1、考研数学二（二次型）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 P1-1AP1，P 2-1BP2 为对角矩阵（B）存在正交矩阵 Q1，Q 2，使得 Q1TAQ1，Q 2TBQ2 为对角矩阵（C）存在可逆矩阵 P，使得 P-1(AB)P 为对角矩阵（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB2 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）A 无负特征值（B） A 是满秩矩阵（C） A 的每个特征值都是单值（D）A -1 是正定矩阵3 下列说法正确的是( ) （
2、A）任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）一次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的4 设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 XTAX 与 XTA-1X( )（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同5 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵6 设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 APB，则( )（A
3、）A，B 合同（B） A，B 相似（C）方程组 AX0 与 BX0 同解（D）r(A)r(B)7 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（A）r(A)r(B)（B） AB （C） AB（D）A，B 与同一个实对称矩阵合同8 设 ，则 A 与 B( )（A）相似且合同（B）相似不合同（C）合同不相似（D）不合同也不相似9 设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为2，1，1 ，以下命题：(1)AB ；(2)A ，B 合同；(3)A ，B 等价；(4)A B中正确的命题个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个10 设 ，则 A 与 B( )（
4、A）合同且相似（B）相似但不合同（C）合同但不相似（D）既不相似又不合同11 设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 XTAX0，则( )（A）A0（B） A0（C） A0（D）以上都不对二、填空题12 二次型 f(1， 2， 3)( 12 2)24 23 的矩阵为_13 设 ，则 1， 2， 3 经过施密特正交规范化后的向量组为_14 设二次型 212 22 322 12a 23 的秩为 2，则 a_15 设 512 22t 324 122 132 23 为正定二次型，则 t 的取值范围是_16 f(1， 2， 3， 4)X TAX 的正惯性指数是 2，且 A22A O，该二
5、次型的规范形为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 用配方法化二次型 f(1， 2， 3) 12 23 为标准二次型18 用配方法化二次型 f(1， 2， 3) 122 122 134 32 为标准形19 设二次型 f(1， 2， 3)X TAX，A 的主对角线上元素之和为 3，又ABBO，其中 B (1)求正交变换 XQY 将二次型化为标准形； (2)求矩阵 A20 用正交变换法化二次型 f(1， 2， 3) 12 22 324 124 134 23 为标准二次型21 设二次型 f(1， 2， 3)(a 1) 12(a1) 222 322 12(a0)的秩为 2 (1)求
6、a； (2)用正交变换法化二次型为标准形22 设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2A(A 称为幂等阵) 求：(1)二次型XTAX 的标准形； (2)EAA 2A n的值23 设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵 f(1， 2， N) (1)记X( 1， 2， ， n)T，把二次型 f(1， 2， n)写成矩阵形式； (2) 二次型 g(X)X TAX 是否与 f(1， 2， ， n)合同?24 设 A 是三阶实对称矩阵，且 A22AO，r(A)2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当 k 为何值时，AkE 为正定矩阵?25 设二次型 f(1， 2， 3) 124 222 322t
7、122 13 为正定二次型，求 t 的范围26 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：EA127 用配方法化下列二次型为标准形： f( 1， 2， 3) 122 225 322 122 132 2328 用配方法化下 N-次型为标准形： f(1， 2， 3)2 122 136 2329 二次型 f(x1，z2 ，z3)一 z；+ax；+z ；一 4x1 z28x1 z34x2273 经过正交变换化为标准形 5y12by 224y 32，求： (1)常数 a，b； (2)正交变换的矩阵 Q30 设 C 为正定矩阵，令 P ， (1)求 PTCP； (2)证明：DBA -1BT 为正定矩阵31 设二次
