1、考研数学二（二次型）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，已知 r(A)=2，并且 A 满足 A22A=0 则下列各标准二次型 (1)2y 12+2y22 (2)2y12 (3)2y 12+2y32 (4)2y 22+2y32 中可用正交变换化为 f 的是( )（A）(1)（B） (3)，(4)（C） (1)，(3)，(4) （D）(2)2 A= ，则( )中矩阵在实数域上与 A 合同3 矩阵 A= 合同于4 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（A）A，B
2、有相同的特征值（B） A，B 有相同的秩（C） A，B 有相同的行列式（D）A，B 有相同的正负惯性指数二、填空题5 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2 的矩阵是_6 若二次型 2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3 的秩为 2，则 t=_7 设三元二次型 x12+x22+5x32+2tx1x22x 1x3+4x2x3 是正定二次型，则 t_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 用配方法化下列二次型为标准型 (1)f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22+2x1x22x 1x3+2x2x3 (2)f(x1，x 2，x 3)=
3、x1x2+x1x3+x2x39 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1a)x 12+(1a)x 22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 2 (1) 求a (2)求作正交变换 X=QY，把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形 (3)求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解10 A= ，求作一个 3 阶可逆矩阵 P，使得 PTAP 是对角矩阵11 设 A 是一个可逆实对称矩阵，记 Aij 是它的代数余子式二次型(1)用矩阵乘积的形式写出此二次型(2)f(x1，x 2， xn)的规范形和 XTAX 的规范形是否相同? 为什么?12 二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+ax
4、22+(a1)x 32+2x1x32x 2x3 求 f(x1，x 2，x 3)的矩阵的特征值 如果 f(x1，x 2，x 3)的规范形为 y12+y22，求 a13 已知 A 是正定矩阵，证明A+E114 已知二次型 f(x 1，x 2，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn+anx1)2 a1，a 2，a n 满足什么条件时 f(x1，x 2，x n)正定?15 设 A 和 B 都是 mn 实矩阵，满足 r(A+B)=n，证明 ATA+BTB 正定16 设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A2+2A=0，并且 r(A)=2 (1)求 A 的特征值 (2)当实数后满足什么
5、条件时 A+kE 正定?17 设 C= ，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵证明 C 正定 A，B 都正定18 二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在正交变换 X=QY 下化为 y12+y22，Q 的第 3 列为求 A 证明 A+E 是正定矩阵19 如果 A 正定，则 Ak，A 1 ，A *也都正定20 设 A，B 都是 n 阶正定矩阵，则：AB 是正定矩阵A，B 乘积可交换21 设 A 是一个 n 阶正定矩阵，B 是一个 n 阶实的反对称矩阵，证明 A+B 可逆22 求正交变换化二次型 x12+x22+x324x 1x24x 2x34x 1x3 为标准形23 设 A 是 n 阶实
6、对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 TA=0，证明 A=024 设 A 是 mn 实矩阵，r(A)=n，证明 ATA 是正定矩阵25 已知 A= 是正定矩阵，证明 = 0考研数学二（二次型）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样从条件可知，A 的特征值 0， 2，2(1)，(3)，(4)这 3 个标准二次型的矩阵的特征值都是 0，2，2(2)中标准二次型的矩阵的特征值是0，0，2【知识模块】 二次型2 【正确答案】 D【试题解析】
