)=0，得 f(1)=0，即 y=f(x)与 x 轴有交点(一 1， 0)，(1，0)。又由 f(x)=xx，可知 x0 时 f(x)0，故 f(x)单调减少，因此 f(x)f(一 1)=0(一 1x0) 。当 x0 时 f(x)=xx0，故 f(x)单调增加，所以当 x0 时，y=f(x)与 x 轴有一交点(1，0)。综上，y=f(x)与 x 轴交点仅有两个。所以封闭曲线所围面积【知识模块】 一元函数积分学44 【正确答案】 (I)由题意得 S1 的方程为【知识模块】 一元函数积分学