8、型 f(1， 2， 3)X TAX，tr(A)1，又 B 且 ABO (1)求正交矩阵 Q，使得在正交变换 XQY，下二次型化为标准形 (2)求矩阵 A32 设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)n证明：A TA 的特征值全大于零33 设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P TAP 为正定矩阵34 设 P 为可逆矩阵， AP TP证明：A 是正定矩阵35 设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：AB 为正定矩阵36 三元二次型 fX TAX 经过正交变换化为标准形 fy 12y 222y 32，且 A*2E 的非零特征值对应的特征向量为 1 ，求此二次型37 设二次型 f2 1
9、22 22a 322 122b 132 23 经过正交变换 XQY 化为标准形 fy 12y224y 32，求参数 a，b 及正交矩阵 Q38 设齐次线性方程组 有非零解，A 为正定矩阵，求 a，并求当X 时 XTAX 的最大值39 设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵40 设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明： BTAB 正定的充分必要条件是 r(B)n考研数学二（二次型）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存
10、在可逆矩阵P，Q，使得 PAQB，选 D【知识模块】 二次型2 【正确答案】 A【试题解析】 A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，A 项不对；若 A为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，B 项不对；C 项既不是充分条件又不是必要条件；显然 D 项既是充分条件又是必要条件【知识模块】 二次型3 【正确答案】 D【试题解析】 A 项不对，如 f 12，令 ，则 fy 12y 22； 若令则 fy 129y 22； B 项不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；
11、 C 项不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为 0，不能保证其正惯性指数为 n； 选 D 项，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一【知识模块】 二次型4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与 A-1 合同，所以 XTAX 与 XTA-1X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选 B【知识模块】 二次型5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与对角阵 A 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 PTAPA，从而 A(P T)-1AP-1(P -1)TAP-1，A T(P -1)TAP-1T (P-1)TAP-1A ，选
12、B【知识模块】 二次型6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P 可逆，所以 r(A)r(B)，选 D【知识模块】 二次型7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与 合同，选D【知识模块】 二次型8 【正确答案】 C【试题解析】 由E A 0 得 A 的特征值为 1，3，5，由E B0得 B 的特征值为 1，1，1，所以 A 与 B 合同但不相似，选 C【知识模块】 二次型9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 的特征值为2，1，1，所以 AB2，又因为 r(A)r(B)
13、3，所以 A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选 B【知识模块】 二次型10 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A，B 都是实对称矩阵，由EA 0，得 A 的特征值为11， 22， 39， 由EB 0，得 B 的特征值为 11， 2 33，因为 A，B 惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A，B 合同但不相似，选 C【知识模块】 二次型11 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型X TAX 1y12 2y22 3y32，其中 Q 为正交矩阵取Y ，则 fX TAX 10，同理可得 2 30，由于 A 是实对称矩阵，所以r(A)0，从而 AO，选 A【知识模块】 二次型二、填空题12