7、 用特征值看：两个实对称矩阵合同它们的特征值正负性相同A=3，对于 2 阶实对称矩阵，行列式小于 0 即两个特征值一正一负，于是只要看哪个矩阵行列式是负数就和 A 合同计算得到只有 D 中的矩阵的行列式是负数【知识模块】 二次型3 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵 A 的特征多项式知矩阵 A 的特征值为1，3，2即二次型正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=1故应选 B【知识模块】 二次型4 【正确答案】 D【试题解析】 A 是充分条件特征值一样=有相同的正、负惯性指数 =合同但不是必要条件例如 ，特征值不同，但 A BB 是必要条件由 CTAC=B，C 可逆 =r(A)=r(B)，但不是充
8、分条件例如，虽 r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同故 A 与 B 不合同C 既不必要也不充分例如 ，行列式不同但合同，又如 ，虽行列式相同但不合同故应选 D【知识模块】 二次型二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)=a12x12+a22x22+a32x32+2a1a2x1x2+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩阵 A=【知识模块】 二次型6 【正确答案】 【试题解析】 r(f)=2，即 r(A)=2因A中有 2 阶子式 0，故 r(A)=2 A=0 由【知识模块】 二次型7 【正确答案】 【试题解析】 二次型矩阵 A= ，顺序主子式 1=1，2
9、= =1 t20， 3=A=5t 24t0，所以 t( ，0)【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 (1)f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22+2x1x22x 1x3+2x2x3=x12+2x1x22x 1x3+(x2x 3)2(x 2x 3)2+2x22+2x2x3=(x1+x2x 3)2+x22+4x2x3x 32=(x1+x2 x3)2+x22+4x2x3+4x325x 32=(x1+x2x 3)2+(x2+2x3)25x 3)2 原二次型化为 f(x1， x2，x 3)=y12+y225y 32从上面的公式反解得变换公式：变换
10、矩阵 (2)这个二次型没有平方项，先作一次变换 f(x1，x 2，x 3)=y12y 22+2y1y3虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了：y 12y 22+2y1y3=(y1+y3)2y 22y 32则 f(x1，x 2，x 3)=z12z 22z 32 变换矩阵【知识模块】 二次型9 【正确答案】 (1)此二次型的矩阵为 则 r(A)=2， A=0 求得A =8a，得 a=0 (2)得 A 的特征值为 2，2，0对特征值 2 求两个正交的单位特征向量： 得(A2E)X=0 的同解方程组 x1x 2=0，求出基础解系 1=(0，0，1) T， 2=(1，1，0) T它
11、们正交，单位化： 1=1， 2= 方程 x1x 2=0 的系数向量(1 ，1，0) T 和1， 2 都正交，是属于特征值 0 的一个特征向量，单位化得 作正交矩阵 Q=(1， 2， 3)，则 作正交变换 X=QY，则 f 化为 Y的二次型 f=2y12+2y22(3)f(X)=x 12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32于是f(x1，x 2，x 3)=0 求得通解为： ， c 任意【知识模块】 二次型10 【正确答案】 对这样的题，可能会想到构造正交矩阵 Q，使得 Q1 AQ 是对角矩阵，则 QTAQ=Q1 AQ 是对角矩阵这样做首先会遇到特征值计算的困难，如本题中的矩阵
12、用本课程的知识是不能求出特征值的即使可以求出，这个方法的计算量也比较大一个比较简单的方法是利用与 A 对应的二次型用配方法标准化，则变换矩阵就是所求 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX=x12+4x222x 324x 1x2+4x2x3=(x12x 2)22x 32+4x2x3 =(x12x 2)22(x 2x 3)2+2x22 原二次型化为f(x1，x 2，x 3)=y122y 22+2y32从上面的公式反解得变换公式： 变换矩阵【知识模块】 二次型11 【正确答案】 (1)由于 A 是实对称矩阵，它的代数余子式 Aij=Aji， i，j，并且A1 也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就
13、是 4ijA，于是 f(x1，x 2，x n)=XTA1 X(2)A 1 的特征值和 A 的特征值互为倒数关系，因此 A1 和 A 的正的特征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而 A1 和 A 合同，f(x 1，x 2，x n)和 XTAX 有相同的规范形【知识模块】 二次型12 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)的矩阵为 求出B 的特征多项式EB= 3+22=(+2)(1)，B 的特征值为2，0，1，于是 A 的特征值为 a2，a，a+1 因为 f(x1，x 2，x 3)的规范形为 y12+y22 时，所以A 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 0
14、，于是 A 的特征值 2 个正，1 个 0，因此a=2【知识模块】 二次型13 【正确答案】 此题用特征值较简单 设 A 的特征值为 1， 2， n，则 A+E的特征值为 1+1， 2+1， n+1 因为 A 正定，所以i0， i+11(i=1，2，n)于是 A+E =( 1+1)(2+1)( n+1)1【知识模块】 二次型14 【正确答案】 记 y1=x1+a1x2，y 2=x2+a2x3，y n=xn+anx1，则简记为 Y=AX 则 f(x1，x 2，x n)=YTY=XTATAX于是，实对称矩阵 ATA 就是 f(x1，x 2，x n)的矩阵从而 f 正定就是 ATA 正定 A TA
15、正定的充要条件是 A 可逆计算出A =1+(1)n1 a1a2an于是，f 正定的充要条件为 a1a2an(1) n【知识模块】 二次型15 【正确答案】 用正定的定义证明 显然 ATA，B TB 都是 n 阶的实对称矩阵，从而 ATA+BTB 也是 n 阶实对称矩阵 由于 r(A+B)=n，n 元齐次线性方程组(A+B)X=0 没有非零解于是，当 是一个非零 n 维实的列向量时，(A+n)0 ，因此 A与 B 不会全是零向量，从而 T(ATA+BTB)=TATA+TBTB=A2+B20根据定义，A TA+BTB 正定【知识模块】 二次型16 【正确答案】 (1)因为 A 是实对称矩阵，所以
16、A 的特征值都是实数 假设 是A 的一个特征值，则 2+2 是 A2+2A 的特征值而 A2+2A=0，因此 2+2=0，故=0 或2又因为 r(A0E)=r(A)=2 ，特征值 0 的重数为 3r(A0E)=1，所以2 是 A 的二重特征值A 的特征值为 0，2，2 (2)A+kE 的特征值为k，k2，k2于是当 k2 时，实对称矩阵 A+kE 的特征值全大于 0，从而A+kE 是正定矩阵当 k2 时，A+kE 的特征值不全大于 0，此时 A+kE 不正定【知识模块】 二次型17 【正确答案】 显然 C 是实对称矩阵 A，B 都是实对称矩阵于是 A，B 的特征值合起来就是 C 的特征值如果
17、C 正定，则 C 的特征值都大于 0，从而 A，B 的特征值都大于 0，A，B 都正定反之，如果 A，B 都正定，则 A，B 的特征值都大于0，从而 C 的特征值都大于 0，C 正定【知识模块】 二次型18 【正确答案】 条件说明 于是 A 的特征值为1，1，0，并且 Q 的第 3 列= (1，0，1) T 是 A 的特征值为 0 的特征向量记1=(1， 0，1) T，它也是 A 的特征值为 0 的特征向量A 是实对称矩阵，它的属于特征值 1 的特征向量都和 1 正交，即是方程式 x1+x3=0 的非零解 2=(1，0，1)T， 3=(0，1，0) T 是此方程式的基础解系，它们是 A 的特征
18、值为 1 的两个特征向量建立矩阵方程 A(1， 2， 3)=(0， 2， 3)，两边做转置，得解此矩阵方程A+E 也是实对称矩阵，特征值为 2，2，1，因此是正定矩阵【知识模块】 二次型19 【正确答案】 从特征值看 设 A 的特征值为1， 2， n i0，i=1，2，n 则 Ak 的特征值为1k， 2k， nk ik0，i=1，2，n 设 A1 的特征值为11 ， 21 ， n1 i1 0，i=1，2，n 设 A*的特征值为A 1，A 2，A nA i0，i=1，2，n【知识模块】 二次型20 【正确答案】 “ T=BTAT=BA=AB 再证明 AB 的特征值全大于 0存在可逆实矩阵 C，使
19、得 A=CCT则 AB=CCTB，相似于 CTBC，特征值一样，而 CTBC 是正定的，特征值全大于 0 “=”AB 正定，则对称于是 BA=BTAT=(AB)T=AB【知识模块】 二次型21 【正确答案】 证明(A+B)X=0 没有非零解 设 n 维实列向量 满足(A+B)=0，要证明 =0 注意 B 是反对称矩阵， TB=0(因为 TB=(TB)T= TB) TA=TA+TB=T(A+B)=0 由 A 的正定性得到 =0【知识模块】 二次型22 【正确答案】 二次型矩阵 A= ，由特征多项式得特征值为 1=2=3， 3=3由(3EA)x=0 得基础解系 1=(1，1，0) T， 2=(1，
20、0，1) T，即 =3 的特征向量是 1， 2由(E A)x=0 得基础解系 3=(1，1，1) T对1， 2 经 Schmidt 正交化，有 单位化，得 那么，令 x=Qy，其中Q=(1， 2， 3)，则有 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yTy=3y12+3y223 32【知识模块】 二次型23 【正确答案】 n 维向量 恒有 TA=0，那么令 1=(1，0，0，0) T，有类似地，令i=(0， 0，0，1，0，0) T(第 i 个分量为 1)，由 iTAi=ii=0 (i=1，2，n)令 12=(1，1，0，0) T，则有故 a12=0类似可知 aij=0(i，j=1，2， n)所以 A=0【知识模块】 二次型24 【正确答案】 由(A TA)T=AT(AT)T=ATA，知 ATA 是实对称矩阵又 r(A)=n， 0，恒有 A0从而 T(ATA)=(A)T(A)=A20故 ATA 正定【知识模块】 二次型25 【正确答案】 令 ，C=C 1C2，则 C 是可逆矩阵，且 则A B由于 A 正定，故 B 正定，从而 B 的顺序主子式 0【知识模块】 二次型