14、【正确答案】 【试题解析】 因为 f(1， 2， 3) 124 224 124 23， 所以 A【知识模块】 二次型13 【正确答案】 【试题解析】 令正交规范化的向量组为 1【知识模块】 二次型14 【正确答案】 【试题解析】 该二次型的矩阵为 A ，因为该二次型的秩为 2，所以A0，解得 a 【知识模块】 二次型15 【正确答案】 t2【试题解析】 二次型的矩阵为 A ，因为二次型为正定二次型，所以有 50， 10，A0，解得 t2【知识模块】 二次型16 【正确答案】 y 12y 22【试题解析】 A 22AO r(A)r(2EA)4 A 可以对角化， 12， 20，又二次型的正惯性指数
15、为 2，所以 12， 20 分别都是二重，所以该二次型的规范形为 y12y 22【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 令 即 XPY， 其中则 f(1， 2， 3)X TAX YT(PTAP)Y y12y 22y 32【知识模块】 二次型18 【正确答案】 f( 1， 2， 3) 122 122 134 32( 1 2 3)2( 2 3)24 32， 即 XPY，其中 P则 f(1， 2， 3)X TAX y12y 224y 32【知识模块】 二次型19 【正确答案】 (1)由 ABBO 得(EA)BO，从而 r(EA)r(B)3， 因为r(
16、B)2，所以 r(EA)1，从而 1 为 A 的特征值且不低于 2 重， 显然1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1 21， 35 由(E A)BO 得 B 的列组为 (EA)X0 的解， 故 为1 21 对应的线性无关解 令 3 为 35 对应的特征向量， 因为AT A，令 Q( 1， 2， 3)，则 fX TAX y 12y 225y 32 (2)由 QTAQ【知识模块】 二次型20 【正确答案】 f( 1， 2， 3)X TAX，其中 X 由EA ( 3)(3) 20 得13， 2 33 由 (3EA)X0 得 13 对应的线性无关的特征向量为1 ； 由(3E A)X 0 得 2
17、 33 对应的线性无关的特征向量为将 1， 2 正交化得则 f(1， 2， 3)X TAX YT(QTAQ)Y3y 123y 223y 32【知识模块】 二次型21 【正确答案】 (1)A ，因为二次型的秩为 2，所以 r(A)2，从而 a 2 (2)A ，由E A0 得 1 22， 30 当2 时，由(2EA)X0 得 2 对应的线性无关的特征向量为当 0 时，(0EA)X0 得 0 对应的线性无关的特征向量为 3 因为 1， 2 两两正交，单位化得令则 fX TAX YT(QTAQ)Y2y 122y 22【知识模块】 二次型22 【正确答案】 (1)因为 A2A，所以AEA 0，即 A 的
18、特征值为 0 或者 1， 因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)r 得 A 的特征值为1(r 重)，0 (nr 重)，则二次型 XTAX 的标准形为 y12y 22y r2 (2)令BEAA 2A n，则 B 的特征值为 n1(r 重)，1(nr 重)，故 EA A 2A nB(n1) r【知识模块】 二次型23 【正确答案】 (1)f(X) ( 1， 2， n)因为 r(A)n，所以A0，于是 A*A -1，显然 A*，A -1 都是实对称矩阵 (2)因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A-1 合同，故二次型 f(1， 2， n)与g(X)X T
19、AX 规范合同【知识模块】 二次型24 【正确答案】 (1)由 A22AO 得 r(A)r(A2E)3，从而 A 的特征值为 0 或2，因为 A 是实对称矩阵且 r(A)2，所以 10， 2 32 (2)A kE 的特征值为 k，k2，k2，当 k2 时，AkE 为正定矩阵【知识模块】 二次型25 【正确答案】 二次型的矩阵为 A ，因为该二次型为正定二次型， 所以有 解得【知识模块】 二次型26 【正确答案】 因为 A 是正定矩阵，所以存在正交阵 Q，使得 QTAQ其中 10， 20， n 0， 因此 QT(AE)Q于是Q T(AE)QAE ( 11)(21)( n1)1【知识模块】 二次型
20、27 【正确答案】 令 ， 则 f(1， 2， 3)X TAX， f( 1， 2， 3) 122 225 322 12 2132 23 ( 1 2 3)2( 22 3)210 32， 显然P 可逆， 且 f(1， 2， 3) YT(PTAP)Yy 12y 2210y 32【知识模块】 二次型28 【正确答案】 令 ，或 XP 1Y， 其中且 P1 可逆， 则 f(1， 2， 3)2y122y 228y 1y34y 2y3 2(y 12y 3)22(y 2y 3)6y 32，令 PP 1P2，P 可逆，且 f( 1， 2， 3)XTAXZT(PTAP)Z2z 122z 226z 32【知识模块】
21、 二次型29 【正确答案】 (1)令 ，则 f(1， 2， 3)X TAX 矩阵 A 的特征值为 15， 26， 34，从而A ，特征值为 1 25， 34 (2)将 1 25 代入(EA)X0，即(5E A)X0， 由 5EA 得1 25 对应的线性无关的特征向量为 将 34代入(EA)X0，即(4EA)X0。 由 4EA得 34 对应的线性无关的特征向量为所求的正交变换矩阵为 Q【知识模块】 二次型30 【正确答案】 (1)因为 C 为正定矩阵所以 ATA ，D TD ，(2)因为 C 与合同，且 C 为正定矩阵，所以 为正定矩阵，故A 与 DBA -1BT 都是正定矩阵【知识模块】 二次
22、型31 【正确答案】 (1)由 ABO 得 0， 即为 0 的两个线性无关的特征向量，从而 0 为至少二重特征值， 又由 tr(A)1 得 31， 即 1 20 ， 31 令 31 对应的特征向量为 3 因为 ATA，所以 解得31 对应的线性无关的特征向量为所求的正交矩阵为 Q且 XTAX y32 (2)由【知识模块】 二次型32 【正确答案】 首先 ATA 为实对称矩阵，r(A TA)n，对任意的 X0， X T(ATA)X(AX) T(AX)，令 AX ，因为 r(A)n，所以 0，所以(AX) T(AX) T 20，即二次型 XT(ATA)X 是正定二次型， ATA 为正定矩阵，所以A
23、TA 的特征值全大于零【知识模块】 二次型33 【正确答案】 首先 ATA，因为(P TAP)TP TAT(PT)TP TAP，所以 PTAP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T(PTAP)X(PX) TA(PX)，令 PX ，因为 P 可逆且X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 TA0，即 XT(PTAP)X0，故XT(PTAP)X 为正定二次型，于是 PTAP 为正定矩阵【知识模块】 二次型34 【正确答案】 显然 ATA，对任意的 X0，X TAX(PX) T(PX)，因为 X0且 P可逆，所以 PX0，于是 XTAX(PX) T(PX)PX 20，即 XTAX 为正定二次型，故
24、 A 为正定矩阵【知识模块】 二次型35 【正确答案】 因为 A，B 正定，所以 ATA，B TB，从而(A B) TA B，即 AB 为对称矩阵对任意的 X0，X T(AB)X X TAXX TBX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 XTAX 0，X TBX0，因此 XT(AB)X0，于是 AB 为正定矩阵【知识模块】 二次型36 【正确答案】 因为 fX TAX 经过正交变换后的标准形为 fy 12y 222y 32，所以矩阵 A 的特征值为 1 21， 32 由A 1232 得 A*的特征值为1 22， 31，从而 A*2E 的特征值为 0，0，3，即 1 为 A*2E 的属于特征值 3
25、的特征向量，故也为 A 的属于特征值 32 的特征向量 令 A 的属于特征值 1 21 的特征向量为 ，因为 A 为实对称矩阵，所以有 1T0，即1 30 故矩阵 A 的属于 1 21 的特征向量为所求的二次型为 fX TAX 12 22 323 13【知识模块】 二次型37 【正确答案】 二次型 f2 122 22a 332 132b 132 23 的矩阵形式为 fX TAX 其中 因为 QTAQB ，所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为 1，1，4 而EA 3(a4) 2(4a b 22) ( 3a 2b2b 22) ，所以有 3(a4) 2 (4ab 2
26、2)(3a2b2b 22) (1) 2(4)， 解得a2，b1当 1 21 时，由(E A)X0 得 由34 时，由(4EA)X0 得 3 显然 1， 2， 3 两两正交单位化为【知识模块】 二次型38 【正确答案】 因为方程组有非零解，所以 a(a1)(a3)0，即 a 1 或 a0 或 a3因为 A 是正定矩阵，所以 aii0(i1，2，3)，所以 a3当 a3 时，由 E A (1)(4)(10) 0 得 A 的特征值为 1，4，10因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得 fX TAX y124y 2210y 3210(y12y 22y 32) 而当X 时，y12y 22y 3
27、2Y TYY TQTQY(QY) T(QY)X TXX 22 所以当X 时，X TAX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y1y 20，y 3 )【知识模块】 二次型39 【正确答案】 A 所对应的二次型为 fX TAX， 因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 XQY，使得 fX TAX 1y12 2y22 nyn2，其中i0(i 1，2，n) ， 对任意的 X0，因为 XQY，所以 YQ TX0， 于是f 1y12 2y22 nyn20，即对任意的 X0有 XTAX0，所以 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 二次型40 【正确答案】 因为(B TAB)TB TAT(BT)TB TAB，所以 BTAB 为对称矩阵，设BTAB 是正定矩阵，则对任意的 X0， X TBTABX (BX)TA(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0有 BX0，或方程组 BX0 只有零解，所以 r(B)n 反之，设r(B)n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 XT(BTAB)X(BX) TA(BX)0，所以 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 二次型
